Teorema de De Morgan e Portas de Passagem

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INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE 
SÃO PAULO 
 
 
DANIEL RONEI DE SÁ – 1575031 
LEONARDO BAGGIO – 1572083 
MATHEUS BATISTA – 1575058 
 
 
 
TEOREMA DE DE MORGAN E PORTAS DE PASSAGEM 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SÃO PAULO 
2° SEMESTRE 2016 
 
 
Relatório técnico apresentado como 
requisitoparcial para obtenção de aprovação na 
disciplina T3LD1 – Laboratório de Eletrônica 
Digital 1, no Curso de Engenharia Eletrônica, no 
Instituto Federal de Educação, Ciência e 
Tecnologia de São Paulo. 
Prof. Me. Alexandre de Jesus Aragão 
 
1. OBJETIVO 
 Analisar o comportamento de portas lógicas com mais de 2 entradas, verificar o 
teorema de De Morgan, verificar aplicações das portas lógicas em circuitos de passagem 
com máscaras. 
2. INTRODUÇÃO TEÓRICA 
 Para compreensão deste experimento é necessário o conhecimento de alguns 
teoremas da álgebra booleana, em especial os teoremas de De Morgan, estes teoremas são 
essenciais para a eletrônica digital, pois visam a simplificação de funções booleanas, que 
por sua vez representam circuitos lógicos na eletrônica digital, então conhecendo estes 
teoremas é possível otimizar os circuitos lógicos. 
 O primeiro teorema mostra que o resultado de uma operação AND que tem como 
entradas uma variável ou expressão qualquer “X” e 0 será sempre 0, isto é evidente pois 
uma operação AND de duas entradas só resultará em 1 quando ambas as entradas forem 
1, a figura 1 apresenta o teorema (1) em um circuito lógico. 
 
Figura 1 – Operação AND entre X e 0. 
 O segundo teorema mostra uma situação semelhante, uma operação AND entre 
duas entradas sendo uma entrada igual a 1 e a outra entrada uma variável ou expressão 
qualquer “X”, neste caso o resultado sempre será o valor da variável “X”. O teorema (2) 
é representado no circuito lógico da figura 2. 
 
Figura 2 – Operação AND entre X e 1. 
 O teorema (3) informa que a operação AND entre duas variáveis ou funções iguais 
resultará no valor da função em questão, pode ser provado verificando o resultado para 
cada valor possível de entrada. Se 𝑋 = 0, então 0 ∙ 0 = 0; se 𝑋 = 1, então 1 ∙ 1 = 1 ∴
𝑋 ∙ 𝑋 = 𝑋, conforme o circuito lógico da figura 3. 
 
Figura 3 – Operação AND entre X e X. 
 O teorema (4) diz que o resultado de uma operação AND entre uma variável 𝑋 e 
o inverso desta variável�̅� será sempre 0, este teorema pode ser provado analogamente ao 
teorema (3), porém também é possível deduzir que a todo momento 𝑋 ou �̅� será igual a 
0 e uma operação AND só resultará em 1 quando ambas as entradas forem 1. A figura 4 
apresenta um circuito lógico com esta situação. 
 
Figura 4 – Operação AND entre 𝑋 e�̅�. 
 O teorema (5) mostra que a operação OR entre 0 e uma variável “X” qualquer 
sempre resultará no valor da própria variável “X”, isto é evidente pois 0 adicionado a 
qualquer valor não altera este valor, seja na adição ordinária ou na operação OR. A figura 
5 ilustra o teorema (5). 
 
Figura 5 – Operação OR entre X e 0. 
 O teorema (6) afirma que o resultado de uma operação OR que possui como 
entradas uma variável “X” qualquer e 1 será sempre igual a 1, o que é facilmente 
verificado pois uma operação OR com 2 entradas resultará em 1 sempre que uma das 
entradas for igual a 1, independentemente do valor da outra entrada. A figura 6 apresenta 
um circuito lógico que representa o teorema (6). 
 
Figura 6 – Operação OR entre X e 1. 
 O teorema (7) mostra que uma operação OR entre uma variável “X” e uma mesma 
variável “X” resultará no valor desta variável, isto pode ser provado atribuindo valores a 
X, pois 0 + 0 = 0 e1 + 1 = 1 portanto 𝑋 + 𝑋 = 𝑋, conforme a figura 7. 
 
