Resumo de Integral - Calculo 1

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ 
Faculdade de Economia, Administração, Atuária e Contabilidade. 
 Programa de Educação Tutorial 
 PET ADMINISTRAÇÃO UFC 
 
Calculo 1 – Integral 
➢ Conceito de Integral: 
A integral basicamente funciona como o processo inverso da derivação. Se na 
derivada, nós temos: 
𝑓(𝑥) = 2𝑥² → 𝑓′(𝑥) = 4𝑥 
Já integral, temos: 
 ∫ 4𝑥 ∗ 𝑑𝑥 = 2𝑥² + 𝑘 
• Primitiva: 
Na derivada, muitas funções podem possuir a mesma derivada em comum: 
𝐺(𝑥) = 2𝑥² + 3 → 𝐹′(𝑥) = 4𝑥 
𝐻(𝑥) = 2𝑥² − 10 → 𝐹′(𝑥) = 4𝑥 
𝐽(𝑥) = 2𝑥² − 1000 → 𝐹′(𝑥) = 4𝑥 
Então por esse motivo quando fazemos a derivação adicionamos o “𝑘” para 
representar a constante que não importa qual seja o valor, não vai modificar o resultado. E 
ainda, chamamos essa formula geral de primitiva e as formulas que dela derivam dizemos 
pertencer a sua família. 
 
➢ Regras de Integração: 
As regras de Integração, basicamente remontam o processo de derivação, só que 
de maneira inversa: 
 
• Integral de um Múltiplo: 
∫ 𝑐 ∗ 𝑓(𝑥) = 𝑐 ∗ ∫ 𝑓(𝑥) 
𝐸𝑥: ∫ 6𝑥2 = 6 ∗ ∫ 𝑥2 
• Integral de um Potência: 
∫ 𝑥𝑛 = ∫
𝑥𝑛+1
𝑛 + 1
+ 𝑘 (𝑛 ≠ −1) 
𝐸𝑥: ∫ 6𝑥2 = 6 ∗ ∫ 𝑥2 = 6 ∗
𝑥2+1
2 + 1
= 6 ∗
𝑥3
3
= 2𝑥3 + 𝑘 
• Integral de uma Exponencial: 
∫ 𝑒𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝑘 
∫ 𝑒𝑎𝑥 = 𝑒𝑎𝑥 ∗
1
𝑎
+ 𝑘 
𝐸𝑥: ∫ 𝑒2𝑥 = 𝑒2𝑥 ∗
1
2
+ 𝑘 
• Integral de um Logaritmo: 
∫
1
𝑥
𝑑𝑥 = ln 𝑥 + 𝑘 
𝐸𝑥: ∫ 𝑥−1 𝑑𝑥 = (
1
𝑥
)
1
𝑑𝑥 = ln 𝑥 + 𝑘 
• Integral de uma Soma: 
∫ 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 
𝐸𝑥: ∫ 4𝑥 − 8𝑥3 𝑑𝑥 = ∫ 4𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 8𝑥3 𝑑𝑥 = 2𝑥2 − 2𝑥4 + 𝑘 
 
➢ Métodos de Integração: 
Na derivada nós temos a regra da cadeia, que servia para derivar uma função com 
outra função dentro: 
𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓′(𝑔(𝑥)) ∗ 𝑔′(𝑥) 
Os métodos de integração surgem como uma maneira para tentar resolver esse 
processo, mais é claro que de maneira inversa. Vale salientar que, não importa qual seja a 
expressão a integrar, ela apenas conseguirá ser resolvida por um dos métodos, nuca os dois, e 
um der certo no outro daria errado e vice-versa. Como eu sei qual método escolher? Tentativa 
e erro, conforme você resolve muitos exemplos, vai sendo mais fácil identificar qual utilizar. 
 
• Método da Substituição 
∫ 𝑓(𝑔(𝑥)) ∗ 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑔(𝑥)) + 𝑘 
∫ 𝑓(𝑢) ∗ 𝑑𝑢 = 𝐹(𝑢) + 𝑘 
Em uma questão com o Método da Substituição chamamos o 𝑔(𝑥) de "𝑢" e sua 
derivada de "𝑑𝑢". Para resolvermos, precisamos, antes de tudo, encontrar o "u", em seguida 
fazer sua derivada e aplicar na substituição. 
𝑬𝒙: ∫ 𝟔𝒙(𝒙𝟐)𝟐 
o 1º Passo: Encontrar o “𝑢” e o “𝑑𝑢” 
𝑢 = 𝑥2 → 𝑑𝑢 = 2𝑥 
o 2º Passo: Substituir na formula 
∫ 𝑓(𝑢)2 ∗ 3𝑑𝑢 
o 3º Passo: Fazer a Integração 
3 ∗ ∫ 𝑓(𝑢)2 ∗ 𝑑𝑢 = 3 ∗
𝑢3
3
= 𝑢3 + 𝑘 
o 4º Passo: Substituir o “𝑢” 
𝑢3 + 𝑘 = (𝑥2)3 + 𝑘 
 
• Método por Partes: 
∫ 𝑓(𝑥) ∗ 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥) ∗ 𝑔(𝑥) − ∫ 𝑓′(𝑥) ∗ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑘 
∫ 𝑣 ∗ 𝑑𝑢 = 𝑢 ∗ 𝑣 − ∫ 𝑢 ∗ 𝑑𝑣 
No método por partes além de "𝑢" e sua derivada "𝑑𝑢", nós chamamos o 𝑓(𝑥) de 
"𝑣" e sua derivada de "𝑑v". Para resolvermos, precisamos, antes de tudo, identificar quem é o 
"𝑣" e o "𝑑u" e em seguida a plicar na formula. 
𝑬𝒙: ∫ 𝒙𝒆𝒙𝒅𝒙 
o 1º Passo: Identificar o “𝑣” e o “𝑑𝑢” 
𝑣 = 𝑥 𝑒 𝑑𝑢 = 𝑒𝑥𝑑𝑥 
o 2º Passo: Encontrar o “𝑑𝑣” e o “𝑢” 
𝑑𝑣 = 1 𝑒 𝑢 = 𝑒𝑥 
o 3º Passo: Substituir na formula 
𝑑𝑢 = 2𝑥 → 𝑥 ∗ 𝑑𝑢 = 6𝑥 
𝑥 =
6𝑥
2𝑥
= 3 
 
𝑢𝑣 − ∫ 𝑢𝑑𝑣 
𝑒𝑥𝑥 − ∫ 𝑒𝑥 ∗ 1 
o 4º Passo: Resolver o Problema 
𝑒𝑥𝑥 − 𝑒𝑥 + 𝑘