2 lista com gabarito

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO 
2ª LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
DISCIPLINA: Álgebra Linear 
TURMA: 
PROFESSOR: Miguel Arcanjo Filho 
ALUNO(A): 
 
 
MATRIZES 
 
1) Uma editora lançou, este ano, os seguintes livros: 2 de Português, 3 de 
Matemática, 1 de Inglês, 2 de Química e 1 de Física. Crie a matriz matéria x 
quantidade de livros. 
2) Observando as notas de três alunos, verificou-se que o aluno Sócrates tirou 8 
em Matemática, 6 em Português e 5 em Biologia; o aluno Zico tirou 4 em 
Matemática, 6 em Português e 8 em Biologia e o aluno Ademir da Guia tirou 8 
em todas as matérias. Forme a matriz aluno x notas. 
3) Escreva a matriz A=
 
3x3ij
a
, onde 






jise,0
jise,ji
a ij
 
 
4) Escreva a matriz A=
 
3x4ij
a
, onde 






jise,1
jise,2
a ij
 
 
5) Escreva a matriz A=
 
3x2ij
a
, onde 






jise,ji
jise,ji2
a ij
 
6) Chama-se traço de uma matriz quadrada a soma dos elementos da diagonal 
principal. Determine o traço de cada uma das matrizes A =

















101
532
102
Be
34
21 . 
7) Determine x e y, tais que: 
a-) 
.
64
5
3
x
y
xlog
2
2





















 
b-) 
.
y2x51
05
71
0y3x2












 
 
8) Dadas as matrizes A=






3a
21 e 







3b
3x
B
, determinar a, b e x para que A= tB
. 
9) Determinar os valores de a e b, tais que: 
















3a
2b
3b
1a2 
10) Determine x e y na igualdade: 





















5
9
4
5
y
xlog
2
3
 
11) Seja A=
 
3x2ij
a
, onde 
ija
=i + j. Determine m, n e p em B=








5p2m1n
43nm
 a 
fim de que tenhamos A=B. 
 
12) Determine a, b, x e y, tais que: 
.
11
23
yx2ba
yxba













 
13) Dada a matriz A= 






 41
21 , determinar: 
a) a transposta de A b) a oposta de A 
b) 
14) Sendo A=






3
2
1
0
4
1
 e B=






124
103
, calcule: 
a). A + B 
b). A – B 
c). B – A 
15) Calcule x, y e z, tais que 


















 04
z23
17
71
1yx
zx2
. 
16) Para facilitar o cálculo e entendimento, uma loja vende 4 tipos diferentes de 
mercadorias Alfa, Beta, Sigma e Omega e o programa de controle de estoque 
dessa loja é matricial. 
a). Que matriz quadrada E representaria o estoque inicial, sabendo que no dia 1º 
do mês havia 80 unidades de Alfa, 50 unidades de Beta, 35 unidades de Sigma 
e 70 unidades de Omega? 
b). Que matriz quadrada V representaria a venda mensal, supondo que no mês o 
movimento foi de 70 unidades de Alfa, 60 unidades de Beta, 20 unidades de 
Sigma e 35 unidades de Omega? 
c). Que matriz quadrada C representaria a compra mensal para reposição do 
estoque, supondo que no mês o total comprado foi de 90 unidades de Alfa, 50 
unidades de Beta, 45 unidades de Sigma e 60 unidades de Omega? 
d). Que matriz E representaria o estoque de mercadorias no final desse mês? 
 
17) Sendo A=
 
2x3ij
a
, onde 
ija
=2i-j, e B=
 
2x3ij
b
, com 
ijb
= 
,ji2 
 calcule: 
a). A – B 
b). B – A 
c). 
 tBA 
 
18) Verifique experimentalmente que, se A e B são matrizes do mesmo tipo, então 
  ttt BABA 
. 
 
19) Sendo A= 






20
02
 e 







30
03
B
, determinar as matrizes X e Y, tais que: X + Y = 
A + B e 2X – Y = A – B. 
20) A empresa Paçoca Lanches têm dois pontos de vendas e cada uma delas vende 
conforme a tabela abaixo. 
 X - Salda X- Bacon Cachorro- quente X- Tudo X- Frango 
Ponto de Venda I 400 300 350 50 100 
Ponto de Venda II 600 650 700 250 150 
 
Se por algum motivo as vendas nas duas lojas aumentarem em 12%, qual seria o 
valor esperado para cada um dos itens? 
 
