TEXTO 05 - TAXA DE VARIAÇAO

Prévia do material em texto

Texto 05. Cálculo II 
Curso de Engenharia Prof. José Norberto Reinprecht 
 
 ( Livro Texto- PLT – pág.74 ) 
 5. TAXA DE VARIAÇÃO 
 
 
5.1 Introdução 
 Na vida real existem muitas aplicações em que aparecem “taxas de variação”. Por exemplo, 
velocidade, aceleração, taxas de crescimento populacional, taxas de desemprego, taxas de produção, 
taxas de fluxo de água, taxa de desintegração de um material radioativo. 
 De um modo geral, as taxas de variação se referem em relação ao tempo; embora, podemos estudar 
a taxa de variação de uma variável em relação a qualquer outra variável. 
Ao analisarmos a taxa de variação de uma variável em relação a outra, devemos distinguir entre “ taxa 
de variação média ” e “ taxa de variação instantânea ”. Esta diferença é análoga ao de coeficiente 
angular da reta secante por dois pontos de um gráfico com o de coeficiente angular da reta tangente 
num ponto. 
 
5.2 Definição de taxa média 
 Se y = ƒ(x) , então a “taxa média de variação de y em relação a x no intervalo [a , b], é 
 
 
x
y
ab
afbf )()(
 variaçãode média Taxa
 
 
 Observação: 
 No caso de y uma distância e x o tempo, então a taxa de variação é uma velocidade. 
 
 
Exemplo: 
 Um objeto é solto em queda livre de uma altura de 80 metros. Desprezando-se a resistência do ar, a 
altura h num dado instante t (em segundos) é dado 
 
8010 2th(t)
 
Determine a taxa média de variação (velocidade média) do objeto nos seguintes intervalos de tempo: 
 a) [ 1 , 2 ] b) [ 1 , 1,5 ] c) [ 1 , 1,1 ] d) [1 , 1,01 ] 
Solução: 
t (segundos) 0 1 1,1 1,01 1,5 2 
h (metros) 80 70 69,799 67,9 57,5 40 
 
 a) 
sm
hh
vm /30
1
7040
12
)1()2(
 
 b) 
sm
hh
vm /25
5,0
705,57
15,1
)1()5,1(
 
 c) 
sm
hh
vm /21
1,0
709,67
11,1
)1()1,1(
 
 d) 
sm
hh
vm /1,20
01,0
708,69
101,1
)1()01,1(
 
 
 A taxa de variação instantânea de h em t = 1s ( neste caso, a velocidade instantânea para t = 1s ) 
pode ser obtida através da aproximação da sequência das taxas média de variação em intervalos cada 
vez menores da forma 
 [ 1 , 1 + t ] 
 
 A tabela abaixo, fornece a taxa média de variação da altura do objeto (velocidades médias do objeto) 
para intervalos de tempo próximos de t = 1s. 
 
 
t
 1 0,5 0,1 0,01 0,001 0,0001 
0t
 
 
t
h
 
 
 -30 
 
 -25 
 
 -21 
 
 -20,1 
 
 -20,01 
 -
-20,001 
 
20
t
h
 
 
 Analisando a tabela, parece razoável concluirmos que a taxa de variação instantânea da altura em t 
= 1s ( ou velocidade instantânea em t = 1s) é de 
sm/20
 
 
smvinst /20.
 
Assim, a taxa de variação instantânea é dada por 
 Taxa de variação instantânea 
t
h
t 0
lim
 , 
que é o mesmo limite da definição de derivada. 
Portanto, a derivada pode ser interpretada como sendo a taxa de variação instantânea de uma 
variável em relação a outra. 
 
