Lista1-Sistemas de Equações Lineares

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UFOP - Departamento de Computação
BCC760- Cálculo Numérico
Lista de Exerćıcios 1
Resolução de Sistemas de Equações Lineares Simultâneas
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Métodos Diretos
1. Resolva os sistemas lineares utilizando o método de substituição retroativa ou progressiva
(sucessiva):
a)

2x1 = 4
3x1 +5x2 = 1
x1 −6x2 +8x3 = 48
−x1 +4x2 −3x3 +9x4 = 6
b)

5x1 −2x2 +6x3 +x4 = 1
+3x2 +7x3 −4x4 = −2
+4x3 +5x4 = 28
+2x4 = 8
2. Resolva os sistemas lineares pelo método de eliminação de Gauss e verifique a exatidão
da solução encontrada através do cálculo do reśıduo. Utilize 4 casas decimais.
a)
 1 2 4−3 −1 4
2 14 5
 x1x2
x3
 =
 138
50
 b)

x1 +2x2 +2x3 = 2
x1 +x2 +x3 = 0
x1 −3x2 −x3 = 0
3. Resolva os sistemas lineares pelo método de eliminação de Gauss com pivotação parcial
e verifique a exatidão da solução através do cálculo do reśıduo. Utilize 4 casas decimais.
a)
 −2 3 12 1 −4
4 10 −6
 x1x2
x3
 =
 −5−9
2
 b)

−2 3 1 5
5 1 −1 0
1 6 3 −1
4 5 2 8


x1
x2
x3
x4
 =

2
−1
0
6

4. Resolva os sistemas lineares pelo método de Eliminação de Gauss. O que é posśıvel
afirmar em relação a quantidade de soluções desses sistemas?
a)
 −1 −1 −11 −1 1
−1 1 −1
 x1x2
x3
 =
 83
4
 b)
 1 1 11 −1 −1
3 1 1
 x1x2
x3
 =
 3−1
5

5. Resolva o sistema linear pelo método de decomposição LU e verifique a exatidão da
solução. Utilize quatro casas decimais.
4 −1 3 8
1 6 2 −3
5 5 1 0
2 4 −2 1


x1
x2
x3
x4
 =

43
1
18
8

6. Resolva o sistema linear utilizando o método da decomposição LU com pivotação parcial. 1 2 3−5 −1 4
2 4 1
 x1x2
x3
 =
 17−2
24

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7. Calcule o determinante e, se posśıvel, encontre a matriz inversa utilizando o método de
decomposição LU:
a)
[
3 −1
4 2
]
b)
 4 −6 2−6 10 −5
2 −5 30

8. Considere o seguinte sistema de equações lineares:

2x1 − 6x2 − x3 = −38
−3x1 − x2 + 7x3 = −34
−8x1 + x2 − 2x3 = −20
a) Faça a etapa de eliminação de Gauss com pivotação parcial.
b) Utilize os resultados obtidos para escrever a fatoração LU da matriz A.
c) Calcular o determinante da matriz A.
d) Resolva o sistema usando o método de decomposição LU.
9. Considere o seguinte sistema de equações lineares:

7x1 + 2x2 − 3x3 = −12
2x1 + 5x2 − 3x3 = −20
x1 − x2 − 6x3 = −26
a) Obtenha a fatoração LU da matriz A.
b) Multiplique as matrizes L e U resultantes para verificar que A é produzida.
c) Utilize a decomposição LU para resolver o sistema linear.
d) Resolva o sistema linear para um vetor do lado direito alternativo: B2 = [12 18 −6]t
10. O primeiro registro histórico associado a formulação de um problema através de um
sistema de equações algébricas lineares encontra-se no antigo livro chinês Chiu-chang
Suan-shu (Nove caṕıtulos em aritmética), que se estima ter sido escrito por volta de 200
a.C. No começo do Caṕıtulo VIII, aparece um problema da seguinte forma:
“Três fardos de uma boa colheita, dois fardos de uma colheita med́ıocre, e um fardo de
uma colheita ruim foram vendidos por 39 dou. Dois fardos da boa, três da med́ıocre, e um
da ruim foram vendidos a 34 dou; e um da boa, dois da med́ıocre, e três da ruim foram
vendidos a 26. Qual o preço recebido pela venda de cada fardo associado a boa colheita,
a colheita med́ıocre e a colheita ruim??”
Resolva o problema acima usando o método de Eliminação de Gauss.
11. Um engenheiro civil envolvido em uma construção precisa de 4.800, 5.800 e 5.700 m3 de
areia, cascalho fino e cascalho grosso, respectivamente, para um projeto de construção.
Existem três minas de onde esses materiais podem ser obtidos e a composição dessas
minas é dada conforme a tabela:
Areia (%) Cascalho fino (%) Cascalho grosso (%)
Mina 1 52 30 18
Mina 2 20 50 30
Mina 3 25 20 55
Quantos metros cúbicos devem ser minerados de cada mina para atender as necessidades
do engenheiro? Utilize o método de Eliminação de Gauss com pivatoção parcial para
obter a resposta.
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12. Deseja-se fazer o planejamento de uma refeição diária, de forma que a quantidade de cada
alimento a ser ingerindo corresponda as necessidades de vitamina C, cálcio e magnésio
necessárias por dia. Três diferentes tipos de ingredientes serão empregados na refeição,
sendo que cada ingrediente possui uma determinada quantidade de nutriente (expressa
em miligramas) por unidade de ingrediente, conforme apresentado na tabela abaixo: De-
Nutrientes Ingrediente 1 Ingrediente 2 Ingrediente 3 Total de
Nutrientes (mg)
Vitamina C 10 20 20 100
Cálcio 50 40 10 300
Magnésio 30 10 40 200
termine, utilizando o método de decomposição LU, a quantidade de unidades de cada
ingrediente necessárias para satisfazer plenamente a quantidade de nutrientes estipulada
na dieta.
13. A Figura 1 mostra três reatores interligados por tubos. Como indicado, a taxa de trans-
ferência de produtos qúımicos através de cada tubo é igual a uma vazão (Q com unidade
em metros cúbicos por segundo) multiplicada pela concentração do reator do qual o fluxo
se origina (c com unidades em miligramas por metro cúbico). Se o sistema estiver em
um estado estacionário, a transferência para dentro de cada reator vai balancear com a
transferência para fora. Deduza as equações de balanço de massa para os três reatores e
resolva o sistema linear de equações algébricas simultâneas para obter as concentrações
em cada um dos reatores. Utilize o método de decomposição LU e 4 casas decimais.
Figura 1: Três reatores interligados por tubos.
Métodos Iterativos
1. Caso haja convergência garantida, resolva os sistemas lineares pelo método iterativo de
Jacobi com x(0) = [0 0 0]t e � = 0, 01.
a)