21) Dadas as matrizes A=






10
32
, 







23
40
B
 e C=






180
1415
 calcule: 
a). 3.(A – B) + 3.(B – C) + 3.(C – A) 
b). 2.(A - B) – 3.(B – C) – 3.C 
c). A matriz X, tal que 3.(X – A) + 2.B = 4.(X – A + 2.C) 
22) Sendo A=










0
3
2
 e B=









 
2
0
1
, determine as matrizes X e Y, tais que 3X – Y = 2A – B 
e X + Y = A – B 
 
23) Para produzir um aparelho eletrodoméstico, uma indústria gasta 5 peças do tipo 
Alfa, 3 do tipo Beta, 1 do tipo Theta e 4 do tipo Pi. Supondo que o estoque da 
empresa no início do mês fosse de 7.000 peças de Alfa, 4.000 de Beta e 1.500 
peças de Theta e 5.000 de Pi, responda: Adote 






PiTheta
BetaAlfa 
a). Qual é a matriz E, estoque inicial e qual é a matriz C, peças consumidas por 
aparelhos? 
b). Qual a matriz P que representa o total de peças gastas com a produção dos 
1.000 aparelhos? 
c). Supondo que a indústria produziu no mês 1.200 aparelhos, qual é o estoque, 
sem reposição, dessas peças? 
24) Determine a relação existente entre as matrizes A=






3
1
4
0
2
3
 e B=















3
4
2
1
0
3
. 
25) Sendo a matriz A= 










320
y43
c32
 simétrica, determine c e y. 
 
26) Sendo A=
 
2x2ij
a
, onde 
ija
=2i-j, e B=
 
2x2ij
b
, com 
ijb
= 
ij
, determine X tal 
que 3A + 2X = 3B. 
 
27) Sendo A= 





 
23
12
 e 









11
10
B
, calcule as matrizes X e Y no sistema 





AY2X3
BY3X2
. 
28) Sendo A= 










112
010
321
 e B=-2A, determine a matriz X, tal que 
B
2
1
A3X2 
 
 
29) Dadas as matrizes A=
 
4x6ij
a
, tal que 
ija
 = i - j, B=
 
5x4ij
b
, tal que com 
ijb
= 
ij
 e C = AB, determine o elemento
42c
. 
 
30) Sendo A=






21
22
, calcule 
2
2 I5A4A 
. 
 
 
31) Num colégio a média de cada matéria é calculada atribuindo-se às médias 
bimestrais e à nota do exame final os seguintes pesos conforme tabela P. 
Suponhamos que um aluno tenha obtido as notas conforme tabela N, responda: 
a). Qual o total de pontos do aluno nas matérias de Português, Matemática e 
Biologia? 
b). Se a média para aprovação for de 50 pontos esse aluno foi aprovado em todas 
as matérias? 
 
Tabela N Tabela P 
Matérias 1º 
Bim. 
2º 
Bim 
3º 
Bim. 
4º 
Bim. 
Exame Período Pesos 
Matemática 4 4 5 6 7 Primeiro 
Bimestre 
1 
Português 7 6 8 5 4 Segundo 
Bimestre 
2 
Biologia 9 8 5 3 4 Terceiro 
Bimestre 
2 
 Quarto 
Bimestre 
3 
 Exame Final 2 
 
32) Pedro, Paulo e Patrícia vão construir, cada um, um brinquedo composto por três 
tipos de peças de acordo com a tabela P. Duas lojas vendem as peças com os 
seguintes preços (veja tabela de preços). Utilizando a multiplicação de matrizes 
descubra qual criança poderia ter economizado se compasse na loja Alfa. 
 
