Introdução às Funções Matemáticas

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FUNÇÕES
Função
Em muitas situações ocorre na prática que uma quantidade depende do valor de outra. 
Um bom exemplo ocorre em um posto de combustíveis; o valor a ser pago pelo consumidor dependerá diretamente do número de litros abastecidos. A relação entre as duas quantidades é dada por uma função.
Função 
Formalmente: Dados A e B conjuntos não vazios. Uma função f : A  B é uma lei ou regra que a cada elemento x de A faz corresponder um único elemento y de B, ou seja, y=f(x), onde:
i) Dado , o elemento é chamado de imagem de x por f.
ii) O conjunto de todos os valores admissíveis de x é chamado de domínio da função denotado por D(f), o conjunto de todos os valores assumidos pela função de imagem da função, Im(f).
Indicamos funções por diagramas:
Exemplos
1) Responda se cada um dos esquemas abaixo define ou não uma função de A={-1, 0, 1, 2} em B={-2, -1, 0, 1, 2, 3} e justifique.
Função Real de uma variável
Uma função numérica em que o domínio e o contradomínio são subconjuntos de , recebe o nome de função real de uma variável real.
Quando for dada apenas a “regra” y=f(x), vamos subintender que f é uma função real onde x é uma variável real.
Função Real de uma variável
Considerando as funções f(x) e g(x) descritas abaixo, determine o domínio e a imagem de cada uma:
Note que:
Gráfico de uma função
Para construir o gráfico de uma função, utilizaremos o sistema de coordenadas cartesianas.
Representar graficamente uma função consiste em apresentar no plano o conjunto de todos os pares ordenados (pontos), (x; y), tais que y=f(x), de onde x ∈ D(f) e y ∈ Im(f). 
No plano cartesiano, a variável independente x é representada no eixo das abscissas e a variável dependente y, no eixo das ordenadas.
Funções
Seja			 :
Qual o seu gráfico?
Toda curva no plano consiste do gráfico de uma função? 
Funções
Para saber se uma curva corresponde ao gráfico de uma função, fazemos traços verticais paralelos ao eixo y. Se eles cortarem uma só vez a curva, então, temos uma função. Se a curva for cortada mais de uma vez, não temos uma função, temos apenas uma relação matemática. Isto por causa da definição.
Exemplo: 
Exemplos
Quais dos gráficos abaixo representam funções de R em R? ou seja, de números reais em números reais? Explique.
Exemplos
Considerando que os gráficos abaixo representam funções, estabeleça o domínio e a imagem de cada uma:
Exemplos 
Determine a imagem de cada uma das funções representadas pelos gráficos abaixo:
Exemplo 
	José Roberto toma um táxi comum que cobra R$ 5,60 pela bandeirada e R$ 0,65 por quilômetro rodado. Temos aqui uma função, o valor a ser pago depende da quilometragem rodada, onde em f : A  B, o domínio A é a quilometragem rodada, e B é o valor a ser pago.
	A função que descreve tal relação é f(x)=0,65x + 5,60. Note que, neste caso, tanto o domínio como a imagem são variáveis contínuas, visto que pode-se rodar 1,375 km. Podemos fazer o gráfico com o auxílio da tabela:
X
F(x)
0
5,6
1
6,25
2
6,9
3
7,55
4
8,2
5
8,85
Observações
Função Composta
Sejam X, Y e Z conjuntos e sejam as funções f : X  Y e g : Y  Z. A função h : X  Z , tal que h(x) = g(f(x)) é chamada de função composta de g e f. Indicamos esta composição por g O f, ou g(f(x)) e lemos “ g composta f ”.
		
Função Composta
 Fonte: http://en.wikibooks.org/wiki/Algebra/Functions
	
	O domínio de uma função composta f o g consiste do conjunto de todos os números no domínio de g, tal que g(x) esteja no domínio de f.
Exemplo 
Exemplo
Funções especiais
A seguir vamos identificar e relacionar algumas funções chamadas de funções especiais. São elas:
Função Constante
Função Identidade
Função do 1º Grau
Função Módulo
Função Quadrática
Função Polinomial
Função Racional
1. Função Constante
2. Função Identidade
3. Função do 1º Grau
Exemplo
Para as funções abaixo faça:
I) O seu gráfico
II) Diga se a função é crescente ou decrescente
III) Diga quais são os coeficientes linear e angular das retas.
