Frações Parciais

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MARIA HELENA TUROLA TAKAMATSU
ESTUDO: VANTAGENS E DESVANTAGENS DE FRAÇÕES 
PARCIAIS
Monografia apresentada como exigência para 
conclusão do Curso de Especialização para 
professores com ênfase em Cálculo, pela 
Universidade Federal de Minas Gerais, 
Instituto de Ciências Exatas, Departamento 
de Matemática, sob orientação do professor
Helder Cândido Rodrigues
UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS
Belo Horizonte, Minas Gerais.
Outubro de 2005
Agradecimentos
A Deus por iluminar meu caminho.
Ao professsor Helder Cândido Rodrigues, meu orientador pela convivência, 
paciência, compreensão, bom humor constante, e por suas valiosas orientações que 
me conduziram na realização deste trabalho.
Aos professores, Francisco Satuf Rezende e Grey Ercole por aceitarem o convite 
para participarem da banca examinadora e pelas sugestões apresentadas.
A todos os professores por terem me dado o prazer de compartilhar de seus 
conhecimentos.
As secretárias do departamento, Andréa, Cristina, Sandra, Cida e Lídia, pela 
presteza e atenção desprendida.
Aos meus colegas do curso com que compartilhei momentos de trabalho, esforço e 
também alegria.
A coordenação do curso: Dan Avritzer, Francisco Dutenhefner, Grey Ercole, 
Hamilton Prado Bueno, e Maria Cristina Costa Ferreira pela oportunidade de 
aperfeiçoamento na área de cálculo.
A professora Maria Laura Magalhães Gomes e Maria Cristina Costa Ferreira, 
coodenadoras dos cursos de atualização, do Pró-ciências e do curso de 
aperfeiçoamento para professores do ensino médio oferecido pelo instituto Milênio – 
IMPA, por terem me ensinado a valorizar a busca constante do conhecimento. A 
quem devo meus primeiros passos na UFMG, pois se não fosse por elas, eu não 
conseguiria chegar onde cheguei.
A todos meu muito obrigado
2
Sumário
1. Introdução. ............................................................................................................................. 4 
2. Decomposição em frações parciais. ...................................................................................... 5 
3. Métodos Especiais. ................................................................................................................. 8 
3.1. Método I: Comparação de termos de mesmo grau. .................................................... 8 
3.2. Método II: Atribuindo valores numéricos a x. ............................................................ 9 
3.3. Método III: Heaviside. ................................................................................................. 10 
3.4. Método IV: Derivação. ................................................................................................ 12 
4. Decomposição de funções racionais em frações parciais utilizando diversos métodos. ... 14 
4.1. Os fatores de g(x) são lineares e distintos. ................................................................. 14 
4. 2. Os fatores de g(x) são lineares sendo que alguns deles se repetem. ........................ 17 
4.3. Os fatores de g(x) são quadráticos e irredutíveis. ..................................................... 19 
4.4. Os fatores de g(x) são lineares e quadráticos irredutíveis, mas nenhum repetido. 25 
4.5. Os fatores de g(x) são lineares e quadráticos irredutíveis sendo que alguns dos 
quais são repetidos. ............................................................................................................. 32 
5. Conclusão: ........................................................................................................................... 37 
Referências Bibliográficas: ..................................................................................................... 39 
3
1. Introdução.
Como aluna do curso de Especialização, em Matemática para professores com 
ênfase em Cálculo na UFMG, resultou este trabalho na busca de um melhor 
entendimento relativo ao tema Frações Parciais.
Um Teorema da Álgebra diz que qualquer função racional, não importa quanto 
seja complicada, pode ser reescrita como uma soma de frações simples, ou seja, 
que qualquer função, racional 
f(x)
g(x) , onde “f(x)” e “g(x)” são polinômios, com grau de 
f(x) menor que o grau de g(x), pode ser escrito como a soma de funções racionais 
(frações parciais) tendo as seguintes formas:
R 2 R
A Bx +C ou onde R =1,2,3,…
(ax + b) (ax + bx + c)
Onde, para os fatores lineares, o numerador em cada caso é uma constante: 
1 2A ,A …e, para os fatores quadráticos, é uma função linear 1 1B x +C , 2 2B x +C ,…
Assim sendo, abordaremos a técnica das frações parciais, procedimento 
sistemático utilizado, objetivando processos mais simples de integração. A 
decomposição em frações parciais permite integrar qualquer função racional dada. 
Logo, um melhor entendimento é de fundamental importância.
Este trabalho tem como objetivo principal, analisar, através de exemplos as 
vantagens e desvantagens da aplicabilidade das frações parciais. Confrontando os 
diversos métodos permite levantar conclusões sobre os ganhos desta escolha.
O interesse em desenvolver este tema teve origem em compreender e 
apreciar melhor a teoria, por ser uma parte da qual não é fácil obter exposições 
acessíveis. São assuntos do currículo do ensino superior, que possuem enorme 
relevância, pois além das aplicações imediatas, vão ser fundamentais para todos 
aqueles que continuarem seus estudos. Os métodos proporcionam meios fáceis e 
efetivos para a solução de muitos problemas que surgem. É de grande valor para os 
que cursam disciplinas de matemática, física, engenharia elétrica, mecânica e etc.
Espera-se que este trabalho sirva de fonte para alunos que utilizam frações 
parciais para auxiliar na resolução de problemas, evidenciando que as dificuldades 
enfrentadas pelos alunos não são poucas. 
4
2. Decomposição em frações parciais.
Para descrever o método das frações parciais, consideramos 
=
3 2
2
f(x) 2x - 4x - x - 3F(x)=
g(x) x - 2x - 3
Antes de começar a decompor F(x) em frações parciais precisamos que o 
grau do numerador deve ser menor que o grau do denominador, ou seja, a fração 
deve ser própria. Se não for, dividimos f(x) por g(x) e trabalhamos com o resto.
Logo, dividindo-se o numerador pelo denominador, obtemos um polinômio 
mais uma fração própria.
3 2 2
3
 2x - 4x - x - 3 x - 2x - 3
-2x + 4x +6x 2x
 5x - 3
Então, escrevemos a fração imprópria como um polinômio mais uma fração 
própria.
3 22 2
2x - 4x - x - 3 5x - 3= 2x +
x - 2x - 3 x - 2x - 3
.
Agora, prosseguimos com a fração própria: 2
5x - 3
x - 2x - 3
.
Portanto, nosso objetivo é decompor em Frações Parciais a nova F(x) dada 
por: 2
5x - 3F(x)=
x - 2x - 3
.
Esta técnica envolve a decomposição de uma função racional na soma de 
duas ou mais funções racionais simples.
Em álgebra elementar aprendemos como reduzir frações a um mesmo 
denominador. Somamos frações algébricas achando um denominador comum, 
somando as frações resultantes e, por fim, simplificando. Por exemplo:
2 3 2(x - 3) 3(x +1)+ = +
x +1 x - 3 (x +1)(x - 3) (x - 3)(x +1)
2 2
2x -6+ 3x + 3 5x - 3= =
x - 2x - 3 x - 2x - 3
5
Agora devemos aprender como inverter esse processo e separar uma dada 
fração numa soma de frações, tendo denominadores mais simples. Esse 
procedimento chama-se decomposição em frações parciais.
O processo inverso consiste em determinar constantes 1A e 2A tais que:
1 2A A5x - 3 = +
(x +1)(x - 3) x +1 x - 3
Multiplicamos ambos os membros da igualdade pelo produto (x+1)(x - 3) , 
obtemos:
+1 2
A (x +1)(x - 3) A (x+1)(x - 3)(5x - 3)(x +1)(x - 3) =
(x +1)(x - 3) x +1 x - 3
Simplificamos o lado esquerdo e direito obtendo a seguinte identidade:
1 25x - 3 = A (x - 3)+ A (x +1)
Agrupando os termos semelhantes temos que:
1 2 1 25x - 3 = (A + A )x - 3A + A
Igualando os coeficientes das mesmas potências de x, obtemos o sistema de 
