Semana 3 - Exercícios

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Introduc¸a˜o a` a´lgebra linear - Turma B
Semana 3 – Lista de exerc´ıcios
Temas abordados: Sistemas de equac¸o˜es lineares dependente de paraˆmetros. Exem-
plos. Propriedades das matrizes invert´ıveis e transposic¸a˜o. Un me´todo para o ca´lculo
da inversa de uma matriz quadrada invert´ıvel.
Sec¸o˜es dos livros:
• Steinbruch-Winterle, A´lgebra Linear: Apeˆndice de A.36 ate´ A.37(ate´ pa´gina
494), A.46 (desde pa´gina 555 ate´ pa´gina 571)
• Anton-Rorres, A´lgebra Linear com aplicac¸o˜es: 1.4 e 1.5.
1) Exerc´ıcios (Steinbruch-Winterle, A´lgebra Linear: Apeˆndice)
• Exerc´ıcios na sec¸a˜o A.46.1 do livro:
– N. 24,25,26,27,28.
• Exerc´ıcios na sec¸a˜o A.37.1 do livro:
– N. 4,5,6,9,11,13,14,18,19,20,21.
2)Discutir, resolver e classificar os seguintes sistemas lineares ao variar do para´metro
k:
(i) (a)
 x1 + 2x2 − 3x3 = 43x1 − x2 + 5x3 = 24x1 + x2 + (k2 − 14)x3 = k + 2 , (b)
 x1 + kx2 + x3 = kx1 − kx3 = kkx1 − x3 = k + 2 .
(ii) (a)
 x1 − x2 + kx3 + (k − 2)x4 = 0x1 + x2 + (k − 1)x3 + kx4 = 0kx1 + x2 + (k2 − 2k + 2)x4 = 0 , (b)
 x1 + x2 + x3 = −kx1 + 3x2 + kx3 = kkx1 + 3x2 + kx3 = 1 .
Soluc¸o˜es de 2):
(i) (a) Se k = −4, o sistema e´ incompat´ıvel. Se k = 4, o sistema e´ compat´ıvel,
indeterminado com grau de liberdade 1. Soluc¸a˜o:
x1 =
8
7
− t, x2 = 10
7
+ 2t, x3 = t. t ∈ R
Se k �= ±4 o sistema e´ compat´ıvel e determinado com soluc¸a˜o
x1 =
8
7
− 1
k + 4
, x2 =
10
7
+
2
k + 4
, x3 =
1
k + 4
.
(b) Se k = 0 ou k = 1, o sistema e´ incompat´ıvel. Se k = −1, o sistema e´
compat´ıvel, indeterminado com grau de liberdade 1. Soluc¸a˜o:
x1 = −1− t, x2 = 0, x3 = t. t ∈ R
Se k �= −1, 0, 1 o sistema e´ compat´ıvel e determinado com soluc¸a˜o
x1 =
k
k − 1 , x2 =
(k + 1)(k − 2)
k(k − 1) , x3 = −
k − 2
k − 1 .
1
2
(ii) (a) Se k = 1 o sistema e´ compat´ıvel e indeterminado com grau de liberdade
2. Soluc¸a˜o:
x1 = −1
2
t, x2 =
1
2
t− s, x3 = t, x4 = s. t, s ∈ R.
Se k �= 1 o sistema e´ compat´ıvel e indeterminado com grau de liberdade 1.
Considerar os dois subcasos: k = −1 e k �= −1.
(b) Se k �= 1, 3 o sistema e´ compat´ıvel e determinado com soluc¸a˜o
x1 = −1, x2 = −k
2 + 1
k − 3 , x3 =
4k − 2
k − 3 .
Se k = 1, o sistema e´ compat´ıvel, indeterminado com grau de liberdade 1.
Soluc¸a˜o:
x1 = −2− t, x2 = 1, x3 = t, t ∈ R.
Se k = 3 o sistema e´ incompat´ıvel.