Figura 7 – Operação OR entre X e X. 
 O teorema (8) afirma que uma operação OR entre uma variável “X” e o inverso 
desta variável será sempre 1, este teorema pode ser provado analogamente ao teorema 
(7), mas também é possível deduzir que em todo momento 𝑋 ou�̅� será igual a 1 e em uma 
operação OR de 2 entradas o resultado será 1 sempre que uma das entradas for igual a 1. 
A figura 8 mostra um circuito lógico com esta situação. 
 
Figura 8 – Operação OR entre 𝑋 e�̅�. 
 É importante enfatizar que a variável “X” citada nos teoremas (1) a (8) pode ser a 
representação de uma função booleana com mais de uma variável. Por exemplo, dada a 
expressão 𝐴�̅�(𝐴�̅�̅̅ ̅̅ ), é possível aplicar o teorema (4) se definido 𝑋 = 𝐴�̅� portanto 
𝐴�̅�(𝐴�̅�̅̅ ̅̅ ) = 𝑋�̅� = 0. Este raciocínio é aplicável a todos os outros teoremas. 
 Entre os teoremas da álgebra booleana, dois dos mais importantes teoremas são 
atribuídos a um grande matemático chamado DeMorgan. Os teoremas de DeMorgan são 
extremamente úteis para simplificar expressões nas quais as operações AND ou OR são 
invertidas, ou seja, expressões com operações NAND e NOR. Os dois teoremas são: 
(9) (𝑥 + 𝑦̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅) = �̅� ∙ �̅� 
(10) (𝑥 ∙ 𝑦̅̅ ̅̅ ̅̅ ) = �̅� + �̅� 
 O teorema (9) diz que a operação NOR é equivalente à operação AND com 
entradas invertidas e o teorema (10) diz que a operação NAND é equivalente à operação 
OR com entradas invertidas, como mostram as figuras 9(a) e 9(b) referente ao teorema 
(9) e figuras 10(a) e 10(b) referente ao teorema (10). 
 
Figura 9(a) – Equivalência entre porta NOR e NAND com entradas invertidas. 
 
Figura 9(b) – Representação alternativa da função NOR. 
 
Figura 10(a) – Equivalência entre porta NAND e NOR com entradas invertidas. 
 
Figura 10(b) – Representação alternativa da função NAND. 
 
 
 
 
 
 
 
3. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 
3.1Material Utilizado 
 01 Circuito Integrado 7400 (Porta NAND – MED50). 
 01 Circuito Integrado 7402 (Porta NOR – MED50). 
 01 Circuito Integrado 7408 (Porta AND – MED50). 
 01 Circuito Integrado 7432 (Porta OR – MED50). 
 01 Circuito Integrado 7486 (Porta XOR – MED52). 
 01 Circuito Integrado 74266 (Porta XNOR – MED52). 
 01 Circuito Integrado 7404 (Porta NOT – MED52). 
 01 Fonte de alimentação DC (LEG2000). 
 01 Gerador de Sinais (LEG2000) 
 Led’s e resistores para monitoramento dos níveis lógicos (LEG2000). 
 01 Osciloscópio. 
 02 Cabos para osciloscópio. 
 
3.2 Procedimentos Experimentais 
 Primeiramente, foram pegos os equipamentos citados no item anterior, 
ainda com os itens na bancada, antes de realizar qualquer montagem, então, foram 
verificados Data Sheet dos Circuitos Integrados que seriam usados no experimento, para 
que se pudesse montar de forma correta o experimento, uma vez que, cada CI comporta-
se de maneira diferente. Com a análise da Data Sheet dos CI’s feita, foi iniciado a 
montagem do circuito, primeiro foi alimentado o Banco de Ensaios em Eletrônica Digital 
numa tomada 110V, em seguida, encaixado a placa MED50, alimentando-a ao bastidor 
com 12V, que continha as portas lógicas AND e OR que seriam utilizadas nos circuitos 
da figura 11, portas AND de 3 entradas, e no da figura 12, portas OR de 4 entradas. 
 