equações lineares: 
1 2
1 2
A + A = 5
-3A + A = 3
Resolvendo-o encontramos: 1A = 2 e 2A = 3 . 
Assim, para a função 2
5x - 3
(x - 2x - 3)
, temos:
2
5x - 3 2 3= +
x +1 x - 3(x - 2x - 3)
Essa equação é chamada decomposição da função racional dada em frações 
parciais. 
Na prática, determinamos a decomposição em frações parciais da seguinte 
forma:
1. Se o grau de f(x) não é inferior ao grau de g(x), use a divisão para chegar 
à forma adequada.
2. Expresse g(x) como o produto de fatores lineares de ax+b ou fatores 
quadráticos irredutíveis da forma 2(ax + bx+ c) , e agrupe os fatores 
6
repetidos de modo que g(x) seja o produto de fatores diferentes da forma 
n(ax + b) ou 2 n(ax + bx + c) para n inteiro não-negativo.
3. Aplique as seguintes regras:
Regra a: Para cada fator n(ax + b) com ≥n 1 , a decomposição em frações 
parciais contem uma soma de n frações parciais da forma
1 2 n
2 n
A A A+ +…+
ax + b (ax + b) (ax + b)
Onde cada numerador kA é um número real.
Regra b: Para cada fator 2 n(ax + bx + c) com ≥n 1 e com 2ax + bx + c
irredutível, a decomposição em frações parciais contém uma soma de n 
frações parciais da forma:
1 1 2 2 n n
2 2 2 2 n
A x + B A x + B A x + B+ +…+
ax + bx+ c (ax + bx + c) (ax + bx + c)
Onde cada kA e kB é um número real.
Procedendo da forma acima em relação a cada fator quadrático e cada fator 
linear, identificamos a fração original 
f(x)
g(x) com a soma de todas as frações parciais 
correspondentes.
Assim completamos o assunto; a teoria garante que toda função racional 
própria pode ser expandida numa soma de frações parciais da maneira descrita 
acima. O leitor interessado pode consultar SIMMONS, George F. Cálculo com 
geometria analítica. Pág. 665 a 668. São Paulo:1987
7
3. Métodos Especiais.
Vamos apresentar agora, alguns métodos práticos de decomposição para 
determinar os valores das constantes 1A , 2A e 3A .
3.1. Método I: Comparação de termos de mesmo grau.
Este método se baseia na seguinte regra:
Elimine as frações e compare os termos de mesmo grau obtendo, assim, os 
coeficientes. 
Exemplo 3.1: 
Decompor a função racional:
2
3
3x + x + 4F(x)=
x + x
O denominador pode ser fatorado como segue: 3 2x + x = x(x +1)
Cada fator no denominador terá um termo, cujo denominador é o fator 
elevado à 1ª potência.
Pela Regra (a) do fator linear, o fator x introduz um termo, a saber 
A
x
.
Aplicando a regra (b) do fator quadrático, o fator 2x +1 introduz um termo, a 
saber 2
Bx +C
x +1
. 
Assim, conseqüentemente:
2
2 2
3x + x+ 4 A Bx +C= +
xx(x +1) x +1
Com as constantes A, B e C a determinar .
Multiplicando pelo mínimo denominador comum, obtemos:
2 23x + x + 4 = A(x +1)+(Bx +C)x
Agora desenvolvemos e agrupamos os coeficientes das várias potências de x:
2 23x + x + 4 = (A+ B)x +Cx + A
Se dois polinômios são iguais, então os coeficientes de iguais potências de x 
são os mesmos.
8
É conveniente dispor da seguinte maneira, a qual chamamos Comparação de 
Coeficientes de x: 
Coeficientes de 2x : A+ B = 3
Coeficientes de x: C =1
Termos constantes: A = 4
Resolvendo este sistema de equações encontramos A = 4 , B = -1 e C =1 . 
Portanto, a decomposição em frações parciais é dada por:
2
2 2
3x + x+ 4 4 x -1= -
xx(x +1) x +1
3.2. Método II: Atribuindo valores numéricos a x.
Este método baseia-se na seguinte regra:
Elimine as frações e atribua sucessivamente valores a x, começando pelas 
raízes de g(x) obtendo assim os coeficientes.
Exemplo 3.2: 
Decomponha a função racional 
22x - x + 3F(x)=
(x -1)(x - 2)(x - 3)
 em frações parciais.
 Como g(1)= 0 , sabemos que x -1 é um fator e obtemos:
3 2 2x - 2x - 5x+6 = (x -1)(x - x +6)= (x -1)(x + 2)(x - 3)
Logo, a função dada pode ser decomposta na soma algébrica de três frações, 
cujos denominadores são x -1 , x + 2 , x - 3 , e cujo numeradores são independentes 
de x. Como os denominadores são conhecidos, só termos a determinar os 
numeradores.
Assim sendo, cada fator contribui com um termo na decomposição em frações 
parciais pela regra (a) do fator linear.
Deste modo, 
22x - x + 3 A B C= + +
(x -1)(x + 2)(x - 3) x -1 x + 2 x - 3
9
Multiplicando-se por (x -1)(x - 2)(x - 3) , a identidade acima, obtemos:
22x - x + 3 = A(x + 2)(x - 3)+ B(x -1)(x - 3)+C(x -1)(x + 2)
Em casos como este, em que os fatores são todos lineares e não repetidos, os 
valores de A, B e C podem ser obtidos começando pelas raízes dos denominadores, 
de modo que os cálculos resultem são simples quanto possível. 
Substituindo nesta última identidade, respectivamente, os valores das raízes 
x =1 , x = -2 e x = 3 , obtemos:
4 = A(1+ 2)(1- 3) ou 4 = -6A
9 = B(-2 -1)(-2 - 3) ou 13 =15B
18 = C(3 -1)(3+ 2) ou 18 =10C
Resolvendo essas equações encontramos: 
-2A =
3
, 
13B =
15
 e 
9C =
5
. Uma vez 
determinados os numeradores A, B e C podemos substituí-los nas frações parciais:
22x - x + 3 -2 3 9= + +
(x -1)(x + 2)(x - 3) 3(x -1) 15(x + 2) 5(x - 3)
3.3. Método III: Heaviside.
Este método só pode ser utilizado se g(x) só possui fatores de 1º grau.
1. Escreva o quociente com g(x) fatorado:
1 2 n
f(x) f(x)=
g(x) (x - r )(x - r )…(x - r )
2. Oculte os fatores i(x - r ) de g(x), um de cada vez, substituindo a cada vez 
todos os x não ocultos por ir . Isso dá um número iA para cada raiz ir
1
1
1 2 1 n
2
2
2 1 2 3) 2 n
n
n
n 1 n 2 n n-1
f(r )A =
(r - r )…(r - r )
f(r )A =
(r - r )(r - r …(r - r )
f(r )A =
(r - r )(r - r )…(r - r )
M
10
3. Escreva a decomposição em frações parciais de 
f(x)
g(x) como:
1 2 n
1 2 n
A A Af(x) = + +…+
g(x) (x - r ) (x - r ) (x - r )
Exemplo 3.3:
Decomponha a função racional dada em frações parciais.
2x +1F(x)=
(x -1)(x - 2)(x - 3)
Os fatores x –1, x – 2 e x – 3 são lineares e aparecem na 1ª potência; assim 
sendo, cada fator contribui com um termo na decomposição em frações parciais pela 
regra do fator linear.
Assim, 
2x +1 A B C= + +
(x -1)(x - 2)(x - 3) x -1 x - 2 x - 3
• Para achar A, cobrimos (x–1) no denominador do lado esquerdo:
e colocamos x = 2 no que resta:
2(1) +1 2A = = =1
(1-2)(1- 3) (-1)(-2)
• Para achar B, cobrimos (x – 2) no denominador do lado esquerdo:
2x +1 B=
(x -1)(x - 2)(x - 3) (x - 2)
e colocamos x = 2 no que resta:
2(2) +1 5B = = = -5
(2 -1)(2 - 3) (1)(-1)
• Para achar C, cobrimos (x – 3 ) no denominador do lado esquerdo:
2x +1 C=
(x -1)(x - 2)(x - 3) (x - 3)
e colocamos x=3 no que resta:
11
2x +1 A=
(x -1)(x - 2)(x - 3) (x -1)
2(3) +1 10C = = = 5
(3 -1)(3 - 2) (2)(1)
Então,
2x +1 1 5 5= - +
(x -1)(x - 2)(x - 3) x -1 x - 2 x - 3
3.4. Método IV: Derivação.
Estudaremos agora uma técnica de decomposição em frações parciais muito 
interessante. Útil quando mg(x)= (x + r) ou 2 mg(x)= (x + px + q) . 
O método é baseado na seguinte regra:
1. Elimine as frações.
2. Atribua a x os valores das raízes de g(x), que nos permite encontrar um 
dos coeficientes.
3. Derivamos os dois lados da equação em relação a x e substituímos 
novamente x por uma raiz, encontrando mais um coeficiente.
4. Derive novamente a equação do passo anterior até que todos os 
coeficientes sejam encontrados.
Exemplo 3.4: 
Decompor 
2
3
xF(x)=
(x -1)
 em frações parciais.
Como o denominador já está decomposto, e o fator x -1 por estar repetido 
com multiplicidade 3, exige a presença de três parcelas.
“Quando certo fator do denominador aparece repetido p vezes, ele introduz na 
decomposição uma soma de igual número de frações simples”. 
Assim, para cada fator no denominador, a decomposição em frações parciais 
terá um termo cujo denominador é aquele fator elevado à 1ª potência e um termo 
cujo denominador é aquele fator elevado à 2ª potência e um termo cujo denominador 
é aquele fator elevado à 3ª potência, obtendo uma soma de três frações parciais 
x +1 , 2(x +1) e 3(x - 2) .Visto ser denominador do 1º grau, a decomposição em 
frações parciais tem a forma:
12
≡
2
3 2 3
x A B C+ +
(x -1)(x -1) (x -1) (x -1)
Multiplicando ambos os termos da identidade acima por 3(x -1) , obtemos:
≡