578 Afuebra,linear
20) í U* - 9y - Sz= -35I
l 2 x + 3 y + 4 2 = 2 9
I S * - 2 y - l z = O
1 9 ) [ * - y = 0
l rr. 4z=6I
[ * + y ] 4 2 = 6
2 r ) 
[ + l r+8y+ r2z=24
| . - z=oI
[-5* - 8y - l lz= -24
Iz * *3y+42=53
| ,* * sy -42=2I
[ 4 x + 7 y - 2 z = 3 1
22) 2y + 4z= -15
3 y - 3 z = 0
4 y - z = - 8
Nos problemas de 24 a 27, estabelecer a condigÍÍo que deve ser satisfeita pelos termos
7.x"-
9 x +
x -
2 x + 4 y + 2 2 = a
3 x + 8 y + 5 z = b
-3x - 4y - lz=c
x + y - z = a
- x i ) 2 = S
y l z = c
independentes para que sejam compatíveis os sistemas.
2 4 ) [ o * + t 2 y + B z = a 2 s )I
I
| 2 x+ 5y+32 -bI
[ -aV - 4z= c
23)
2x+ 2y + 42=,
6 x + l l y f 8 z = b
2x+ 7Y.= c
27)26)
Cristina Acciarri
Manízes. Determituntes. Sístenu de equagúes lkcrncs
)8
28) Calcular o valor de k para que admita solug6o nfo-trivial o seguinte sisterna:
I
l a t *6Y=0I
[ 4 x + k Y = 0
Noo problemar de 29 a33,resolver os sistemas pelo método matricial.
(
f - 2 x + 3 y - z = b t
I
I x -3y+z=bzI
f . - x + 2 y - z = b t
2 9 ) P a r a b 1 = 2 , b 2 = 5 e b r = 7 .
30) Para b1 = l, bz = 6 e br =0.
3 l ) Para b1 =2, bz =-8 e ba =9.
32) Para b1 - 4, bz = -3 e b3 = -2.
33) Para b1 =4, bz =7 e bc =9.
Noc problemas de 34 a37, resolver os sistemas pelo método matricial.
34)
3s)
36)
37)
'( 
-2x1 - x2 r 2xa = b1
I
| 3x1 + x2 : 2xt - 2xc =bzI
| - 4 x 1 - x 2 + h c t 3 x a = b 3I
t 3x1 f x2 x3 - 2xc 
=bq
P a r a b s = 5 , b z = 3 , b t = 1 2 e b l = l 0
P a r a b 1 - - 8 , b z = 4 , b s = - 9 e b a = $
Para b1 =4, bz=Q, b r = -2 e be =3
P a r a b 1 = - 9 , b z = 6 , b g = 3 e b a = t
Cristina Acciarri
Matrizes. Determttuntes. Sístemo de eqngúec lùuoq 499
000
r00
- 2 1 0
r -2 I
Q =
I
-2
I
3)2)'[l ], l]
a mattiz inrrersa de cada uma das matrizes dadas.
s) [-, 4 *ln=l o | 2l
L3 -s 4J
7) [t o 
-r l"=L_: : I
lemas de 4 a 20, calcular'l
,)
:-l]:ll
1,:]
prob
l:
f-ot:
[_,Ir
[:
Nos
4)
[ =
6)
'[l : :]
"[r :1]
f, 
[; 
.: 
.;]
g)
1 t )
l3)r2)
Q =
8),
$ =
10)
G -
I 0 0 0
2 1 0 0
3 2 1 0
4 3 2 1
I
I
i
I
I
k=J
J =
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Cristina Acciarri
Cristina Acciarri
500 Àlgebra linear
\ f =
Q =
$ =
- 1
- 3
- 4
invrn
22)
23)
24)
2s)
26)
4.37.
I a 3 .
[" 1]ls)'4)" [r ] l]
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- 4 
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17)6) p Ll 
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6)
^ [ : : ]
2 0
- l 2
0 - 1
0 0
20) - l
0
0
0
2l) Calcular o valor de k para que a matriz
niio tenha inversa.
Cristina Acciarri
Cristina Acciarri
Cristina Acciarri
Cristina Acciarri
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