ED2 P1 TX - 2013

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P1 - Primeira Prova de Equac¸o˜es Diferenciais 2
Maicon Soˆnego - 11/09/2013
Nome: ............................................................ Matr´ıcula: ................... Curso: ...........
• A prova pode ser feita a la´pis.
• Coloque seu nome completo na folha de questo˜es e na folha de resoluc¸a˜o da prova.
• No final, entregue a folha de resoluc¸a˜o e a folha de questo˜es.
Questo˜es
1. Resolva o problema de valor inicial dado usando o me´todo de transformadas de Laplace.
(a) (15 pontos)
{
y′′ + 4y = upi(t)− u3pi(t)
y(0) = 0, y′(0) = 0.
(b) (15 pontos)
{
y′′′ + 3y′′ + 3y′ + y = 0
y(0) = −4, y′(0) = 4, y′′(0) = −2.
2. (a) (15 pontos) Encontre a transformada de Laplace inversa da func¸a˜o F (s) =
2(s− 1)e−2s
s2 − 2s+ 2 .
(b) (15 pontos) Sabendo que L{tnf(t)} (s) = (−1)nd
nF
dsn
(s), onde F (s) = L{f(t)}, prove que
L{t2f ′(t)} (s) = sF ′′(s) + 2F (s).
3. Encontre a transformada de Laplace da func¸a˜o dada:
(a) (10 pontos) f(t) =
{
0, t < 3
t2 − 6t+ 11, t ≥ 3.
(b) (10 pontos) f(t) =
∫ t
0
(t− k)3e2kdk.
4. (15 pontos) Se δ representa a func¸a˜o Delta de Dirac, resolva o problema de valor inicial abaixo:{
y′′ + 4y = δ(t− 4pi)
y(0) = 1
2
, y′(0) = 0.
5. (10 pontos) Mostre, atrave´s do exemplo f(t) = sen(t), que a func¸a˜o (f ∗ f)(t) (f convoluc¸a˜o
com f) na˜o precisa ser na˜o-negativa.
Boa prova!