2 2x A(x -1) + B(x -1)+C
Como necessitamos de três identidades, ainda faltam duas, as quais podem 
ser obtidas através das duas primeiras derivadas desta última:
≡
≡
2x 2A(x -1)+ B
2 2A
Da ultima relação, obtemos A=1. Na penúltima, tomamos x=1 para obter B=2 
e, na primeira, obtemos C=1 depois de tomarmos x=1 novamente.
Assim, a decomposição em frações parciais é dada por: 
2
3 2 3
x 1 2 1= + +
x -1(x -1) (x -1) (x -1)
.
13
4. Decomposição de funções racionais em frações parciais 
utilizando diversos métodos.
Apresentaremos algumas situações relacionando a teoria com cada método:
4.1. Os fatores de g(x) são lineares e distintos.
Exemplo 4.1.1:
Considerando a função:
3 2
f(x) 2F(x)= =
g(x) x + 5x +6x
Decompondo o denominador em fatores primos, obtemos:
3 2 2x +5x +6x = x(x +5x +6)= x(x + 2)(x+ 3)
O denominador só contém fatores do primeiro grau simples. A cada fator 
corresponde uma fração. Logo, a fração dada pode ser decomposta na soma 
algébrica de três frações, cujos denominadores são x, x + 2 e x + 3 e cujos 
numeradores são independentes de x. Pela Regra do fator linear, ao fator x 
corresponde uma fração parcial da forma 
A
x
. 
Analogamente, aos fatores x + 2 e x + 3 , correspondem frações parciais 
B
x+ 3
 e 
C
x -1
.
Portanto, a decomposição em frações parciais tem a forma:
3 2
2 A B C= + +
x x + 2 x + 3x +5x +6x
Onde A, B e C são constantes a determinar.
Para acharmos os valores de A, B e C basta multiplicarmos por x(x + 2)(x + 3)
, obtendo:
2 = A(x+ 2)(x + 3)+ B(x)(x + 3)+Cx(x + 2)
14
Método I (Comparação de termos de mesmo grau):
Como esta equação é uma identidade, igualamos os coeficientes das 
mesmas potências de x, nos dois membros de acordo com o princípio de identidade 
de polinômio, e obtemos, assim, um sistema de três equações.
A+ B+C = 0
5A+ 3B+ 2C = 0
6A = 2
Resolvendo-o, temos: 
1 2A = , B = -1 e C =
3 3
Portanto, a decomposição em frações parciais é dada por:
2
2 1 1 2= - +
x(x +5x +6) 3x x + 2 3(x + 3)
Método II – (Atribuindo valores numéricos a x)
Consideremos a identidade:
2 = A(x+ 2)(x + 3)+ B(x)(x + 3)+Cx(x + 2)
Esta relação é valida para quaisquer valores de x. Então para simplificarmos 
os cálculos admitiremos os próprios valores das raízes do denominador da função 
racional, ou seja:
Admitindo ⇒x = 0 2 = A(0+ 2)(0+ 3)+ B(0)(0+ 3)+C(0)(0+ 2) ⇒ 2 = 6A
⇒x = -2 2 = A(-2+ 2)(-2+ 3)+ B(-2)(-2+ 3)+C(-2)(-2+ 2) ⇒ 1= -B
⇒x = -3 2 = A(-3+ 2)(-3+ 3)+ B(-3)(-3+ 3)+C(-3)(-3+ 2) ⇒ 2 = 3C ,
que tem solução 
1 2A = , B = -1 e C =
3 3
.
Portanto, a decomposição em frações parciais é dada por:
2
2 1 1 2= - +
x(x +5x +6) 3x x + 2 3(x + 3)
Método III (Heaviside)
Considerando a função:
15
f(x) 2=
g(x) x(x + 2)(x + 3)
Os fatores x, x + 2 e x + 3 são lineares e aparecem na 1ª potência; assim 
sendo cada fator contribui com um termo na decomposição em frações parciais pela 
regra (a) do fator linear. 
Assim, 
31 2 AA A2 = + +
x(x+ 2)(x + 3) x x - 2 x - 3
• Para achar 1A , cobrimos x no denominador do lado esquerdo, e 
colocamos x = 0 no que resta.
1
2 2 1A = = =
(0+ 2)(0+ 3) (2)(3) 3
• Para achar 2A , cobrimos (x - 2) no denominador do lado esquerdo e 
colocamos x = -2 no que resta. 
2
2 2A = = = -1
(-2)(-2+ 3) (-2)(1)
• Para achar 3A , cobrimos (x - 3) no denominador do lado esquerdo, e, 
colocamos x = -3 no que resta.
3
2 2 2A = = =
(-3)(-3+ 2) (-3)(-1) 3
Assim, a decomposição em frações parciais é dada por:
2
2 1 1 2= - +
x(x +5x +6) 3x x + 2 3(x + 3)
Método IV (Usando a derivação)
Consideramos novamente a função:
2 A B CF(x)= = + + 
x(x + 2)(x + 3) x x + 2 x + 3
Multiplicando-se por x(x+ 2)(x + 3)obtemos:
2 = A(x+ 2)(x + 3)+ Bx(x + 3)+Cx(x + 2) (*)
Substituindo-se por x = 0 , obtemos:
16
⇒
12 = A(0+ 2)(0+ 3) 2 = 6A ou A =
3
Derivando os 2 lados de (*) em relação a x, obtemos:
[ ] [ ] [ ]0 = A (x + 2)(x + 3) + B (x+ 3)+ x +C (x + 2)+ x
0 = A(2x +5)+ B(2x+ 3)+C(2x + 2) (**)
Substituindo-se por x = -1 , na identidade acima, temos:
[ ] [ ] [ ]0 = A 2(-1)+5 + B 2(-1)+ 3 +C 2(-1)+ 2
⇒0 = 3A+ B B = -3A ou B = -1
Derivando (**) obtemos 0 = 2A+ 2B+ 2C , que fornece 
2C =
3
. Portanto, 
encontramos: 
1A =
3
; B = -1 e 
2C =
3
, como no método I.
4. 2. Os fatores de g(x) são lineares sendo que alguns deles se repetem.
Exemplo 4.2.1:
Considerando a função:
4 3
1F(x) = 
x + x
Decompondo o denominador em fatores primos, temos:
4 3 3x + x = x (x +1)
Para o fator 3x , correspondem 3 frações, cujos denominadores são x, 2x e 
3x . Pois, para cada fator no denominador, a decomposição em frações parciais terá 
um termo cujo denominador é aquele fator elevado à primeira potência, um termo 
cujo denominador é elevado a segunda potência,... e um termo com a mais alta 
potencia à qual o fator está elevado e cujos numeradores são independentes de x. 
Logo, a fração pode ser decomposta na soma algébrica de quatro frações, 
uma tendo para denominador 
A
x +1
 e as outras três: 
B
x
, 2
C
x
 e 3
D
x
, exige a 
presença de três parcelas.
Portanto, temos uma decomposição da forma:
17
4 3 3 2 3
1 1 A B C D = = + + +
x+1 xx + x x (x +1) x x
Multiplicando pelo mínimo denominador comum, obtemos:
2 31= A(x )(x +1)+ B(x)(x +1)+C(x +1)+ Dx .
Método I (Comparação de termos de mesmo grau)
Igualando os numeradores, e colocando os termos semelhantes agrupados, 
temos que:
3 21= (A+ D)x +(A+ B)x +(B+C)x +C
Igualando os coeficientes das mesmas potências de x, obtemos o sistemade 
equações lineares:
A+ D = 0
A+ B = 0
B+C = 0
C =1
Resolvendo o sistema de equações acima, temos que:
Se c =1então:
⇒B = -C B = -1
⇒A = -B A =1
⇒D = -A D = -1
Portanto, a decomposição em frações parciais é dada por:
3 2 3
1 1 1 1 1= - + -
x (x +1) x x x x +1
Método II (Atribuindo valores numéricos a x)
Para determinar as constantes, podemos atribuir valores a x. Vamos fazer 
isso escolhendo valores estratégicos para x, dois dos quais claramente são 0 e –1, 
que anulam termos. Não existindo outro x nessas condições; escolhemos o que é 
bom para cálculos.
Eliminando os denominadores de:
3 2 3
1 A B C D= + + +
x (x +1) x x x x +1
Obtemos:
2 31= Ax (x +1)+ B(x)(x +1)+C(x +1)+ Dx
18
Atribuindo a x os valores x = 0 , x = -1 , x =1 e x = 2 obtemos:
1= C
-1= D
0 = 2A+ 2B
1= 2A+ B
Resolvendo o sistema acima temos que: A =1, B = -1, C =1 e D = -1 . Assim, 
usando estes valores, obtemos a mesma decomposição em frações parciais do 
método I .
Método III (Heaviside)
Devemos observar que, neste caso, temos uma raiz tripla, em x = 0 . Assim, 
não podemos aplicar o método neste problema.
Método IV (Utilizando derivação)
3 2 3
1 A B C D= + + +
x (x +1) x x x x +1
Multiplicando-se por 3x (x +1) , obtemos
2 31= Ax (x +1)+ B(x)(x +1)+C(x +1)+ Dx
Como o fator linear (x +1) aparece somente uma vez, basta tomar x = -1 
nesta identidade para obter D = -1 . Para x = 0 obtemos c =1 , mas ainda 
necessitamos de duas outras identidades. Basta realizar a s duas primeiras 
derivadas da identidade acima em relação a variável x, para obter:
[ ]  2 20 = A 2x(x +1)+ x + B (x+1)+ x +C+ 3Dx e,
[ ] 20 = A 2(x +1)+ 2x + 2Ax + B+ B+0+6Dx .
E depois substituir x = 0 em ambas. Não fizemos qualquer esforço para reunir 
os termos semelhantes pois esta forma é altamente simplificadora, pois para x = 0 , 
segue que B = -1 e A =1 . Assim, usando estes valores, obtemos a mesma 
decomposição em frações parciais do método I. 
4.3. Os fatores de g(x) são quadráticos e irredutíveis.
19
Exemplo 4.3.1:
Decompor a função racional:
2
2 2
x + 2x + 3 F(x) = 
(x + 2x + 2)(x + 2x+ 5)
Como o denominador da fração contém fatores do segundo grau irredutível. A 
cada fator corresponde uma fração cujo denominador é o fator e cujo denominador é 
do primeiro grau.
Logo, a fração pode ser decomposta na soma algébrica de duas frações, cujos 
denominadores são; 2 x + 2x + 2 e 2 x + 2x +5 e cujos numeradores podemos 
designar por Ax + B e Cx + D . Então:
2
2 2 2 2
x + 2x + 3 Ax + B Cx + D = +
(x + 2x + 2)(x + 2x+ 5) x + 2x + 2 x + 2x +5
 
