Integração por partes

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Integrac¸a˜o por Partes
A integrac¸a˜o por partes e´ uma te´cnica de integrac¸a˜o na qual uma escolha conveniente
de u e dv leva-nos a uma integral que e´ mais fa´cil de resolver.
Fo´rmula:
∫
u dv = uv −
∫
v du
Exemplo 1 Calcule
∫
x cosx dx.
Passo 1) Fazemos a escolha de u e dv:
u = x e dv = cosx dx.
Obs.: A escolha adequada e´ uma questa˜o de experieˆncia, que prove´m de muita pra´tica.
Definidos u e dv, falta achar v e du.
Passo 2) Encontramos du derivando u em relac¸a˜o a x:
du
dx
= 1 ⇒ du = dx
Passo 3) Para achar v e´ so´ integrar ambos os lados de dv = cosx dx.
∫
dv =
∫
cosx dx ⇒ v = senx
Obs.: Nessa etapa, podemos desprezar a constante que surgiu da integral indefinida.
Passo 4) Por fim, substituimos u, v, du e dv na fo´rmula da integral por partes:∫
x︸︷︷︸
u
cosx dx︸ ︷︷ ︸
dv
= x︸︷︷︸
u
senx︸︷︷︸
v
−
∫
senx︸︷︷︸
v
dx︸︷︷︸
du
Logo, ∫
x cosx dv = x senx− (−cosx) + C
∫
x cosx dv = x senx + cosx + C
Exemplo 2 Calcule
∫
x ex dx.
Passo 1) u = x e dv = ex dx
Passo 2)
du
dx
= 1 ⇒ du = dx
Passo 3)
∫
dv =
∫
ex dx ⇒ v = ex
Passo 4) ∫
x︸︷︷︸
u
ex dx︸ ︷︷ ︸
dv
= x︸︷︷︸
u
ex︸︷︷︸
v
−
∫
ex︸︷︷︸
v
dx︸︷︷︸
du∫
x ex dx = x ex − ex + C
Exemplo 3 Calcule
∫
lnx dx.
Passo 1) u = lnx e dv = dx
Passo 2)
du
dx
=
1
x
⇒ du = 1
x
dx
Passo 3)
∫
dv =
∫
dx ⇒ v = x
Passo 4) ∫
lnx︸︷︷︸
u
dx︸︷︷︸
dv
= (lnx)︸ ︷︷ ︸
u
x︸︷︷︸
v
−
∫
x︸︷︷︸
v
1
x
dx︸︷︷︸
du∫
lnx dx = x lnx− x + C
2