Figura 11 – Porta AND de 3 Entradas. 
 
Figura 12 – Porta OR de 4 Entradas. 
 A placa MED52 foi alimentada numa saída de 12V do Banco de Ensaios em 
Eletrônica Digital, com essa etapa concluída, foi montado um circuito por vez, para isso 
foi utilizado chaves com ajuste de níveis 1 (ligado) ou 0 (desligado) para alimentar as 
entradas das portas lógicas (A, B, C e D), enquanto que a saída dos circuitos (S) foi ligada 
a um Led que representava se a saída era 1 (Led acesso) ou 0 (Led apagado). As tabelas 
verdade para cada circuito podem ser vistas na Tabela 1 e Tabela 2. 
Tabela 1 – Tabela Verdade da Figura 11. 
A B C A.B.C 
0 0 0 0 
0 0 1 0 
0 1 0 0 
0 1 1 0 
1 0 0 01 0 1 0 
1 1 0 0 
1 1 1 1 
 
 
 
 
U1
AND2
U2
AND2
R1
150Ω
LED1
A
B
C
R1
150Ω
LED1
A
B
C
U1
OR2
U2
OR2
U3
OR2
D
Tabela 2 – Tabela Verdade da Figura 12. 
A B C D A+B+C+D 
0 0 0 0 0 
0 0 0 1 1 
0 0 1 0 1 
0 0 1 1 1 
0 1 0 0 1 
0 1 0 1 1 
0 1 1 0 1 
0 1 1 1 1 
1 0 0 0 1 
1 0 0 1 1 
1 0 1 0 1 
1 0 1 1 1 
1 1 0 0 1 
1 1 0 1 1 
1 1 1 0 1 
1 1 1 1 1 
 
 Em seguida foram montados os circuitos da figura 13a e 13b, que se tratam de 
inversores a partir de portas lógicas. 
 
Figura 13 – a) Porta NOT a partir da Porta NAND. Figura 13 - b) Porta NOT a partir da Porta NOR. 
 As tabelas verdade das figuras 13a (Sa) e 13b (Sb) podem ser vistas na Tabela 3. 
Tabela 3 – Tabela Verdade das Figuras 13a e 13b 
A 𝐒𝐚 𝐒𝐛 
0 1 1 
1 0 0 
U1
NAND2
R1
150Ω
LED1
U2
NOR2
R2
150Ω
LED2
a b
 A próxima etapa do experimento foi a montagem dos circuitosda figura 14, que 
se tratam da inversão lógica aplicando o teorema de De Morgan. Para cada circuito foi 
preenchido sua tabela verdade, conforme Tabela 4, e foi encontrado suas funções 
originais e equivalente, como pode ser visto na Tabela 5. 
 
Figura 14 – Aplicações do Teorema de De Morgan para Inversões Lógicas 
 
Tabela 4 – Tabela Verdade da Figura 14. 
A B 𝐒𝐚 𝐒𝐛 𝐒𝐜 𝐒𝐝 
0 0 0 0 1 1 
0 1 0 1 1 0 
1 0 0 1 1 0 
1 1 1 1 0 0 
 
Tabela 5 – Funções Equivalentes dos Circuitos da Figura 14. 
Saída Função Original Função Equivalente 
𝐒𝐚 A̅ + B̅̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ A. B 
𝐒𝐛 A̅. B̅̅̅ ̅̅ ̅ A + B 
𝐒𝐜 A̅ + B̅ A. B̅̅ ̅̅ ̅ 
𝐒𝐝 A̅. B̅ A + B̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ 
 
 
 
R1
150Ω
LED1
U1
NOT
U2
NOT
U3
NOR2
U4
NOT
U5
NOT
U6
NAND2
U7
NOT
U8
NOT
U9
OR2
U10
NOT
U11
NOT
U12
AND2
R2
150Ω
LED2
R3
150Ω
LED3
R4
150Ω
A
B
A
B
A
B
A
B
a b
c d
LED4
 Para a próxima etapa foi utilizado o circuito da figura 15, ajustando o gerador de 
sinais para uma frequência de 1kHz e Vin = 5Vp (somente sinal positivo) e o k foi 
alimentado por uma chave com ajuste de nível 1 (ligado) ou 0 (desligado). A saída da 
porta AND foi ligada ao osciloscópio para que pudesse ser analisado o comportamento 
da onda quando variava a posição de k (0 ou 1). Um canal do osciloscópio também foi 
ligado no gerador de frequência, de forma que pudesse analisar a entrada e saída do 
circuito ao mesmo tempo no osciloscópio. 
 