10x1 + 2x2 + 3x3 = 28
x1 + 10x2 + 6x3 = 7
2x1 − 2x2 − 10x3 = −17
b)
 6 2 −21 4 1
2 2 8
 x1x2
x3
 =
 −16
9

2. Caso haja convergência garantida, resolva os sistemas lineares pelo método iterativo de
Gauss-Seidel com x(0) = [0 0 0]t e � = 0, 01.
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a)

6x1 − x2 − x3 = 11
−x1 + 6x2 − x3 = 32
−x1 − x2 − 6x3 = 42
b)
 4 −0, 5 0, 51 1 1
0, 5 −0, 5 7
 x1x2
x3
 =
 312
3

3. Considere um sistema de equações lineares cujas matrizes dos coeficientes e dos termos
independentes são as seguintes:
A =
 C 3 1C 20 1
1 C 6
 B =
 11
1

a) Aplicando o critério das linhas, determine em qual intervalo deve estar o valor da
constante C de tal forma que se possa garantir a convergência quando aplicado um
método iterativo para a resolução do sistema Ax = B.
b) Tomando um valor para C, pertencente ao intervalo determinado na letra a), resolva
o sistema de equações lineares utilizando 5 iterações do método de Jacobi e x(0) =
[0 0 0]t
4. Considere o seguinte sistema de equações lineares:

−x1 + x2 − 3x3 = −2
−9x1 + 2x2 + 6x3 = 11
2x1 + 4x2 + x3 = 4
a) Reordene as equações de modo que o critério de convergência dos métodos iterativos
seja satisfeito.
b) Caso haja a convergência garantida, resolva o sistema linear obtido na letra (a) pelo
método iterativo de Jacobi com x(0) = [0 1, 5 1]t e � = 0, 01.
c) Caso haja a convergência garantida, resolva o sistema linear obtido na letra (a) pelo
método iterativo de Gauss-Seidel com x(0) = [0 1, 5 1]t e � = 0, 01.
e) Compare o número de iterações e a precisão de ambos os métodos. O que é posśıvel
concluir?
5. Com o balanceamento da seguinte reação qúımica, feito com a conservação do número de
átomos de cada elemento entre reagentes e produtos
P2I4 + aP4
←→ cPH4I + dH3PO4
os coeficientes estequiométricos a, b, c e d são dados pela solução do seguinte sistema de
equações: 
−40 1 1
0 0 1 0
0 −2 4 3
0 −1 0 4