 
5.3 Definição de taxa de variação instantânea 
 A taxa de variação instantânea (ou simplesmente, taxa de variação) de y = ƒ(x) , em x é o 
limite da taxa média de variação no intervalo [ x , x + x] quando x tende para zero. 
 Taxa de variação instantânea no ponto x 
)('
)()(
limlim
00
xf
x
xfxxf
x
y
xx
 
 
5.4 Exercícios de aula 
 
1. Calcula-se que daqui a x meses a população de certa cidade será de 
 
500042)( 2
3
xxtP
 habitantes 
 a) qual será a taxa de variação da população com o tempo daqui a 9 meses? 
 b) qual será a taxa de variação percentual da população com o tempo daqui a 9 meses? 
 
 2. Uma cidade X é atingida por uma moléstia contagiosa. Os setores de saúde calculam que o número 
de pessoas atingidas pela moléstia depois de um tempo t (medido em dias a partir do 1º dia da 
epidemia) é, aproximadamente, dado por 
3
64)(
3t
ttQ
 . 
 a) qual a razão da expansão da epidemia no tempo t = 4 ? 
 b) qual a razão da expansão da epidemia no tempo t = 8 ? 
 c) quantas pessoas serão atingidas pela epidemia no 5º dia ? 
 
 
3. A receita bruta anual de uma certa empresa era 
20101,0)( 2 tttR
 mil reais t anos depois que 
a companhia foi fundada em 1998. 
 a) qual a taxa de variação da receita bruta anual da empresa no inicio de 2002 ? 
 b) qual a taxa de variação percentual da receita bruta anual da empresa no inicio de 2002 ? 
 
 4. Um reservatório de água está sendo esvaziado para limpeza. A quantidade de água no reservatório, 
em litros, t horas após o escoamento ter começado é dado por 
 
)6400160(50)( 2 tttV
 
 Determine: 
 
a) a quantidade de água que sai do reservatório nas 10 primeiras horas de escoamento. 
b) a taxa de variação média do volume de água no reservatório durante as 10 primeiras horas de 
escoamento. 
c) a taxa de variação do volume de água no reservatório após 10 horas de escoamento. 
 
 5. Uma piscina está sendo drenada para limpeza. Se o seu volume de água inicial era de 90 000 litros 
e depois de um tempo de t horas este volume diminui 
22500)( ttV
 litros, determinar: 
 a) o tempo necessário para o esvaziamento da piscina. 
 b) a taxa média de escoamento no intervalo [ 2 , 5 ] . 
 c) a taxa de escoamento depois de 2 horas do inicio do processo. 
 
 
 PLT – pág.98 – exerc. 57 
 6. Em um instante t segundos após ter sido chutada para o alto, uma bola está a uma altura de 
3259,4)( 2 ttth
 metros. Determine: 
 a) a velocidade média da bola durante os 2 primeiros segundos. Dê as unidades. 
 b) a velocidade instantânea da bola no instante t = 2s. Dê as unidades. 
 c) a aceleração em t = 2s. 
 d) o instante em que a bola atinge a altura máxima. 
 d) a altura máxima atingida pela bola. 
 
Respostas: 
1. a) 
mês/habitantes20
 b) 
%39,0
 
2. a) 
dia/pessoas48
 b) 
dia/pessoas0
 c) 
pessoas43
 
3. a) 
ano/reais mil8,10
 b) 
%53,17
 
4. a) 
litros75000
 b) 
hora/litros7500
 c) 
hora/litros7000
 
5. a) 
horas6
 b) 
hora/litros17500
 c) 
hora/litros10000
 
6. a) 
s/m2,15
 b) 
s/m4,5
 c) 
2s/m8,9
 
 d) 
s55,2
 e) 
m89,34
 
 
 
5.6 Exercícios propostos 
PLT – pág.80 – exerc. 4. 
1. A distância de um carro de sua posição inicial t minutos após sua partida é dada por 
35)( 2tts
 quilômetros. Quais são a velocidade e a aceleração do carro no instante t ? Dê as 
unidades utilizadas. 
 