4. Função Modular
5. Função Quadrática
5. Função Quadrática
5. Função Quadrática
	O vértice (x, y) da parábola é o ponto mais importante, sendo determinado por: 
	Temos um ponto de mínimo no vértice quando a parábola tem concavidade para cima e temos um ponto de máximo quando a parábola tem concavidade para baixo.
Exemplos
Exercícios
6. Função Polinomial
Exemplo
7. Função Racional
Função Inversa
Exemplos 
Dados os conjuntos A = {-2,-1,0,1,2} e B = {-5,-3,-1,1,3} e a função A→B definida pela fórmula y = 2x – 1, veja o diagrama dessa função abaixo:
Então: f = { (-2,-5); (-1,-3); (0,-1) ; (1,1) ; (2,3)}.
Essa função é bijetora, pois cada elemento do domínio está associado a um elemento diferente no conjunto da imagem. Por ser bijetora essa função admite inversa.
A sua função inversa será indicada por f -1: B→A definida pela fórmula y = (x+1)/2. Veja o diagrama abaixo:
Então: f -1 = {(-5,-2); (-3,-1) ; (-1,0); (1,1) ; (3,2)}
O que é domínio na função f vira imagem na f -1 e vice-versa.
Exemplos
Para fazermos o gráfico da função inversa basta traçarmos a reta y = x e observarmos a simetria.
Algumas Funções Elementares
Estudaremos a seguir algumas funções elementares:
Função Exponencial
Função Logarítmica
Funções Trigonométricas
Funções Trigonométricas Inversas.
Propriedades Exponenciais
Propriedades Radiciação
Função Exponencial
Exemplos 
Exemplos
Função Logarítmica
Função Logarítmica
Exemplos
Exemplos 
Observações 
Funções Trigonométricas e Transformações de Funções
Professor: Jean Carlos Gentilini
Funções Trigonométricas
Revisão:
Fonte: http://www.alunosonline.com.br/matematica/
relacoes-trigonometricas-no-triangulo-retangulo.html
Funções Trigonométricas
Na circunferência unitária, de raio 1 e comprimento 2𝜋
	Dado um arco AM, de medida α, chama-se de cosα e senα, a abscissa e a ordenada do ponto M, respectivamente.
 
Funções Trigonométricas
A circunferência trigonométrica é dividida em 4 quadrantes de 90 graus cada, seguindo sentido anti-horário.
Sendo senα positiva nos dois primeiros e negativa nos dois últimos e cosα positiva no primeiro e quarto e negativa no segundo e terceiro.
A cada 2π os valores de senα e cosα tornam a se repetir.
Funções Trigonométricas
Funções Trigonométricas
Função Seno e Cosseno: 
Seja α um número real, marcamos um ângulo com medida de α radianos na circunferência unitária com centro na origem. Seja P(x,y) o ponto de interseção do lado terminal do ângulo α com a circunferência, então:
A função Seno é definida por: 
			f(x) = senα = y (coordenada y do ponto P)
A função Cosseno é definida por:
			g(x) = cosα = x (coordenada x do ponto P) 
Funções Trigonométricas
Por serem funções definidas na circunferência unitária pode-se observar:
Estão definidas para todos os números reais.
O menor e o maior valor assumidos por senα e cosα são -1 e 1.
Ambas são funções periódicas com período igual a 2π radianos, ou seja:
		senα = sen(α + 2π);		cosα = cos(α + 2π) 
Funções Trigonométricas
Gráfico da função f(x) = senα
http://www.uff.br/cdme/ftr/ftr-html/ftr-seno-rad-br.html
Gráfico da função g(x)= cosα
http://www.uff.br/cdme/ftr/ftr-html/ftr-cosseno-rad-br.html
Funções Trigonométricas
	As funções tangente, secante, cotangente e cosecante são funções definidas em função das funções seno e cosseno, onde:
	São definidas para todos os reais tais que o denominador é não-nulo.
Funções Trigonométricas
Transformações de Funções
Conhecer, esboçar, identificar e a partir de um gráfico obter outro são habilidades que muitas vezes nos são exigidas.
Serão abordados aqui alguns conceitos e propriedades no que diz respeito a transformações de funções, os quais nos serão bastante úteis
para o desenvolvimento das habilidades descritas acima.