Multiplicando ambos os membros por 2 2(x + 2x + 2)(x + 2x +5) a identidade acima 
obtemos:
2 2 2x + 2x+ 3 = (Ax+ B)(x + 2x+ 5)+(Cx + D)(x + 2x+ 2)
Método I (Comparação de termos de mesmo grau)
Agrupando os termos semelhantes temos que:
2 3 2x + 2x + 3 = (Ax + B)x +(2A+ B+ 2C+ D)x +(5A+ 2B+ 2C+ 2D)s+5B+ 2D
Igualando os coeficientes das mesmas potências de x, obtemos o sistema de 
equações lineares:
A+C = 0
2A+ B+ 2C+ 2D =1
5A+ 2B+ 2C+ 2D = 2
5B+ 2D = 3
Resolvendo-o encontramos: A = 0 , 
1B =
3
, C = 0 e 
2D =
3
.
Portanto, a decomposição em frações parciais é dada por:
2
2 2 2 2
1 2
x + 2x + 3 3 3= +
(x + 2x + 2)(x + 2x +5) (x + 2x + 2) (x + 2x +5)
20
Método II (Atribuindo valores numéricos a x)
Como a relação 2 2 2x + 2x+ 3 = (Ax + B)(x + 2x + 5)+(Cx + D)(x + 2x + 2)é valida 
para quaisquer valores de x. Admitiremos valores de x que facilitem os cálculos.
Admitindo ⇒x = 0 3 = 5B+ 2D
Admitindo ⇒x =1 6 = 8(A+ B)+ 5(C+ D)
Admitindo ⇒x = -1 2 = -4A+ 4B+ D -C
Resolvendo essas equações encontramos A = 0 , 
1B =
3
, C = 0 e 
2D =
3
, como 
no método I.
Método III (Heaviside)
Considerando a função:
2
2 2 2 2
x + 2x+ 3 Ax + B Cx+ DF(x)= = +
(x + 2x+ 2)(x + 2x + 5) (x + 2x + 2) (x + 2x +5)
Devemos observar que, neste caso, não podemos aplicar o método.
Método IV (Usando a derivação)
Considerando novamente a equação:
2
2 2 2 2
x + 2x + 3 Ax + B Cx + D= +
(x + 2x + 2)(x + 2x +5) (x + 2x + 2) (x + 2x +5)
Multiplicando-se por 2 2(x + 2x + 2)(x + 2x +5) , obtemos:
2 2 2x + 2x+ 3 = (Ax+ B)(x + 2x+ 5)+(Cx + D)(x + 2x+ 2)
Substituindo-se por x = -1+ i , a identidade acima, obtemos i1= 3(-A+ B+ A ) .
Comparando as partes reais e imaginárias temos:
⇒
A = 0
1 1-A+ B = B =
3 3
Derivando os 2 lados em relação à x, obtemos:
2 22x + 2 = A(x + 2x +5)+(Ax+ B)(2x + 2)+ c(x + 2x + 2)+(Cx + D)(2x + 2)
Substituindo-se por x = -1+ 2i , na identidade acima temos 
4i = -6A - 8C+(B - A+ D)4i . De onde comparando as partes reais e imaginárias 
obtemos um sistema de equações:
21
-6A - 8C = 0
B - A+ D = 4
Resolvendo-o obtemos: C = 0 e 
2D =
3
. Portanto a decomposição em frações 
parciais é dada por: 
   2 2
1 1 2F(x)= +
3 x + 2x + 2 x + 2x +5 .
Exemplo 4.3.2 :
Decompor a função racional:
2 2
1 F(x) = 5(x +1)(x + x + )
2
Os fatores dos denominadores, 2x +1 e 
2 5x + x +
2
, são quadráticos e 
irredutíveis. Pela regra (b) para cada fator irredutível não repetido 2ax + bx + c no 
denominador de 
f(x)
g(x) , deverá corresponder uma fração parcial da forma 
2
Ax+ B
ax + bx + c
. Portanto devemos, obter duas somas algébricas da forma 2
Ax + B
x +1
 e 
2
Cx + D
5x + x +
2
Onde A, B, C e D são constantes a serem determinadas. Que pode ser 
decomposta na forma:
   