Tabela P Tabela Preços 
Crianças1º Peça 2º Peça 3º Peça. Peças Loja Alfa Loja Omega 
Pedro 4 1 3 Primeira Peça 2,00 3,00 
Paulo 3 4 2 Segunda Peça 7,00 4,00 
Patrícia 2 3 4 Terceira Peça 6,00 6,00 
 
33) As turmas do COLÉGIO OTREBOR irão confeccionar 3 tipos de camisetas 
referente à formatura do final do ano, para isso fizeram uma pesquisa de 
mercado e levantaram os preços em três confecções conforme tabela de preços. 
Determine o produto Turma x Confecções e descubra qual o valor pago pela 
Turma C que comprou nas Confecções Delta. 
 
Tabela Turmas x Camisetas Tabela Camisetas x Confecções 
Turmas Camiseta 
K. 
Camiseta 
Y 
Camiseta 
W. 
 Camisetas Gama Delta Sigma 
Turma 
A 
12 13 15 Camiseta K 7,00 12,00 10,00 
Turma 
B 
10 18 11 Camiseta Y 8,00 9,00 11,00 
Turma 
C 
14 16 10 Camiseta W 6,00 10,00 12,00 
 
a). Se as três turmas optarem por comprar nas Confecções Sigma, qual será o 
valor total pago? 
b). É possível fazer o produto Camiseta x Turmas? Se for encontre o resultado. 
 
34) Determine a matriz X, tal que 
 tAB.AA2X 
, sendo A=






10
12
 e B=






01
21
. 
35) Dadas as matrizes A=



























531
531
531
B,
431
541
532
3x3
 e C=













321
431
422 . 
Calcule: 
a). A.B 
b). B.A 
c). A.C 
d). C.A 
 
36) A matriz A=
 
3x3ij
a
 é definida de tal modo que 








jise,0
jise,)1(
a
ji
ij
. Então, A é igual 
a: 
a) 













011
101
110 b) 











101
011
001 c) 












011
101
110 d) 












100
010
001 e) 












011
101
110 
 
 
37) Dadas as matrizes A=
 
ija
 e B=
 
ijb
, quadradas de ordem 2, com 
j3i4bej4i3a ijij 
, se C=A + B, então 
2C
 é igual a: 
a) 






10
01
 b) 








10
01
 d) 






01
10
 d) 








01
10
 e) 






11
11
 
 
38) Verifique se B=
2x23
1
3
2
2
1 0







é inversa de A=






 34
02 
39) Determinar, se existir, 1A em cada caso: a) A=






10
01 b) A=






12
32 .






11
01 
 
40) Sendo A=






43
21 , calcule   11A  . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DETERMINANTES 
 
 
1) Calcular o valor dos determinantes das 
seguintes matrizes: 
a)A=






83
3,0
2
1 b) A=
  .jia onde ,a ij2x2ij 
 
 
2) Calcular o valor de 
Rx
 na igualdade 
3x4
3x3

=0 
3) O conjunto solução de 
1x
11
1x
11
11
x1
 
é: 
a)
 1x|Rx 
 b){0;1} c){1} d){-1} 
e) {0} 
 
4) Determinar a matriz formada pelos 
cofatores dos elementos da matriz A=













2 2 1
0 1 4
1 23 
. 
 
5) Calcule os seguintes determinantes, 
aplicando o Teorema de Laplace: 
a) 
987
654
321
 b) 
0010
1000
2002
3110
 
6) O determinante 
0 300 
x 2 10 
0 x 21
10 x0 



 
representa o polinômio: 
a) 
1x 2 
 
b) 
1x 2 
 
c) 
1x3 2 
 
d) 
)1x(3 2 
 
e) 
)1x)(1x(3 
 
 
 
 
 
7) (Fuvest – SP) O determinante da 
matriz 






ab
ba
, onde 
xxxx ee2b e eea2  
 é igual a: 
a) 1 b) –1 c) 
xe
 d) 
xe
 
e) 0 
 
8) Utilizando a regra de Sarrus, calcule: 
081
112
15,03,0
3
2
1
20




 
 
9) Sendo A=










231
210
032
, calcule: 
a) det A 
b) det tA 
 
10) Calcular x na igualdade 
0
3x1
31x
101


 
 
11) Calcular x na igualdade 
0
9x6x4x
3x2x
111
22



 
 
12) Sendo A=














164278
11694
1432
1111
, calcular 
det A. 
 
