Aplicações de derivadas - Construção de gráficos-2013 (3)

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 Aplicações das derivadas – Construção de Gráficos
Observe o gráfico abaixo.
Fig 1
Pontos críticos da função f(x)
Definição: Um número c pertencente ao domínio de f(x) é chamado de número
crítico se f’(c) = 0 ou f’(c) não existe. O ponto correspondente (c,f(c)) no gráfico de
f(x) é chamado ponto crítico de f(x).
No gráfico acima:
c 1 ,c 2 ,c 3 ,c 4 ,c 5 são os números críticos
B,C,D,E,F são os pontos críticos da função no intervalo considerado . Nos pontos
B,C, E ,F a derivada é igual a zero e no ponto D a derivada não existe
Determine os pontos críticos da função:
1) f(x)= 3x-1
2) f(x) = x 2 – 3x
3) f(x) = 2x 3 + 6x 2 + 6x +5
4) f(x) = x( )122
1
3
1 2  xx
5) f(x) = (x 2 -1) 4
Crescimento e Decrescimento de f(x)
Proposição: Seja f uma função contínua no intervalo [a,b] e derivável no intervalo ]a,b[
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a) Se f’(x) > 0 para todo x ]a,b[ , então f é crescente em ]a,b[
b) Se f’(x) < 0 para todo x ]a,b[ , então f é decrescente em ]a,b[
No gráfico da fig 1 acima:
f é crescente : ]a, c 1 [ ; ]c 2 ,c 3 ,[ e ]c 4 ,c 5 [
f é decrescente: ] c 1 ,c 2 [ ; ] c 3 ,c 4 ,[ ; ] c 5 , b [
Determine os intervalos em que a função dada é crescente / decrescente:
1) f(x) = 3x+4
2) f(x) = - 2x+6
3) f(x) = x 2 – 4x
4) f(x) = 10323
2
3
 xxx
5) f(x) = x 3
6) f(x) = 44
1 x
Máximos e mínimos locais: (extremos locais)
Os pontos de máximo e de mínimo locais (relativos) de uma função são pontos críticos
de uma função, mas nem todos os pontos críticos de uma função são pontos de
máximo ou de mínimo locais de uma função. Os pontos de máximo ou de mínimo
locais são chamados pontos extremos de uma função
No gráfico dado, C e E são pontos de mínimo locais da função. B,D e F são pontos
de máximo.
Podemos identificar pontos de máximos e de mínimos locais de uma função, usando o
seguinte teste:
Teste da Primeira derivada para Extremos Locais
Seja c um número crítico de f(x). Nesse caso, o ponto crítico P(c,f( c )) é:
a) um máximo local se f’(c) >0 á esquerda de c e f’( c ) <0 à direita de c
3
b) um mínimo local se f’( c )<0 à esquerda de c e f’( c ) >0 à direita de c
c) um ponto ordinário se f’( c ) > 0 ou f’( c ) <0 dos dois lados de c
Considere o gráfico abaixo:
Localizamos numa reta todos os números críticos e analisamos o crescimento e o
decrescimento da função, em cada intervalo constituído.
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Pontos críticos: B,C,D,E,F
Pontos de máximo local: C,E
Pontos de mínimo local: D
Pontos ordinários: B,F
Exemplo:
Determine os pontos críticos da função e classifique cada ponto crítico como
máximo local, mínimo local, ou ponto ordinário.
a) f(x) = x 13
b) f(x) = x 52 x
c) f(x) = 2x 34 24  x
d) f(x) = x 8188 234  xx
e) f(x)= 2x 3 +6x 22
f) f(x) = - xxx 62
5
3
23

g) f(x) = 2x4-4x2+3
h) f(x)= -2x3
Podemos, também, classificar os pontos críticos em pontos de máximo ou de
mínimo usando o sinal da segunda derivada.
Suponha que f’’(x) existe em um intervalo aberto que contém o ponto x = c e que
f’( c ) =0 ou seja, c é um número crítico.