2
22 2
1 Ax+ B Cx + D= + 55 x +1 x + x +(x +1) x + x+
22
Multiplicando a identidade acima por 
   
2 2 5(x +1) x + x +
2 , obtemos:
   
2 251= (Ax + B) x + x + +(Cx + D)(x +1)
2
Método I (Comparação de termos de mesmo grau)
Agrupando os termos semelhantes encontramos:
22
3 2 2 3 25A 5B1= Ax + Ax + x + Bx + Bx + +Cx +Cx + Dx + D
2 2
   
3 2 5A 5B1= (A+C)x +(A+ B+C)x + x + Bx +Cx + + D
2 2
Igualando os coeficientes das mesmas potências de x, obtemos o sistema de 
equações lineares:
A+C = 0 
A+ B+ D = 0 
5 A+ B+C = 0 
2
5 B+ D =1 
2
Resolvendo-o encontramos 
-4A =
13
, 
6B =
13
, 
4C =
13
 e 
-2D =
13
Portanto, a decomposição em frações parciais é dada por:
   
2
22 2
-4 6 4 2x+ x -1 13 13 13 13= + 55 x +1 x + x +(x +1) x + x+
22
Ou seja,
     
2
2
1 -4x+6 4x - 2F(x)= + 513 x +1 x + x +
2
Método II (Atribuindo valores numéricos a x)
Consideramos novamente a identidade:
   
2 251= (Ax + B) x + x + +(Cx + D)(x +1)
2
Substituindo-se x = 0,1,i , obtemos o sistema:
         
51= B+ D
2
91= (A+ B)+ 2C+ 2D
2
3 31= -A+ B + + B i
2 2
23
Da terceira equação, comparando-se as partes reais e imaginárias tiramos: 
-4A =
13
 e 
6B =
13
 que substituídos na primeira e segunda equação, nos fornecem 
-2D =
13
 e 
4C =
13
. Assim, usando esses valores, obtemos a mesma decomposição 
em frações parciais do Método I.
Método III (Heaviside)
Considerando a função:
   
2
22 2
1 Ax + B Cx + DF(x)= = + 55 x +1 x + x +(x +1) x + x +
22
Devemos observar que, neste caso, não podemos aplicar o método.
Método IV (Usando derivação)
Consideramos novamente a identidade:
   
2 251= (Ax + B) x + x + +(Cx + D)(x +1)
2
Substituindo-se por x = i , obtemos 
   
3 31= -A+ B+ A+ B i
2 2
. Comparando-se 
as partes reais e imaginárias tiramos 
-4 6A = e B =
13 13
.
Derivando os 2 lados em relação a x, obtemos:
   
2 250 = A x + x + +(Ax + B)(2x +1)+C(x +1)+(Cx + D)2x
2
Substituindo-se por x = i , obtemos:
   
-A0 = + B - 2C (2A+ 2B+ 2D)i
2
De onde comparando-se aspartes reais e imaginárias tiramos 
4 -2C = e D =
13 13
.
Portanto, F(x) em frações parciais é dada por: 
24
          