Figura 15 – Circuito usando Porta AND e Sinal de Máscara (k). 
 O mesmo circuito foi utilizado para as portas lógicas OR, XOR, NAND, NOR e 
XNOR, o comportamento dos circuitos pode ser visto na Tabela 6 e Tabela 7. 
Tabela 6 – Comportamento dos Circuitos de Passagem AND, OR e XOR em relação ao sinal de Máscara (k) 
Porta AND 
Comportamento quando a k = 0 Comportamento quando a k = 1 
A saída fica igual a 0. 
Vide figura 19. 
A saída fica igual a entrada. 
Vide figura 19. 
Porta OR 
Comportamento quando a k = 0 Comportamento quando a k = 1 
A saída fica igual a entrada. 
Vide figura 20. 
A saída fica igual a 1. 
Vide figura 20. 
Porta XOR 
Comportamento quando a k = 0 Comportamento quando a k = 1 
A saída fica igual a entrada. 
Vide figura 21. 
A saída fica o inverso da entrada. 
Vide figura 21. 
VCC
5.0V
k
Key = Space 
U1
AND2
V1
1kHz 
5V 
vai para o 
osciloscópio
Tabela 7 – Comportamento dos Circuitos de Passagem NAND, NOR e XNOR em relação ao sinal de Máscara (k) 
Porta NAND 
Comportamento quando a k = 0 Comportamento quando a k = 1 
A saída fica igual a 1. 
Vide figura 22. 
A saída fica o inverso da entrada. 
Vide figura 22. 
Porta NOR 
Comportamento quando a k = 0 Comportamento quando a k = 1 
A saída fica o inverso da entrada. 
Vide figura 23. 
A saída fica igual a 0. 
Vide figura 23. 
Porta XNOR 
Comportamento quando a k = 0 Comportamento quando a k = 1 
A saída fica o inverso da entrada. 
Vide figura 24. 
A saída fica igual a entrada. 
Vide figura 24. 
 
4. RESULTADOS E DISCUSSÕES 
 Os blocos lógicos das figuras 11 e 12 se comportaram da maneira esperada, 
sendo função lógica AND de 3 entradas e OR de 4 entradas respectivamente, pois para o 
circuito lógico da figura 11 só obtemos saída em nível lógico 1 quando todas as entradas 
estavam em nível 1 e para o circuito da figura 12 obtemos saída em nível lógico 1 sempre 
que uma das entradas estava em nível 1. Já nos circuitos lógicos das figuras 13(a) e 13(b), 
verificamos que as portas NAND e NOR podem funcionar como portas inversoras quando 
conectado uma única entrada “X” nos 2 terminais de entrada destas portas. 
 Os circuitos lógicos da figura 14 demonstram a equivalência entre blocos 
lógicos e portas lógicas quando utilizado os teoremas de De Morgan, em que para todos 
os circuitos as entradas são invertidas e aplicadas em portas NOR, NAND, OR e AND 
em cada caso. Caso as entradas invertidas sejam aplicadas à uma porta NOR, será 
equivalente à função AND, caso aplicadas em uma porta NAND, será equivalente à 
função OR, caso aplicadas a uma porta OR, obteremos a função NAND e caso aplicadas 
à função AND, teremos uma função NOR como equivalente. Estas relações de 
equivalência entre blocos lógicos e portas lógicas é importante para a minimização do 
circuito porque em um único circuito integrado pode conter mais do que uma porta lógica 
e então ao invés de acrescentar um circuito integrado em que não seriam utilizadas todas 
as portas lógicas, utiliza-se esta relação de equivalência com as portas lógicas de circuitos 
integrados já empregados assim economizando energia e aprimorando a utilização de 
espaço físico para os componentes. 
 No circuito da figura 15 as portas lógicas são utilizadas como portas de 
passagem, em que em uma de suas entradas é conectado um sinal digital oscilando entre 
0V e 5V em uma frequência de 1kHz e a outra entrada conectada à uma chave, chamada 
de máscara "k", que pode ser ligada (nível 1 - 5V) ou desligada (nível 0 - 0V) para 
determinar a saída, o comportamento de cada porta de acordo com a máscara é descrito 
nas tabelas 6 e 7, sendo que para os casos em que a saída é igual a 0 significa que o sinal 
não está chegando à saída por conta do estado da máscara, quando a saída fica igual a 
entrada a máscara está posicionada de modo à permitir o sinal de entrada chegar à saída 
quando utilizado aquela porta lógica, caso a saída fique igual a 1 significa que a saída está 
fornecendo 5V continuamente e quando a saída é descrita como o inverso da entrada, 
significa que quando o sinal de entrada está em nível lógico 1 (5V) o sinal de saída está 
em nível 0 (0V) na mesma oscilação da entrada 1kHz. 
 