- Se f’’( c ) > 0, f possui um mínimo local(relativo) em x= c
-Se f’’( c) < 0, f possui um máximo local (relativo) em x = c
-Se f’’( c ) =0 ou se f’’( c ) não existe, o teste não pode ser aplicado e x = c pode ser
um máximo local, um mínimo local ou um ponto ordinário.
Exemplo
Determine os pontos críticos da função f(x) = 2x 7123 23  xx e usando o teste da
derivada segunda classifique cada ponto crítico como máximo local ou mínimo local
Concavidade e pontos de inflexão
Concavidade: Se uma função f(x) é derivável no intervalo]a,b[ , a curva de f tem:
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a) concavidade para cima no intervalo ]a,b[ se f’ é crescente em todo o
intervalo.
b) concavidade para baixo no intervalo ]a,b[ se f’ é decrescente em todo o
intervalo.
Ponto de inflexão é um ponto (c,f( c ) da curva de uma função f no qual a
concavidade muda. Nesse ponto f’’(c ) =0 ou f’’( c) não existe.
Uso da segunda derivada para determinar os intervalos em que a concavidade
de uma função f é para cima e para baixo
a) Determine todos os valores de x para os quais f’’(x) =0 ou f’’(x) não existe e
assinale esses valores em uma reta de números, dividindo assim a reta em
um certo número de intervalos abertos
b) Escolha um número de teste c para cada intervalo aberto determinado no
item anterior e calcule f’’( c ).
- Se f’’( c) >0, a concavidade é para cima nesse intervalo
-Se f’’( c ) <0, a concavidade é para baixo nesse intervalo.
 Determine os intervalos em que cada função é côncava para cima ou côncava para
baixo, indicando eventuais pontos de inflexão:
1) f(x) = x 2 + 3x
6
2) f(x) = 4 – x 2
3) f(x) = 2x 375 46  xx
4) f(x) = 3x 15 45  x
5) f(x) = 3x 1518122 234  xxx
6) f(x) =-x 3 – 8x 2 +3
7) f(x) = 1/x
8) f(x) = 52
3
3
2
12
23
4
 xxx
9) f(x) = (x+1)/(x-1)
10) f(x) = e  2
2x
Roteiro para construção de gráficos:
1) Encontre o domínio da função.
2) Determine os pontos de intersecção da curva com os eixos x e y (quando não
for muito trabalhoso)
3) Encontre os pontos críticos
4) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função e encontre
os máximos e mínimos locais.
5) Determine a concavidade e os pontos de inflexão
6) Monte uma tabela
7) Esboce o gráfico.
Exercícios:
Esboçar o gráfico da função dada:
1) f(x) = x 123  xx
2) f(x) = x 23 3x
3) f(x) = x 5523  xx
4) f(x) = x 35 5x
5) f(x) = (x-1) 3
6) f(x) = -4x 582  x
7) f(x) = x 4 +5x 3 +6x 2
8) f(x) =x 78 24  x
9) f(x) =x 2 +1
Exercícios: Lista 4
7
1) Determine os pontos críticos das seguintes funções:
 a) f(x) = 5-7x-4x 2 R: (- )16
129,8
7
b) f(x) =2x 12023  xx R: (-2,29); ( )27
548,3
5 
c) f(x) =x 18 24  x R: (0,1);(-2,-15);(2,-15)
d) f(x) = 10x 23 )1( x R: ( )0,1();625
216,5
3 ;(0,0)
2) Determine os pontos críticos da função dada e classifique cada ponto crítico
como máximo local, mínimo local ou ponto ordinário:
a) f(x) = 3x 268 234  xx (0,2) mín (1,3) ord
b) f(t) = 2t 566 23  tt (-1,3) ord
3) Se f(x) = 2 senx + cos2x, determine os extremos locais de f que estão no intervalo
[0,2 ] .( use o teste da segunda derivada) R: ( )2
3,6
5();2
3,6();3,2
3();1,2(
 
4) Determine em que intervalos a concavidade da curva é para cima e em que
intervalos a concavidade é para baixo. Determine os pontos de inflexão, se houver:
a) f(x) = x 13 23  xx p/cima: x>-1; p/ baixo:x<-1 ; (-1,2) pto de inflexão
b) f(x) = x 9104 34  xx p/cima:x<0 ou x>2; p/baixo: 0<x<2 ; (0,-9) e (2,-5)
5) Dada a função f(x):
-Determine os pontos críticos
-Identifique os intervalos em que a função cresce e decresce
-Classifique os pontos críticos em pontos de máximo local, mínimo local ou ponto
ordinário.