2
22 2
1 1 -4x +6 4x - 2F(x)= = + 55 13 x +1 x + x +(x +1) x + x +
22
4.4. Os fatores de g(x) são lineares e quadráticos irredutíveis, mas nenhum 
repetido.
Exemplo 4.4.1: 
Considerando a função:
2
1F(x)=
x(x + 4)
Decompondo o denominador em fatores primos, obtemos: 3 2x + 4x = x(x + 4) . 
Cada fator quadrático 2ax + bx + c corresponderá a uma fração parcial da forma: 
2
Bx +C
ax + bx + c
.
Assim, pela regra do fator linear, o fator x introduz um termo, a saber 
A
x
 e 
pela regra do fator quadrático, o fator 2x + 4 introduz um termo, a saber 2
Bx+C
x + 4
.
Assim, a decomposição em frações parciais é:
2 2
1 A Bx+C= +
xx(x + 4) x + 4
Multiplicando-se a função acima por 2x(x + 4) obtemos 
2 24 = A(x + 4)+ x(Bx +C)= (A+ B)x +Cx + 4A
Método I (Comparação de termos de mesmo grau)
Igualando os coeficientes das mesmas potências de x, obtemos o sistema de 
equações lineares:
A+ B = 0
C = 0
4A = 4
Resolvendo–o encontramos A =1,B = -1 e C = 0 . 
25
Portanto, a decomposição em frações parciais é dada por:
2
1 xF(x)= -
x x + 4
Método II (Atribuindo valores numéricos a x)
Consideremos a identidade:
24 = A(x + 4)+ x(Bx+C)
Substituindo-se, os valores x = 0,1,-1 , temos:
⇒x = 0 24 = A(0 + 4)+0(B0+C)
⇒4 = 4A A =1
⇒x =1 24 = A(1 + 4)+1(1B+C)
⇒4 = 5A+ B+C = 5 + B+C B+C = -1
⇒x = -1 24 = A((-1) + 4) -1(-B+C)
⇒4 = 5A+ B -C B -C = -1
Somando as duas últimas relações encontramos: B = -1 e C = 0 . Assim, 
usando estes valores, obtemos o resultado no método I.
Método III (Heaviside)
Considerando a função:
2 2
1 A Bx+CF(x)= = +
x(x + 4) x x + 4
Devemos observar que neste caso não podemos aplicar o método.
Método IV (Usando derivação)
Consideramos a identidade:
24 = A(x + 4)+ x(Bx+C)
Fazendo a substituição x = 0 , temos A =1 .Então derivamos os dois lados em 
relação a x, obtemos:
0 = 2Ax + 2Bx +C
Fazendo a substituição x = 0 , temos C = 0 .
26
Derivamos novamente para ter 0 = 2Ax + 2Bx +C que nos fornece B = -1 . 
Assim, usando estes valores, obtemos a mesma decomposição em frações parciais 
do método I.
Exemplo 4.4.2:
Considerando a função:
3 2
3F(x)=
x + 2x + 5x
O denominador pode ser fatorado com segue:
3 2 2x + 2x +5x = x(x + 2x +5)
Logo, a fração pode ser decomposta na soma algébrica de duas parcelas, 
uma parcela é da forma 
A
x
, pela regra (a), devido ao fator x -1 e, devido ao fator 
quadrático 2x + 2x+ 5 ser irredutível, pela regra (b), a outra parcela é da forma 
2
Bx +C
x + 2x +5
.
Assim, a decomposição em frações parciais tem a forma:
3 2 2
3 A Bx +C= +
xx + 2x + 5x x + 2x +5
Multiplicando-se a identidade acima por 2x(x + 2x +5) temos:
2 23 = A(x + 2x +5)+(Bx +C)x = (A+ B)x +(2A+C)x +5A
Método I (Comparação de termos de mesmo grau)
Igualando os coeficientes de mesma potência de x, obtemos um sistema de 
equações lineares:
A+ B = 0 
2A+C = 0
5A = 3
Resolvendo-o, achamos 
3A =
5
, 
3B = -
5
 e 
6C = -
5
 .
Portanto, a decomposição em frações parciais é dada por:
27
        2 2 2
-3x 6-
3 3 3 1 (x+ 2)5 5= + = -
x(x + 2x +5) 5x x + 2x +5 5 x x + 2x +5
Método II (Atribuindo valores numéricos a x)
Consideramos a identidade:
23 = A(x + 2x +5)+(Bx +C)x
Substituindo-se os valores x = 0,1,-1 temos:
⇒x = 0 [ ]23 = A(0 + 2.0+5)+(0) B(0)+C
 ⇒
33 = 5A A =
5
⇒x =1 [ ]23 = A(1 + 2.1+5)+(1) B(1)+C
 ⇒
33 = 4A+ B -C B -C =
5
⇒x = -1 24 = A((-1) + 4) -1(-B+C)
 ⇒4 = 5A+ B -C B -C = -1
Somando as duas últimas relações:
⇒
-9B+C =
8
⇒
3B -C =
5
Temos que:
⇒ ⇒ ⇒
-9 3 -6 -3 92B = + B = = C = -B -
5 5 10 5 5
⇒ ⇒
3 9 -6C = - C =
5 5 5
Usando estes valores, obtemos a mesma decomposição em frações parciais 
do método I.
Método III (Heaviside)
Considerando a função:
2 2
3 A Bx +CF(x)= = +
x(x + 2x +5) x x + 2x+ 5
Devemos observar que, neste caso, não podemos aplicar o método.
28
Método IV (Usando a derivação)
Consideremos novamente a identidade:
23 = A(x + 2x +5)+(Bx +C)x 
Fazendo a substituição x = 0 , temos 
3A =
5
. Então derivamos os dois lados 
em relação a x, obtendo 0 = 2Ax+ 2Bx+C .
Fazendo a substituição x = 0 , temos 
-6C =
5
. Derivamos novamente para ter 
0 = 2A+ 2B que nos fornece 
-3B =
5
. Assim, usando esses valores, obtemos a 
mesma decomposição em frações parciais do método I.
Exemplo 4.4.3.
Considerando a função:
2
3F(x)=
(x -1)(x - 2x + 2)
Que pode ser decomposta na forma 2 2
3 A Bx+C= +
(x -1)(x - 2x + 2) x -1 x - 2x + 2 , pois 
uma parcela é da forma 
A
x -1
 devido ao fator x -1 e, devido ao fator quadrático
2x - 2x + 2 ser irredutível, a outra parcela é da forma 2
Bx+C
x - 2x+ 2
.
Método I (Comparação de termos de mesmo grau)
Multiplicando-se F(x) por 2(x -1)(x - 2x + 2)obtemos:
23 = A(x - 2x+ 2)+(Bx +C)(x -1)
23 = (A+ B)x +(-2A - B+C)x + 2A -C,
Igualando-se os coeficientes das mesmas potências de x, obtemos o sistema 
de equações lineares:
29
 