 
5. QUESTÕES 
1) Preencha os resultados dos teoremas Booleanos abaixo: 
a) x . 0 = 0 e) x + 0 = x 
b) x . 1 = x f) x + 1 = 1 
c) x . x = x g) x + x = x 
d) x .�̅�= 0 h) x + �̅� =1 
2) Demonstre usando álgebra Booleana que x + x .y = x. 
x + x . y 
= x ( 1 + y) – distributiva 
= x (1) – identidade de adição 
= x – identidade da multiplicação 
 
 
 
3) Desenhe os circuitos lógicos equivalentes segundo o teorema de De Morgan. 
 
Figura 16 – Circuito lógico equivalente da expressão 𝑥 + 𝑦̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ 
 
Figura 17 – Circuito lógico equivalente da expressão 𝑥𝑦̅̅ ̅ 
4) Em um determinado processo de fabricação, um alarme da esteira detransporte deve ser ligado (nível 1) sempre que determinadas condições ocorrerem, 
de acordo com sinais descritos na tabelo 8 (do guia de experimento). A esteira deve 
parar sempre que a velocidade estiver alta e o recipiente cheio, ou então quando a 
tensão estiver alta e o comando manual estiver desabilitado. Com essas condições: 
a) Qual a expressão lógica do circuito? 
A – Velocidade da Esteira, sendo 1 alta e 0 não alta; 
B – Recipiente no final da Esteira, sendo 1 cheio e 0 não cheio; 
C – Tensão da Esteira, sendo 1 alta e 0 não alta, e 
D – Comando Manual, sendo 1 desabilitado e 0 habilitado. 
Portanto temos como expressão lógica: S= A.B+C.D, uma vez que a esteira deve ser 
ligada sempre que a velocidade estiver alta e o recipiente cheio, ou então quando a tensão 
estiver alta e o comando manual estiver desabilitado. A tabela verdade do problema pode 
ser vista na Tabela 8, e a tabela verdade escalonado, conforme Tabela 9. 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Monte a tabela verdade baseada na sua respectiva expressão. 
Tabela 8 – Tabela verdade do processo de fabricação. 
A B C D S 
0 0 0 0 0 
0 0 0 1 0 
0 0 1 0 0 
0 0 1 1 1 
0 1 0 0 0 
0 1 0 1 0 
0 1 1 0 0 
0 1 1 1 1 
1 0 0 0 0 
1 0 0 1 0 
1 0 1 0 0 
1 0 1 1 1 
1 1 0 0 1 
1 1 0 1 1 
1 1 1 0 1 
1 1 1 1 1 
 
 
c) Desenhe o circuito lógico utilizando apenas um circuito integrado digital TTL. 
 