a
b
c
d
 =

2
4
0
0

Reordene as equações se necessário para que o critério das linhas seja satisfeito, e resolva
o sistema linear pelo método iterativo de Gauss-Seidel. Use x(0) = [1 12 3 4]t e
� = 0, 01.
6. No estudo de transferência de calor é posśıvel determinar a distribuição de temperatura
assintótica de uma placa fina quando a temperatura em sua borda é conhecida. Por
exemplo, considere a placa ilustrada na Figura 2 que representa uma seção transversal
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Figura 2: Temperatura assintótica de uma placa fina.
de uma barra de metal, com fluxo de calor despreźıvel na direção perpendicular à placa.
Sejam T1, T2, T3 e T4 as temperaturas em quatro vértices interiores.
Sabe-se que a temperatura em um vértice é aproximadamente igual à média dos quatros
vértices vizinhos mais próximos. Assim, a temperatura no vértice T1 é dada por:
T1 = (10 + 20 + T2 + T3)/4, ou 4T1 − T2 − T3 = 30
Com base nas informações acima, calcule as temperaturas estimadas em cada um dos nós
da Figura 2 pelo método iterativo de Jacobi. Use x(0) = [0 0 0 0]t e � = 0, 5.
Referências
[1] F. F. Campos Filho. Algoritmos Numéricos. LTC editora, Rio de Janeiro, 2a edição, 2012.
[2] S. C. Chapra. Métodos Numéricos Aplicados com MATLAB Para Engenheiro e Cientistas.
Bookman editora, Porto Alegre, 3a edição, 2013.
[3] S. Arenales e A. Darezzo. Cálculo Numérico: Aprendizagem com Apoio de Software. Cengage
Learning, São Paulo, 2a ed. rev. e ampl., 2015.
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Respostas dos Exerćıcios
Métodos Diretos
1. a)[2 − 1 5 3]t b)[−3 − 0 2 4]t
2. a)[−1 3 2]t b)[−2 − 2 4]t
3. a)[7 1 6]t b)[0, 3142 − 0, 8179 1, 7530 0, 6658]t
4. a) O sistema linear é incompat́ıvel.
b) O sistema linear é compat́ıvel indeterminável.
5. x ≈ [2, 2590 0, 9475 1, 9672 3, 6262]t e
R ≈ [−0, 0003 − 0, 0002 − 0, 0003 − 0, 0002]t
6. x = [1 5 2]t
7. a) det(A) = 10, A−1 =
[
0, 2 0, 1
−0, 4 0, 3
]
b) det(A) = 100, A−1 =
 2, 75 1, 70 0, 101, 70 1, 16 0, 08
0, 10 0, 08 0, 04

8. b) L =
 1 0 0−0, 25 1 0
0, 375 0, 2391 1
 e U =
 −8 1 −20 −5, 75 −1, 5
0 0 8, 1087

c) det(A) ≈ 373, 0002
d) x ≈ [3, 9991 7, 9992 − 1, 9968]t
9. a) L =
 1 0 00, 2857 1 0
0, 1429 −0, 2903 1
 e U =
 7 2 −30 4, 4286 −2, 1429
0 0 −6, 1935

b) LxU =
 7 2 −31, 9999 5 −3
1, 0003 −0, 9998 −6, 0001
 ≈ A
c) x ≈ [0, 7188 − 1, 4688 4, 6979]t
d) x ≈ [0, 9375 3, 5625 0, 5625]t
10. Modelo:

3x1 + 2x2 + x3 = 39
2x1 + 3x2 + x3 = 34
x1 + 2x2 + 3x3 = 26
e x ≈ [9, 25 4, 25 2, 75]t
11. Modelo:

0, 52x1 + 0, 2x2 + 0, 25x3 = 4800
0, 3x1 + 0, 5x2 + 0, 2x3 = 5800
0, 18x1 + 0, 3x2 + 0, 55x3 = 5700
e x ≈ [4005, 8140 7131, 3953 5162, 7907]t
12. Modelo:

10x1 + 20x2 + 20x3 = 100
50x1 + 40x2 + 10x3 = 300
30x1 + 10x2 + 40x3 = 200
e x ≈ [4, 5455 1, 5152 1, 2121]t
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13. Modelo:

−Q12c1 −Q13c1 +Q21c2 = −200
Q12c1 −Q21c2 −Q23c2 = 0
Q13c1 +Q23c2 −Q33c3 = −500
⇔

−130c1 + 30c2 = −200
90c1 − 90c2 = 0
40c1 + 60c2 − 120c3 = −500
e x ≈ [2 2 5, 8333]t
Métodos Iterativos
1. a) x = [2, 2836 − 0, 9322 2, 3422]t com k = 7
b) x = [−0, 3327 1, 3672 0, 8677]t com k = 5
2. a) x = [1, 2182 4, 2191 − 7, 9062]t com k = 4
b) x = [1, 7868 9, 2509 0, 9617]t com k = 6
3. a) −5 < C < −4 ou 4 < C < 5
b) Para C = 4, 5 x ≈ [0, 1974 0, 0029 0, 1394]t com precisão � = 0, 0157
Para C = −4, 5 x ≈ [−0, 1771 − 0, 0001 0, 1975]t com precisão � = 0, 0016
4. a)

−9x1 + 2x2 + 6x3 = 11
2x1 + 4x2 + x3 = 4
−x1 + x2 − 3x3 = −2
b) x = [−0, 3084 0, 8873 1, 0683]t c) x = [−0, 3162 0, 8921 1, 0694]t
d)
Método k Precisão
Jacobi 10 0, 0065
Gauss-Seidel 6 0, 0093
5. x ≈ [1, 2990 12, 7941 4 3, 1985]t
6. Modelo:

4T1 − T2 − T3 = 30
−T1 + 4T2 − T4 = 40
−T1 + 4T3 − T4 = 40
−T2 − T3 + 4T4 = 70
e x ≈ [17, 9688 21, 3281 21, 3281 27, 9688]t
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