A+ B = 0
-2A - B+C = 0
2A -C = 3
Resolvendo-o encontramos a solução A = C = 3 e B = -3 .
Portanto, a decomposição em frações parciais é dada por:
2 2
3 3 3x - 3F(x)= = -
(x -1)(x - 2x + 2) x -1 x - 2x + 2
Método II (Atribuindo valores numéricos a x)
Considerando a identidade:
23 = A(x - 2x + 2)+(Bx +C)(x -1) 
Esta relação é válida para quaisquer valores de x e atribuindo a x os valores 
de x = 0,1,2. Obtemos: 
⇒x = 0 3 = 2A -C
⇒x =1 3 = A
⇒x = 2 3 = 2A+ 2B+C
Resolvendo essas equações encontramos A = C = 3 , B = -3 , Assim, usando 
estes valores, obtemos o resultado no método I.
Método III (Heaviside)
Considerando a função:
2
3F(x)=
(x -1)(x - 2x + 2)
Devemos observar que, neste caso, não podemos aplicar o método.
Método IV (Usando derivação)
Consideramos novamente a identidade:
23 = A(x - 2x+ 2)+(Bx +C)(x -1)
Fazendo a substituição x =1 , temos A = 3 . Então derivamos os dois lados em 
relação a x, obtendo:
0 = A(2x - 2)+ Bx + B(x -1)
Fazendo a substituição x =1 , temos B = -C .
30
Derivamos novamente para ter 0 = 2A+ 2B , que nos fornece B = -3 e C = 3 . 
Assim, usando esses valores, obtemos o resultado no método I.
31
4.5. Os fatores de g(x) são lineares e quadráticos irredutíveis sendo que alguns 
dos quais são repetidos.
Exemplo 4.5.1: 
Seja a fração: 
2 2
x +1F(x)=
x(x + 2x + 3)
Como o denominador já está decomposto, devido ao fator quadrático 
2x + 2x+ 3 ser irredutível. Designamos por A o numerador da fração de 
denominador x, pela regra (a) e por Bx +C e Dx+ E os numeradores das duas 
frações de denominadores 2(x + 2x + 3) e 2 2(x + 2x + 3) pela regra (b).
Conseqüentemente, a decomposição em frações parciais tem a forma:
2 2 2 2 2
x +1 A Bx +C Dx+ E= + +
xx(x + 2x + 3) x + 2x + 3 (x + 2x + 3)
Onde A, B, C, D e E são constantes a determinar
Multiplicando os termos da identidade acima por 2 2x(x + 2x + 3) , obtemos:
2 2 2x +1= A(x + 2x + 3) + x(Bx +C)+ x(x + 2x + 3)(Dx + E)
Método I (Comparação de termos de mesmo grau)
Combinando os termos, temos:
4 3 2x +1= (A+ D)x +(4A+ 2D - E)x +(10A+ B+ 3D+ 2Ex +12A+C+ 3E)x +9A 
Igualando os coeficientes das mesmas potências de x obtemos o sistema de 
equações:
A+ D = 0
4A+ 2D+ E = 0
10A+ B+ 3D+ 2E = 0
12A+C+ 3E =1
9A =1
Resolvendo-o encontramos: 
1 -1 1 -1 -2A = ; B = ; C = ; D = ; E =
9 3 3 9 9
Portanto a decomposição em frações parciais é dada por:
2 2 2 2 2
x+1 1 1 1 -x +1 1 -x - 2= . + . + .
x(x + 2x + 3) 9x 3 (x + 2x + 3) 9 x + 2x+ 3
32
Método II (Atribuindo valores numéricos a x)
Consideremos a identidade:
2 2 2x +1= A(x + 2x + 3) + x(Bx +C)+ x(x + 2x + 3)(Dx + E)
Esta relação é válida para quaisquer valores de x. Então, na identidade 
acima, substituindo-se, os valores x = 0,-1,1,-2,-3 temos:
⇒x = 0 1= 9A
⇒x = -1 0 = 4A+ B -C+ 2D - 2E
⇒x =1 2 = 36A+ N +C+6D+6E
⇒x = -2 -1= 9A+ 4B - 2C+12D -6E
⇒x = -3 -2 = 36A+9B - 3C+54D -18E
De onde obtemos o seguinte sistema linear escalonado:
1A =
9
-4B -C + 2D - 2E =
9
-14C+ 2D+ 4E =
18
-2E =
9
1D - E =
9
Resolvendo-o, achamos 
1 -1 1 -1 -2A = ; B = ; C = ; D = ; E =
9 3 3 9 9
. Assim, usando 
estes valores, obtemos a mesma decomposição em frações parciais do método I. 
Método III (Heaviside)
Consideramos a função:
2 2
x +1F(x)=
x(x + 2x+ 3)
Devemos observar que, neste caso, não podemos aplicar o método.
Método IV (Usando a derivação)
Consideramos novamente a identidade:
2 2 2x +1= A(x + 2x + 3) + x(Bx +C)+ x(x + 2x + 3)(Dx + E)
33
Fazendo a substituição x = 0 , temos 
1A =
9
.
Derivamos os dois lados em relação a x, obtendo:
2 2 21= 2A(x + 2x + 3)(2x + 2)+ 2Bx +C+(2x + 2)(Dx + Ex)+(x + 2x + 3)(Dx + E)
Fazendo a substituição x = 0 , temos: 1=12A+C+ 3E .
Derivamos os dois lados em relação a x, obtendo:
2 2
2
0 = (2x + 2)(4Ax + 4A)+(x + 2x+ 3)(4A)+ 2B+ 2(Dx + Ex)+(2x + 2)(2Dx + E)
+(2x + 2)(2Dx + E)+(x + 2x + 3)(2D)
Fazendo a substituição x = 0 , obtemos 0 =10A+ 2E + 3D+ B .
Derivamos os dois lados em relação a x, obtendo:
0 = 2(4Ax + 4A)+(2x + 2)(4A)+(2x + 2)(4A)+ 4Dx + 2E + 2(2Dx + E)+(2x+ 2)(2D)
+2(2Dx + E)+(2x + 2)(2D)+(2x + 2)(2D)
Fazendo a substituição x = 0 , obtemos 0 = 4A+ E + 2D . 
Derivamos novamente para ter 0 = A+ D , que nos fornece 
-1D =
9
.
Assim, obtemos o sistema de equações:
1A =
9
12A+C+ 3E =1
10A+ 2E + 3D = 0
4A+ E + 2D = 0
-1D =
9
Resolvendo o sistema de equações acima, temos que: Se 
1A =
9
 e 
-1D =
9
então encontramos 
-1B =
9
, 
1C =
3
 e 
-2E =
9
. Portanto, usando esses valores, 
obtemos o resultado no método I.
Exemplo 4.5.2.
Consideramos a função:
2 2
-2x + 4F(x)=
(x +1)(x -1)
O denominador tem um fator quadrático irredutível, assim como um fator 
linear repetido.
34
Assim, o método das frações parciais é aplicável, pela regra (a) do fator 
linear, (m=2), o fator 2(x -1) introduz dois termos e pela regra (b) do fator 
quadrático, o fator 2x +1 introduz um só termo 2
Cx + D
x +1
.
Então, escrevemos:
2 2 2 2
-2x + 4 A B Cx + D= + +
x -1(x +1)(x -1) (x -1) x +1
Onde A, B, C e D são constantes a serem determinadas.
Multiplicando-se a equação por 2 2(x -1) (x +1) , obtemos:
2 2 2-2x + 4 = (Ax + B)(x -1) +C(x -1)(x +1)+ D(x +1)
Método I (Comparação de termos de mesmo grau)
Agrupando os termos semelhantes, encontramos:
3 2(Ax +C)x +(-2A+ B -C+ D)x +(A - 2B+C)x +(B -C+ D)
Igualando os coeficientes das mesmas potências de x, obtemos o sistema de 
equações lineares:
A+C = 0
-2A+ B -C+ D
A - 2B+C = -2
B -C+ D = 4
Resolvendo-o encontramos A = 2, B =1, C = -2 e D =1
Portanto, a decomposição em frações parciais é dada por:
2 2 2 2
-2x + 4 2x +1 2 1= - +
(x +1)(x -1) x +1 x -1 (x -1) 
Método II (Atribuindo valor numérico a x)
Consideremos a identidade:
2 2 2-2x + 4 = (Ax + B)(x -1) +C(x -1)(x +1)+ D(x +1)
Atribuindo-se a x os valores x =1,0,-1,2 temos:
⇒x =1 1= D
⇒ ⇒x = 0 4 = B -C+ D B -C = 3
⇒ ⇒x = -1 6 = -4A+ 4B - 4C+ 2D A - B+C = -1
35
⇒ ⇒x = 2 0 = 2A+ B+5C +5D 2A+ B+ 5C = -5
De onde obtemos: 
A - B+C = -1
 B+C = -1
 C = -2
 D =1
Resolvendo-o, encontramos A = 2, B =1, C = -2 e D =1 . Assim, usando estes 
valores, obtemos a mesma decomposição em frações parciais do método I.
Método III (Heaviside)
Consideramos a função:
2 2
-2x + 4F(x)=
(x +1)(x -1)
Devemos observar que, neste caso, não podemos aplicar o método.
Método IV (Usando derivação)
Consideremos novamente a identidade:
2 2 2-2x + 4 = (Ax + B)(x -1) + c(x -1)(x +1)+ D(x +1)
Fazendo a substituição x =1 , temos D =1 . Então derivamos os dois lados em 
relação a x, obtendo:
2 2-2 = A(x -1) +(Ax + B).2(x -1)+C(x +1)+(Cx -C)(2x)+ 2xD
Fazendo a substituição x =1 , temos C = -2 . Derivamos os dois lados em 
relação a x, obtendo:
0 = 2A(x -1)+ 2(Ax + B)+ .A(2x - 2)+ 2Cx + 2Cx + 2Cx - 2C+ 2D
Fazendo a substituição x =1 , temos A+C = 3 . Derivamos novamente para ter 
A+C = 0 ou seja A = -C = 2 que substituído na equação anterior nos fornece B =1 .