Translações; Deslocamentos verticais e horizontais.
Seja f(x) uma função conhecida. Usamos muitas vezes a notação y=f(x) para representarmos a variável dependente y em “função” da variável x. 
Se desejarmos analisar o gráfico de g(x), tal que g(x)=f(x)+c, onde c é uma constante qualquer. Percebemos que para um mesmo valor de x os valores em y de f(x) são acrescidos(se c for positivo) de c unidades. Assim g(x) tem um gráfico de mesma forma que f(x), porém deslocado verticalmente em c unidades.
Translações; Deslocamentos verticais e horizontais.
Seja f(x)=x2 a função descrita abaixo:
				 O gráfico de g(x)=f(x)+2, ou seja,
				 g(x)= x2 + 2 é:
Translações; Deslocamentos verticais e horizontais.
Outro exemplo seria:
	Se f(x)= x2 + 2x+1. O gráfico de g(x)= x2 + 2x-1 consiste de um gráfico de mesma forma que f(x) porém 2 unidades deslocadas para baixo:
Translações; Deslocamentos verticais e horizontais.
Se desejarmos analisar o gráfico de g(x) definida por g(x)=f(x-c), onde c é um número positivo qualquer, veremos que o valor de g em x é o mesmo que o de f em x-c (c unidades à esquerda de x). O gráfico de g(x) = f(x-c) consiste no gráfico de f(x) deslocado c unidades para a direita (se c > 0).
Translações; Deslocamentos verticais e horizontais.
Outros exemplos:
Translações; Deslocamentos verticais e horizontais.
De maneira geral:	
	Suponhamos c > 0 e f(x) conhecida. Para obtermos:
g(x)=f(x)+c, basta deslocar o gráfico de f, c unidades para cima. 
g(x)= f(x)-c, basta deslocar o gráfico de f, c unidades para baixo. 
g(x)= f(x+c), basta deslocar o gráfico de f, c unidades para a esquerda. 
g(x)= f(x-c), basta deslocar o gráfico de f, c unidades para a direita. 
Translações; Deslocamentos verticais e horizontais.
Fonte: http://www.estig.ipbeja.pt/~acrh/Matematica_I_04_05/Novas_funcoes_partir_antigas.pdf
Expansões e Reflexões 
	Seja f(x) uma função conhecida e c > 1, então:
 O gráfico de g(x)=c*f(x) consiste no gráfico de f expandido verticalmente por um fator c (pois cada coordenada y fica multiplicada por um fator c).
O gráfico de g(x)=f(x)/c consiste no gráfico de f comprimido verticalmente por um fator c (pois cada coordenada y fica dividida por c).
O gráfico de g(x)=-f(x) é o gráfico de f(x) refletido em torno do eixo x, pois cada ponto (x, y) é substituído por (x, -y). 
Expansões e Reflexões 
	Suponhamos c > 1 e f(x) conhecida. Para obtermos:
g(x)=c*f(x), expandimos o gráfico de f(x) verticalmente por um fator c.
g(x)=f(x)/c, comprimimos o gráfico de f(x) verticalmente por um fator c.
g(x)=-f(x), basta refletir o gráfico de f(x) em torno do eixo x.
Expansões e Reflexões 
Exemplos:
Expansões e Reflexões 
Exemplo:
Expansões e Reflexões 
	Suponhamos c > 1 e f(x) conhecida. Para obtermos:
g(x)=f(c*x), comprimimos o gráfico de f(x) horizontalmente por um fator c.
g(x)=f(x/c), expandimos o gráfico de f(x) horizontalmente por um fator c.
g(x)=f(-x), refletimos o gráfico de f(x) em torno do eixo y.
Expansões e Reflexões 
Exemplo:
Expansões e Reflexões 
Exemplo:
Exercícios
Determine os gráficos de:
g(x)=(x+1)2 + 2 
h(x)=-(x-1)3 – 1
Uma vez que:
Exercícios
	Seja f(x)= 2x determine as equações para gráficos:
a) Com mesma forma que f porém deslocado 3 unidades para cima e refletido em torno do eixo y. 
b) Com mesma forma que f expandido verticalmente por um fator 4 e deslocado ainda 2 unidades para baixo.
C) Com mesma forma que f comprimido horizontalmente por um fator 2 e deslocado 1 unidade para a direita.