-Identifique os intervalos em que a curva tem concavidade para cima e para baixo
-Identifique os pontos de inflexão, se houver.
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-Determine os pontos em que o gráfico da função intercepta os eixos coordenados
x e y.(se não for muito trabalhoso)
-Faça uma tabela com os pontos encontrados.
-Esboce o gráfico de f(x)
a) f(x) = x 2 +x-12
b) f(x) = x x33
c) f(x)= 2x xx 123 23 
d) f(x = x 123  xx
e) f(x) = 2x 24 4x
f) f (x)= x 34 4x
g) f(x) = 8x 345 205 xx 
h) f(x) = 3x 35 20x
i) f(x) = x 34 4x
6) Esboce o gráfico de uma função contínua f que verifique todas as condições indicadas:
a) f(0)=1; f(2)=3; f’(0)=f’(2)= 0
 f’(x) <0 se x>2 ou x<0
 f’(x) >0 se 0<x<2
 f”(x) >0 se x<1; f”(x) < 0 se x>1
b)f(-1)=7; f(0)=0; f(3/2) = --10; f(-1/2)= 2, f(1)= -6;
 f’(-1)=f’(3/2)=f’(0)=0;
 f”(x)>0 se x<-1 ou x>3/2; f’(x)<0 se -1<x<0 ou 0<x<3/2
 f”(-1/2)=f”(0)=f”(1)=0
 f”(x) >0 se -1/2 <x<0 ou x>1; f”(x) <0 se x< -1/2 ou 0<x<1
Verifique os resultados traçando o gráfico com o “Winplot”
Máximose mínimos globais( extremos globais)
Definição: Seja f uma função de domínio D. Então f tem um valor máximo global em D
em um ponto c se: f( c )  f(x) para qualquer x em D e um valor mínimo global em D
no ponto c se f( c)  f(x) para qualquer x em D.
Observe que um ponto extremo global ( máximo ou mínimo) de uma função ou é um
ponto crítico ou uma extremidade do domínio da função.
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Como determinar os extremos globais de uma função contínua f em um intervalo
fechado {a,b]
1) Determine todos os números críticos de f em [a,b]
2) Calcule a imagem de cada número crítico obtido em 1.
3) Calcule os valores extremos: f(a) e f(b)
4) Os valores máximo global e mínimo global de f em [a,b] são o maior e o menor
valor da função calculados em 2 e 3.
Exemplo: Se f(x) = x x123 , determine os valores máximo e mínimo globais de f no
intervalo fechado [-3,5].
Exercícios:
1) Determine os valores extremos globais para cada função no intervalo dado:
a)f(x) = 32,53
2  xx
b) f(x) = x 21,12  x
c) f(x) = 5 – 6x ]1,3[,2 32  x
d) f(x) = x ]2,0[,45 24  x
2) Esboce o gráfico de f(x) = xx 22
1 2  e determine os extremos (máximo global
/mínimo global) em cada intervalo:
a) [0,5]; b) ]0,3[; c) ]0,4[; d) [2,5]
3) Use o gráfico para determinar os valores extremos(máximo e mínimo ) de f:
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4)Obtenha os pontos de máximo ou de mínimo (quando existirem) das funções abaixo:
a) f(x) = x 542  x
b) f(x) = 6x - x 2
c) f(x) = 562
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3
2
3
 xxx
d) f(x) = - 643
3
 xx
Problemas de Otimização:
Algumas orientações para resolver os problemas;
1. Leia o problema cuidadosamente identificando as quantidades não conhecidas
que devem ser determinadas, bem como o campo de variação de cada
quantidade envolvida e as relações que existem entre elas.
2. Introduza variáveis para representar as quantidades envolvidas no problema.
Relacione as variáveis com equações.
3. Determine a variável que deve ser extremada e escreva essa variável em
função de uma das outras variáveis.
4. Determine os valores críticos da função obtida e classifique-os em máximo ou
mínimo local
5. Verifique se ocorrem máximos ou mínimos nos pontos extremos do intervalo do
domínio da função.
Resolva os seguintes problemas
1) Um fazendeiro tem 1200m de cerca e quer cercar um campo retangular que
está na margem de um rio reto. Ele não precisa de cerca ao longo do rio. Quais
são as dimensões do campo que tem maior área? R: 300m por 600m
2) Deseja-se construir uma área de lazer, com forma retangular, e 1600m 2 de
área. Quais as dimensões para que o perímetro seja mínimo?
3) Um fabricante de conservas usa latas cilíndricas cujos volumes devem ser
iguais a 500 cm 3 .Quais devem ser as dimensões (altura e raios das bases)
mais econômicas das latas( isto é, aquelas que dão a menor área da
superfície)?
4) Um homem deseja construir um cercado com formato retangular,usando como
um dos lados uma parede de sua casa. Quais as dimensões que devem ser
utilizadas para que a área seja máxima, sabendo que ele pretende usar 20m
de cerca?
5) Um reservatório de água tem base quadrada e formato de prisma reto com
tampa. Seu volume é de 10 m 3 e o custo do material utilizado na construção é
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R$100,00 por m 2 . Quais as dimensões do reservatório que minimizam o custo
do material utilizado na construção?
6) Suponha que a função receita seja R(x) = 60x e a função custo seja C(x) =
2x 3 -12x .40502  x Obtenha a quantidade x que deve ser vendida para
maximizar o lucro.
7) Um contêiner para estocagem, retangular com uma tampa aberta deve ter um
volume de 10 m 3 . O comprimento de sua base é o dobro da largura. O material
para a base custa R$10,00 por metro quadrado. O material para os lados
custa R$6,00 por metro quadrado. Encontre o custo dos materiais para o mais
barato desses contêineres.
8) A função V(x) = x(10-2x)(16-2x), 0<x<5, define o volume de uma caixa.
 Qual é o volume máximo e para que valor de x isso ocorre?
9) Certa pessoa que se encontra em A, para atingir C utilizará na travessia do
rio(de 100m de largura) um barco com velocidade máxima de 10km/h; de B a C
utilizará uma bicicleta com velocidade máxima de 15 km/h. Determine B para
que o tempo gasto no percurso seja o menor possível R: x = 40 5 m
10) Um fio de barbante de 10 metros de comprimento deve ser cortado em duas
partes ( não necessariamente de mesmo tamanho) de modo que um dos
pedaços é usado para construir um quadrado e o outro pedaço é usado para
construir um círculo. Quanto deve ser x, a medida em metros do pedaço do
barbante para construir o quadrado, para que a soma S das áreas das figuras
produzidas seja a maior possível? Quanto deve ser x, a medida em metros do
pedaço do barbante usado para construir o quadrado, para que a soma S das
áreas das figuras produzidas seja a menor possível?
11) Uma janela normanda tem o formato da justaposição de um semicírculo sobre
um retângulo. Considerando as janelas normandas com perímetro igual a 9
metros, quanto deve ser x, a medida em metros da base do retângulo que
compõe a janela para que a área A da janela seja a menor possível?
12) Um agricultor está em sua casa C situada a 80 metros da margem retilínea de
um rio. Ele quer encher primeiro o seu regador de água em um ponto M na
margem deste rio e, depois, se dirigir para sua horta H, situada a 50 metros da
margem do rio. A distância entre os pés A e B das perpendiculares traçadas de
C e H sobre a margem do rio é igual a 100 metros. Considere um sistema de
coordenadas onde A(0,0); B( 100,0); C (0,80) ;H( 100,50) e M(x,0). Quanto
deve ser x, a abscissa do ponto M sobre o eixo x, para que o comprimento do
trajeto casa(C ), rio(M) e horta (H) seja o menor possível?
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