13) Utilizando as propriedades dos 
determinantes, calcule os 
determinantes justificando os valores 
obtidos: 
a) 












152
311
243
 
 
 
 
b)
1302
2804
4903
5102 
 
 
c) 
3201
81264
3124
4632



 
d) 
5000
3400
9230
5421



 
e) 



 431
220
100
17218
134
892
097
022
043
54827
723428
184255
 
 
14) (MACK-SP) Se 












4x
b1
y3
2a , A=






yx
ba e B = tA , então det(A.B) vale: 
a) 8 b) 4 c) 2 d) –2 e) –4 
 
 
15) Determine, se existir, a inversa de 
cada uma das matrizes: 
a) A=






 23
10 b) B=











207
135
064
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SISTEMAS LINEARES 
 
1) Resolva os seguintes sistemas lineares: 
a) 





4y3x2
5yx3 b) 








0zyx2
5z4yx3
9z3y2x
 
c) 









1
3x5
2y7
y3
x21
 
 
2) Determine para quais valores de k o sistema 





2kyx2
3y2x é: 
a) possível e determinado; 
b) possível e indeterminado; 
c) impossível. 
 
3) (UFPR) O sistema de equações 








QPzyx4
6zyx
10z3yx7
 é: 
a) Impossível, se P

-1 e Q

8. 
b) Indeterminado, se P

-1 e Q

8. 
c) Indeterminado, se P

-1 e Q=8. 
d) Impossível, se P=-1 e Q

8. 
e) Impossível, se P

-1 e Q=8. 
 
4) Escalone, classifique e resolva os sistemas abaixo: 
a) 





2yx5
1y3x b) 






0zyx4
6
2
z
yx2 
c) 








8z3yx3
5z2y2x
9zy3x2
 d) 








6zy4x3
4z2y3x2
2zyx
 
e)








1
3x4
1y5
y2
x21
 f) 








34y3x5
3yx3
7y4x
 
 
5) (Fatec-SP) Dois casais foram a um barzinho. O primeiro pagou R$ 5,40 por 2 
latas de refrigerante e uma porção de batatas fritas. O segundo pagou R$ 9,60 
por 3 latas de refrigerante e 2 porções de batatas fritas. 
Nesse local e nesse dia, a diferença entre o preço de uma porção de batas fritas 
e o preço de uma lata de refrigerante era de: 
a)R$2,00 b)R$1,80 c)R$1,75 
d)R$1,50 e)R$1,20 
 
6) (Unifor-CE)Um pacote tem 48 balas: algumas de hortelã e as demais de laranja. 
Se a terça parte do dobro do número de balas de hortelã excede a metade do 
de laranjas em 4 unidades, então nesse pacote há: 
a) igual número de balas dos dois tipos 
b) duas balas de hortelã a mais que de laranja 
c) 20 balas de hortelã 
d) 26 balas de laranja 
e) duas balasde laranja a mais que de hortelã 
 
7) (UCDB-MT) O sistema 











02572
06104
022
022
zyx
zyx
zyx
zyx
é: 
a) impossível 
b) homogêneo 
c) determinado 
d) indeterminado com uma variável arbitrária. 
e) Indeterminado com duas variáveis arbitrárias. 
 
8) (Cefet-PR) Para a festa do Natal, uma crche necessitava de 120 brinquedos. 
Recebeu uma doação de R$370,00. Esperava-se comprar carrinhos a R$2,00 
cada, bonecas a R$3,00 e bolas a R$3,50. Se o número de bolas deveria ser 
igual ao número de bonecas e carrinhos juntos, a solução seria comprar: 
a) 60 bonecas, 30carrinhos e 30 bolas 
b) 20 bonecas, 40carrinhos e 60 bolas 
c) 30 bonecas, 30carrinhos e 60 bolas 
d) 25 bonecas, 45carrinhos e 70 bolas 
e) 40 bonecas, 20carrinhos e 60 bolas 
 
9) (Unificado- RJ) Para que valores de k existe uma única matriz 






y
x , tal que 
?
0
0
1
21




















y
x
k
k 
a) k

-1 
b) k=-2 
c) k=-2 ou k=1 
d) k

-2 e k

1 
e) k

2 e k

-1 
 
10) (UF-AL) O sistema 





1
32
ybx
yax , nas variáveis reais x e y, é: 
a) possível e determinado, 

a, b

R. 
b) possível e indeterminado se a = 2b. 
c) possível e determinado se a 

 2b.

a, b

R. 
d) possível e indeterminado se a = -2b. 
e) impossível se a = -2b. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
MATRIZES 
1) A = 
















1
2
1
3
2
 
2) 










8
8
8
6
8
4
568
 
3) A=










600
040
002
 
 
 
 
4) A=














222
222
122
112
 
5) 









165
213
A
 
6) trA = 4 e trB = 4 
7) a-) x = 8 e y = 
5
 b-) x = 
5
7
 e y = 
15
11
 
8) a = 3, b = 2 e x = 1 
9) a = 1 e b = 1 
10) x = 81 e y=
3
 
11) m = -2 n = 4 e p = -3 
12) a = 2, b = 1, x = 1 e y = 1 
 
13) a-) 









42
11
A t
 b-) –A=





 
41
21 
14) a) 






2
3
3
0
8
4
 b) 








4
1
1
0
0
2
 c) 








4
1
1
0
0
2
 
15) x=2, y=-9 e z=-7 
16) a) E 






7035
5080
 b) 







3520
6070
V
 
17) a) 
















7
4
3
5
2
1 b) 










7
4
3
5
2
1 c) 






15
15
8
8
3
3
 
18) ------------- 
19) X=








3
4
3
4
0
0
 e Y=








3
11
3
11
0
0
 
20) 







168280784728672
11256392336448
A
 
21) a) 






00
00
 b) 








815
144
 c) 








1396
101118
 
22) X=










1
2
4
9
 e Y=










1
1
4
3
 
23) A) 
41
35
000.5500.1
000.4000.7
 CE
 
b) 
000.4000.1
000.3000.5
P
 
c) 
000.1500
000.1000.2
E
 
24) A= tB 
25) c=0 e y=2 
26) X=








36
2
3
2
3
 
27) X=





 
5
4
5
11
5
1
5
6 e Y=








5
1
5
9
5
1
5
4 
28) X=










112
010
321 
29) 2 
30) 






98
169
 
31) a) 
42:
58:
54:
Biol
Por
Mat
 b) Não, ficou em Biologia 
32) Alfa Omega 
Pedro 33 34 
Paulo 46 37 
Patrícia 49 42 
 
33) R$ 272,00 
a) 443+456+430 = 1.329 
b) 
34) X=








33
13
 
35) a) 










000
000
000 b) 










000
000
000 c) AC=A d) CA= C 
36) alternativa a) 
37) alternativa b) 
38) Sim, B é inversa de A 
39) a) 






10
01
 b) 









8
5
8
1
8
3
8
1 
40) A inversa da inversa de uma matriz A é a própria matriz A. 
 
DETERMINANTES 
 
1) a) 3 b) 1 c) –1 
2) x= -4 ou x=1 
3) alternativa c) 
4) 














541
476
782
A
 
5) a) 0 b) –2 
6)alternativa d) 
7) alternativa a) 
8) 
12
5

 
9) a) –2 b) –2 
10) x=1 ou x=-4 
11) x=2 ou x=5 
12) 600 
13) a) 0 b) 0 c) 0 d) –60 e) 2 
14) alternativa b) 
15) a) 







01
A 3
1
3
2
1
 
 b) 














11
B
2
1
21
2
21
4
14
1
7
1
7
2
7
1
1 
 
SISTEMAS LINEARES 
 
1) a) S={(1, 2)} 
 b) S={(2, -1, -3)} 
 c)S={(-4, -3)} 
 
2) a) k

4 b) 

 k 

 R c) k = 4 
 
3) alternativa d) 
 
4) a) possível e determinado; S=












14
3
,
14
5
 
b)possível e indeterminado; S=














R p/ ,4 ,
4
4
 
c) possível e determinado; S=
  1 ,2,1
 
d)possível e indeterminado; S=
  R p/ ,4 ,52 
 
e) possível e determinado; S=












2 ,
2
3
 
f) sistema impossível; S=
 
 
 
5) alternativa b) 
 
6) alternativa a) 
 
7) alternativa c) 
 
8) alternativa e) 
 
9) alternativa e) 
 
10)alternativa e)