Usando o circuito integrado TTL 7400, conforme figura 18, temos que: 
 
Figura 18 – Circuito lógico utilizando um circuito integrado TTL. 
 
 
d) Mostre a expressão e tabela verdade escalonada (teórica) do circuito proposto. 
Expressão: S= A.B+C.D 
Tabela 9 – Tabela verdade escalonada do processo de fabricação 
A B C D A.B C.D S 
0 0 0 0 0 0 0 
0 0 0 1 0 0 0 
0 0 1 0 0 0 0 
0 0 1 1 0 1 1 
0 1 0 0 0 0 0 
0 1 0 1 0 0 0 
0 1 1 0 0 0 0 
0 1 1 1 0 1 1 
1 0 0 0 0 0 0 
1 0 0 1 0 0 0 
1 0 1 0 0 0 0 
1 0 1 1 0 1 1 
1 1 0 0 1 1 1 
1 1 0 1 1 1 1 
1 1 1 0 1 1 1 
1 1 1 1 1 1 1 
 
6. CONCLUSÃO 
 Nesse experimento, foram montados circuitos básicos usando portas AND, 
OR,NOT, NAND e NOR para analisarmos o comportamento de blocos lógicos com mais 
de duas entradas e ampliarmos os conhecimentos sobre equivalência entre blocos lógicos, 
em especial a equivalência de portas NAND e NOR com a porta NOT no caso de uma 
única entrada. 
Após análise de conceitos de equivalência entre blocos lógicos que utilizam a 
porta inversora (NOT), verificamos a aplicação do teorema de De Morgan, salientando a 
função original e a função equivalente, estudamos as relações de equivalência visando a 
otimização do circuito lógico, para que caso falte algum circuito integrado de alguma 
porta lógica necessária para um projeto, possamos aplicar estes conceitos de equivalência, 
ou então para otimização do espaço físico do circuito completo, já que podem vir a existir 
casos em que nem todas as portas lógicas de um determinado circuito integrado já 
empregado estão sendo utilizadas, então utiliza-se esta relação de equivalência com as 
portas lógicas de circuitos integrados já empregados assim economizando energia e 
aprimorando a utilização de espaço físico para os componentes. 
Por último, foram analisados os comportamentos de todas as portas lógicas 
estudadas até agora quando aplicadas em um circuito de passagem em relação ao estado 
da máscara (k), que funciona como uma chave alternando entre os níveis lógicos 0 
(desligado/0V) e 1 (ligado/5V). Conforme os resultados obtidos, pode-se perceber 
intuitivamente que este tipo de circuito pode ser utilizado para o controle de processos 
automatizados, como processos de produção, demarcação, etc., em que é necessário 
algum meio de se interromper ou modificar o sinal de saída a fim de interromper o 
processo ou modifica-lo rapidamente. 
 No caso do teorema de De Morgan, temos o fato de que, através de artifícios da 
álgebra booleana, podemos simplificar circuitos, teoricamente mais complexos, em 
circuitos lógicos mais simples e que possuem a mesma finalidade. Resumidamente, o 
teorema pode ser exemplificado através de dois fatos, que são: O complemento, ou 
negação de um produto (AND) de variáveis é igual à soma (OR) dos complementos das 
variáveis e o complemento, ou negação de uma soma (OR) de variáveis é igual ao produto 
(AND) dos complementos das variáveis. 
 
7. BIBLIOGRAFIA 
CAPUANO, Francisco G.; IDOETA, Ivan Valeije. Elementos de Eletrônica Digital. 40ª 
ed. São Paulo: Érica, 2000. 
TOCCI, R.J. &WIDMER,N.S.Sistemas digitais: princípios e aplicações. 11a ed, 
Prentice-Hall, 2011. 
 
 
 
 
 
 
7. ANEXOS 
 
Figura 19 – Representação gráfica, da porta AND, da Entrada e Saída para k=0 e k=1 no Osciloscópio. 
 
 
 
 
Figura 20 – Representação gráfica, da porta OR, da Entrada e Saída para k=0 e k=1 no Osciloscópio. 
 
 
 
 
Figura 21 – Representação gráfica, da porta XOR, da Entrada e Saída para k=0 e k=1 no Osciloscópio. 
 
 
 
 
Figura 22 – Representação gráfica, da porta NAND, da Entrada e Saída para k=0 e k=1 no Osciloscópio. 
 
 
 
 
Figura 23 – Representação gráfica, da porta NOR, da Entrada e Saída para k=0 e k=1 no Osciloscópio. 
 
 
 
 
Figura 24 – Representação gráfica, da porta XNOR, da Entrada e Saída para k=0 e k=1 no Osciloscópio.