PLT – pág.98 – exerc. 56. 
2. Uma bola cai do topo do edifício Empire State e chega aochão. A altura y da bola acima do chão 
(em pés) é dada como função do tempo t (em segundos) por 
 
2161250)( tty
 
 a) encontre a velocidade da bola no instante t. 
 b) mostre que a aceleração da bola é constante. 
 c) determine quanto tempo para a bola atingir o solo. 
 d) determine a velocidade no instante do impacto com o solo. 
 
PLT – pág.101 – exerc. 36. 
3. Desde 1º de janeiro de 1960, a população de Pouca Chance foi descrita pela fórmula 
ttP )98,0(35000)(
, onde P é a população da cidade t anos depois do inicio de 1960. A que 
taxa a população está variando no dia 1º de janeiro de 1983? 
 
PLT – pág.101 – exerc. 39. 
4. Certas peças antigas de mobiliário subiram rapidamente de preço nas décadas de 1970 e 1980. 
Por exemplo, o valor de uma determinada cadeira de balanço pode ser aproximado por 
ttV )35,1(75)(
, onde
V
 está em dólares e t é o número de anos desde 1975. Encontre 
a) a taxa de crescimento, em dólares por ano, do preço. 
b) A taxa de crescimento, em dólares por ano, do preço no inicio de 1975. 
 
PLT – pág.101 – exerc. 40. 
5. O valor de determinado automóvel comprado em 1997 pode ser aproximado pela função 
ttV )85,0(25)(
, onde t é o tempo em anos a partir da compra e 
V
 é o valor em milhares de 
dólares. 
a) calcule e interprete 
)4(V
 
b) encontre uma expressão para 
)(' tV
, incluindo unidades. 
c) calcule e interprete 
)4('V
, incluindo unidades. 
 
PLT – pág.110 – exerc. 59. 
6. O saldo B em uma conta bancária t anos depois de um depósito de R$ 5 000 é dado por 
tetB 08,05000)(
. A que taxa está variando o saldo na conta quando t = 5 anos? 
 
PLT – pág.110 – exerc. 60. 
7. Em um instante t horas após sua ingestão, a concentração de um determinado remédio no sangue 
é igual 
mlmgetf t /27)( 14,0
. 
a) Qual é a concentração 4 horas após a ingestão? 
b) Qual a taxa de concentração naquele instante? 
 
PLT – pág.110 – exerc. 62. 
8. Um grama de carbono-14 radioativo decai de acordo com a formula
tetQ 000121,0)(
 onde 
Q
 é a 
quantidade de gramas de carbono-14 que permanece após t anos. Determine: 
a) a taxa segundo a qual o carbono-14 está decaindo ( em gramas/ano ). 
b) a taxa segundo a qual o carbono-14 está decaindo para t = 10 . 
PLT – pág.110 – exerc. 63. 
9. A temperatura H, em graus Fahrenheit ( ºF ), de uma lata de refrigerante colocada na geladeira 
para resfriar é dada em função do tempo t, em horas, por 
tetH 23040)(
 . Determine: 
a) a taxa de variação da temperatura da lata ( em ºF / h ). 
b) a taxa de variação da temperatura da lata depois de 5 horas 
 
 
Respostas: 
1. a) 
min./km10)( ttv
 b) 
2min/10)( kmta
 
2. a) 
s/pés32)( ttv
 b) 
2s/pés32)(ta
 c) 
st 8,8
 
 c) 
s/pés6,281)8,8(v
 
3. 
ano/habitantes444
 
4. a) 
ano/doláres35,1ln)35,1(75 t
 b) 
ano/doláres92,100
 
5. a) 
doláres mil050,13)4(V
 b) 
ano/doláres mil85,0ln)85,0(25)(' ttV
 
c) 
ano/doláres mil120,2)4('V
 
6. 
ano/reais67,59
 
7. a) 
ml/mg42,15
 b) 
hora/)mg/ml(16,2
 
8. a) 
ano/g00012,0)(' 00012,0 tetQ
 b) 
ano/g0001198,0
 
9. a) 
hora/F60)(' 2 otetH
 b) 
hora/00272,0 oF