Assim, encontramos A = 2, B =1, C = -2 e D =1 . Usando esses valores, 
obtemos a mesma decomposição em frações parciais do método I. 
36
5. Conclusão:
Apresentamos as técnicas em frações parciais em diversos casos. Assim, uma 
vez que as técnicas forem dominadas, o principal desafio é reconhecer que técnica 
deve ser usada. Algumas vezes tornam-se necessárias muitas experiências até 
conseguirmos descobrir uma boa escolha. É útil conhecer todas. A decomposição de 
funções racionais é sempre possível. Um pré-requisito para a solução da estratégia 
das técnicas é decompor o denominador num produto de fatores lineares e 
quadráticos, pois o método de determinar as frações parciais irá depender da 
natureza desses fatores.
Analisando todas as técnicas, concluímos que o método comparação é o mais 
eficiente dos quatro métodos que nós consideramos. Esta afirmação é verdadeira 
quando resolvemos manualmente sistemas pequenos. Aplica-se a todas as 
situações. De antemão sabemos que o sistema é solúvel, porque a teoria prediz que 
nosso problema tem solução.
Uma desvantagem da utilização deste método é que ele às vezes conduz a um 
sistema de mais de três equações e de mais de três incógnitas tornando-se trabalho 
árduo fazê-lo. Contudo em alguns casos é possível evitá-los.
Observamos que o método da substituição é menos cansativo. Quando as 
raízes são distintas, este método sempre dá, diretamente, todas as constantes 
desconhecidas. É uma boa alternativa para facilitar as contas. Quando os fatores 
dos denominadores são lineares e repetem-se, não conseguimos determinar todas 
as constantes. Para achar as outras constantes podemos substituir valores de x 
diferente das raízes com a finalidade de obter equações extras necessárias e temos 
que resolver o sistema para obtê-las.
Às vezes, pode ser preferível fazer uso do método Heaviside, pois sempre 
fornece resultados rápidos. Economiza-se tempo. Isto se reflete em termos de um 
menor número de operações envolvidas. Evita a resolução de um sistema. Mas, 
para o caso de funções racionais, cujo denominador tenha raízes múltiplas não 
podemos aplicá-lo, pois temos menos raízes a substituir do que constantes 
desconhecidas. Útil quando o denominador é um produto de n fatores lineares e 
distintos.
37
Quando as raízes do polinômio do denominador da função racional são 
complexas e alguns dos fatores quadráticos irredutíveis são repetidos, os cálculos 
envolvidos costumam ser longos, dificultando um pouco.
Observamos que o procedimento prático adotado nos exemplos anteriores para 
calcular as constantes das frações parciais, não é eficiente, no entanto um outro 
método pode ser aplicado, o método da derivação. Algumas vezes o seu uso abrevia 
consideravelmente os cálculos, portanto ele pode ser usado como uma ferramenta 
auxiliar.
Assim sendo, devemos adquirir a capacidade de reconhecer qual a técnica a 
ser empregada numa dada situação. É importante que se consiga encontrar de uma 
só vez, vários coeficientes da decomposição em fatores parciais.No entanto, há 
ocasiões em que esses procedimentos não são suficientes. Resumindo, nenhum 
método é perfeito, não se adequando a todas as situações.
38
Referências Bibliográficas:
[1] APOSTOL, Tom M. Calculus Volumen 1 . Barcelona : Ed. Reverte S.A. 
1965. 
 [2] IEZZI, Gelson & DOLCE, Osvaldo. Álgebra III. São Paulo: Ed Moderna; 
1973. 
[3] KREYSZIG, Erwin. Matemática Superior. Vol. 1; Rio de Janeiro; Ed. 
Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda. 1972
 [4] LEITHOLD, Louis. O cálculo com geometria analítica. Vol. 1. São 
Paulo; Ed. Harbra & Row do Brasil. 1977.
[5] LIMA, Elon Lages et ali. A Matemática do Ensino Médio- Coleção do 
Professor de Matemática. Vol 3. Rio de Janeiro.Ed. SBM.2001
[6] MOISE, Edwin E. Cálculo: um curso universitário. Vol. 1. São Paulo. 
Ed. Blücher Ltda. 1970.
[7] SANTOS, Reginaldo. Decomposição em frações parciais. 
Departamento de Matemática da Universidade Federal de Minas Gerais – ICEX 
UFMG. On Line. Disponível em: <http://www.mat.ufmg.br/~regi.> Acesso em: 18 de 
abril de 2004
[8] SWOKOWSKI, Earl William. Cálculo com geometria analitica. 2.ed. Rio 
de Janeiro: Makron Books, 1995.
[9] SIMMONS, George F. Cálculo com Geometria Analítica. Vol 1. São 
Paulo: Ed. McGraw-Hill; 1987.
[10] THOMAS JR, George B. Cálculo Vol. 1. Ed. Addison Wesley. 2002
[11] VIDIGAL, Angela et ali. Fundamentos da Álgebra. Belo Horizonte: Ed. 
UFMG; 2005.
39
	MARIA HELENA TUROLA TAKAMATSU
	Outubro de 2005
	1. Introdução.
	2. Decomposição em frações parciais.
	3. Métodos Especiais.
	3.1. Método I: Comparação de termos de mesmo grau.
	Exemplo 3.1: 
	3.2. Método II: Atribuindo valores numéricos a x.
	Exemplo 3.2: 
	3.3. Método III: Heaviside.
	Exemplo 3.3:
	3.4. Método IV: Derivação.
	Exemplo 3.4: 
	4. Decomposição de funções racionais em frações parciais utilizando diversos métodos.
	4.1. Os fatores de g(x) são lineares e distintos.
	Exemplo 4.1.1:
	Método I (Comparação de termos de mesmo grau):
	Método II – (Atribuindo valores numéricos a x)
	Método III (Heaviside)
	Método IV (Usando a derivação)
	4. 2. Os fatores de g(x) são lineares sendo que alguns deles se repetem.
	Exemplo 4.2.1:
	Método I (Comparação de termos de mesmo grau)
	Método II (Atribuindo valores numéricos a x)
	Método III (Heaviside)
	Método IV (Utilizando derivação)
	4.3. Os fatores de g(x) são quadráticos e irredutíveis.
	Exemplo 4.3.1:
	Método I (Comparação de termos de mesmo grau)
	Método II (Atribuindo valores numéricos a x)
	Método III (Heaviside)
	Método IV (Usando a derivação)
	Exemplo 4.3.2 :
	Método I (Comparação de termos de mesmo grau)
	Método II (Atribuindo valores numéricos a x)
	Método III (Heaviside)
	Método IV (Usando derivação)
	4.4. Os fatores de g(x) são lineares e quadráticos irredutíveis, mas nenhum repetido.
	Exemplo 4.4.1: 
	Método I (Comparação de termos de mesmo grau)
	Método II (Atribuindo valores numéricos a x)
	Método III (Heaviside)
	Método IV (Usando derivação)
	Exemplo 4.4.2:
	Método I (Comparação de termos de mesmo grau)
	Método II (Atribuindo valores numéricos a x)
	Método III (Heaviside)
	Método IV (Usando a derivação)
	Exemplo 4.4.3.
	Método I (Comparação de termos de mesmo grau)
	Método II (Atribuindo valores numéricos a x)
	Método III (Heaviside)
	Método IV (Usando derivação)
	4.5. Os fatores de g(x) são lineares e quadráticos irredutíveis sendo que alguns dos quais são repetidos.
	Exemplo 4.5.1: 
	Método I (Comparação de termos de mesmo grau)
	Método II (Atribuindo valores numéricos a x)
	Método III (Heaviside)
	Método IV (Usando a derivação)
	Exemplo 4.5.2.
	Método I (Comparação de termos de mesmo grau)
	Método II (Atribuindo valor numérico a x)
	Método III (Heaviside)
	Método IV (Usando derivação)
	5. Conclusão:
	Referências Bibliográficas: