Introdução às Funções Matemáticas

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GEX 104: Cálculo I
Gustavo Cipolat Colvero
Universidade Federal de Lavras
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 1 / 65
REVISÃO SOBRE FUNÇÕES
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 2 / 65
Funções
Definição (Função - Definição informal)
Sejam X e Y conjuntos não vazios. Informalmente, uma função f
de X em Y é uma regra que associa a cada elemento x ∈ X um, e
somente um, elemento y ∈ Y .
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 3 / 65
Funções
Definição (Função - Definição informal)
Sejam X e Y conjuntos não vazios. Informalmente, uma função f
de X em Y é uma regra que associa a cada elemento x ∈ X um, e
somente um, elemento y ∈ Y .
Exemplo:
3
2
1
d
c
b
aX
Y
f
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 3 / 65
Notação:
A notação
f : X → Y
diz que f é uma função do conjunto X no conjunto Y .
Definição (Doḿınio e contradoḿınio)
Seja f : X → Y uma função de X em Y . Ao conjunto X damos o
nome de doḿınio de f e ao conjunto Y damos o nome de
contradoḿınio de f .
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 4 / 65
Considere a função representada por
3
2
1
d
c
b
aX
Y
f
O elemento d ∈ Y é designado a imagem do elemento 3 ∈ X
sob f .
O elemento a ∈ Y é tanto a imagem de 1 ∈ X quanto a
imagem de 2 ∈ X sob f .
Representamos isso por
a = f(1), a = f(2), d = f(3)
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 5 / 65
Considere a função representada por
3
2
1
d
c
b
aX
Y
f
O elemento d ∈ Y é designado a imagem do elemento 3 ∈ X
sob f .
O elemento a ∈ Y é tanto a imagem de 1 ∈ X quanto a
imagem de 2 ∈ X sob f .
Representamos isso por
a = f(1), a = f(2), d = f(3)
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 5 / 65
Considere a função representada por
3
2
1
d
c
b
aX
Y
f
O elemento d ∈ Y é designado a imagem do elemento 3 ∈ X
sob f .
O elemento a ∈ Y é tanto a imagem de 1 ∈ X quanto a
imagem de 2 ∈ X sob f .
Representamos isso por
a = f(1), a = f(2), d = f(3)
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 5 / 65
Considere a função representada por
3
2
1
d
c
b
aX
Y
f
O elemento d ∈ Y é designado a imagem do elemento 3 ∈ X
sob f .
O elemento a ∈ Y é tanto a imagem de 1 ∈ X quanto a
imagem de 2 ∈ X sob f .
Representamos isso por
a = f(1), a = f(2), d = f(3)
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 5 / 65
Definição (Conjunto Imagem)
Seja f : X → Y . Ao subconjunto de Y constitúıdo dos elementos
que são imagem de algum x ∈ X damos o nome de conjunto
imagem de f e o representamos por Im(f). Deste modo
Im(f) = {f(x) ∈ Y |x ∈ X} .
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 6 / 65
Definição (Conjunto Imagem)
Seja f : X → Y . Ao subconjunto de Y constitúıdo dos elementos
que são imagem de algum x ∈ X damos o nome de conjunto
imagem de f e o representamos por Im(f). Deste modo
Im(f) = {f(x) ∈ Y |x ∈ X} .
Exemplo:
3
2
1
d
c
b
aX
Y
f
Im(f) = {a, d}
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 6 / 65
Como vimos, a imagem de f : X → Y não precisa ser igual ao
contradoḿınio Y .
Obviamente, sempre vale que Im(f) ⊂ Y .
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 7 / 65
Como vimos, a imagem de f : X → Y não precisa ser igual ao
contradoḿınio Y .
Obviamente, sempre vale que Im(f) ⊂ Y .
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 7 / 65
Definição
Seja f : X → Y . Se, para todo y ∈ Y , existe x ∈ X tal que
f(x) = Y , então f é dita função sobrejetora.
Se f : X → Y é sobrejetora, então Im(f) = Y , ou seja, seu
conjunto imagem é igual ao seu contradoḿınio:
4
3
2
1
c
b
a
X Y
f
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 8 / 65
Definição
Seja f : X → Y . Se, para todo y ∈ Y , existe, no máximo, um
x ∈ X tal que f(x) = Y , então f é dita função injetora.
3
2
1
d
c
b
a
X Y
f
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 9 / 65
Definição
Uma função f : X → y simultaneamente injetora e sobrejetora é
designada bijetora.
A cada y ∈ Y corresponde um, e somente um, x ∈ X tal que
y = f(x):
3
2
1
c
b
a
X Y
f
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 10 / 65
Exemplos
Podemos pensar em uma função que associa cada pessoa com
suas impressões digitais. Essa função será bijetora pois cada
conjunto de impressões digitais pertence a uma, e somente
uma, pessoa.
Em computação, a tabela ASCII pode ser considerada como
uma função bijetora que associa um determinado caractere
(de controle ou alfanumérico) a um, e somente um, número
natural representado em 7 d́ıgitos binários.
Duas pessoas distintas podem ter o mesmo DNA se forem
gêmeas idênticas. Portanto, uma regra associando uma
pessoa a uma molécula de DNA será uma função sobrejetora
mas não injetora.
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 11 / 65
Exemplos
Podemos pensar em uma função que associa cada pessoa com
suas impressões digitais. Essa função será bijetora pois cada
conjunto de impressões digitais pertence a uma, e somente
uma, pessoa.
Em computação, a tabela ASCII pode ser considerada como
uma função bijetora que associa um determinado caractere
(de controle ou alfanumérico) a um, e somente um, número
natural representado em 7 d́ıgitos binários.
Duas pessoas distintas podem ter o mesmo DNA se forem
gêmeas idênticas. Portanto, uma regra associando uma
pessoa a uma molécula de DNA será uma função sobrejetora
mas não injetora.
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 11 / 65
Exemplos
Podemos pensar em uma função que associa cada pessoa com
suas impressões digitais. Essa função será bijetora pois cada
conjunto de impressões digitais pertence a uma, e somente
uma, pessoa.
Em computação, a tabela ASCII pode ser considerada como
uma função bijetora que associa um determinado caractere
(de controle ou alfanumérico) a um, e somente um, número
natural representado em 7 d́ıgitos binários.
Duas pessoas distintas podem ter o mesmo DNA se forem
gêmeas idênticas. Portanto, uma regra associando uma
pessoa a uma molécula de DNA será uma função sobrejetora
mas não injetora.
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 11 / 65
Funções especiais
Definição (Função constante)
Sejam X e Y conjuntos não vazios e seja um elemento fixo c ∈ Y .
Designamos por função constante c de X em Y a função
f : X → Y tal que f(x) = c para todo x ∈ X.
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 12 / 65
Funções especiais
Definição (Função constante)
Sejam X e Y conjuntos não vazios e seja um elemento fixo c ∈ Y .
Designamos por função constante c de X em Y a função
f : X → Y tal que f(x) = c para todo x ∈ X.
Definição (Função identidade)
Seja X um conjunto não vazio. Designamos por função
identidade de X a função Id : X → X tal que f(x) = x para
todo x ∈ X.
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 12 / 65
Funções especiais
Definição (Função constante)
Sejam X e Y conjuntos não vazios e seja um elemento fixo c ∈ Y .
Designamos por função constante c de X em Y a função
f : X → Y tal que f(x) = c para todo x ∈ X.
Definição (Função identidade)
Seja X um conjunto não vazio. Designamos por função
identidade de X a função Id : X → X tal que f(x) = x para
todo x ∈ X.
Exerćıcio∗: Mostre que as funções constante e identidade são, de
fato, funções de acordo com a nossa definição.
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 12 / 65
Funções numéricas
No estudo do cálculo, estaremos interessados apenas em
funções f : X → Y em que X e Y são conjuntos de números.
Diremos que tais funções são “numéricas”.
Em particular, estaremos interessados no caso em que ambos
X e Y são subconjuntos do conjunto R dos números reais.
Neste caso, diremos que estamos tratando de funções reais de
uma variável real.
A função é dita real porque os elementos do contratoḿınio
são números reais.
Dizemos que a função é “de uma variável real” porque os
elementos do doḿınio são números reais.
Alternativamente,diŕıamos que f : X → Y , em que X ⊂ Q e
Y ⊂ Z é uma função complexa de uma variável racional.
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 13 / 65
Funções numéricas
No estudo do cálculo, estaremos interessados apenas em
funções f : X → Y em que X e Y são conjuntos de números.
Diremos que tais funções são “numéricas”.
Em particular, estaremos interessados no caso em que ambos
X e Y são subconjuntos do conjunto R dos números reais.
Neste caso, diremos que estamos tratando de funções reais de
uma variável real.
A função é dita real porque os elementos do contratoḿınio
são números reais.
Dizemos que a função é “de uma variável real” porque os
elementos do doḿınio são números reais.
Alternativamente, diŕıamos que f : X → Y , em que X ⊂ Q e
Y ⊂ Z é uma função complexa de uma variável racional.
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 13 / 65
Funções numéricas
No estudo do cálculo, estaremos interessados apenas em
funções f : X → Y em que X e Y são conjuntos de números.
Diremos que tais funções são “numéricas”.
Em particular, estaremos interessados no caso em que ambos
X e Y são subconjuntos do conjunto R dos números reais.
Neste caso, diremos que estamos tratando de funções reais de
uma variável real.
A função é dita real porque os elementos do contratoḿınio
são números reais.
Dizemos que a função é “de uma variável real” porque os
elementos do doḿınio são números reais.
Alternativamente, diŕıamos que f : X → Y , em que X ⊂ Q e
Y ⊂ Z é uma função complexa de uma variável racional.
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 13 / 65
Funções numéricas
No estudo do cálculo, estaremos interessados apenas em
funções f : X → Y em que X e Y são conjuntos de números.
Diremos que tais funções são “numéricas”.
Em particular, estaremos interessados no caso em que ambos
X e Y são subconjuntos do conjunto R dos números reais.
Neste caso, diremos que estamos tratando de funções reais de
uma variável real.
A função é dita real porque os elementos do contratoḿınio
são números reais.
Dizemos que a função é “de uma variável real” porque os
elementos do doḿınio são números reais.
Alternativamente, diŕıamos que f : X → Y , em que X ⊂ Q e
Y ⊂ Z é uma função complexa de uma variável racional.
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 13 / 65
Funções numéricas
No estudo do cálculo, estaremos interessados apenas em
funções f : X → Y em que X e Y são conjuntos de números.
Diremos que tais funções são “numéricas”.
Em particular, estaremos interessados no caso em que ambos
X e Y são subconjuntos do conjunto R dos números reais.
Neste caso, diremos que estamos tratando de funções reais de
uma variável real.
A função é dita real porque os elementos do contratoḿınio
são números reais.
Dizemos que a função é “de uma variável real” porque os
elementos do doḿınio são números reais.
Alternativamente, diŕıamos que f : X → Y , em que X ⊂ Q e
Y ⊂ Z é uma função complexa de uma variável racional.
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 13 / 65
Funções numéricas
No estudo do cálculo, estaremos interessados apenas em
funções f : X → Y em que X e Y são conjuntos de números.
Diremos que tais funções são “numéricas”.
Em particular, estaremos interessados no caso em que ambos
X e Y são subconjuntos do conjunto R dos números reais.
Neste caso, diremos que estamos tratando de funções reais de
uma variável real.
A função é dita real porque os elementos do contratoḿınio
são números reais.
Dizemos que a função é “de uma variável real” porque os
elementos do doḿınio são números reais.
Alternativamente, diŕıamos que f : X → Y , em que X ⊂ Q e
Y ⊂ Z é uma função complexa de uma variável racional.
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 13 / 65
Funções numéricas
No estudo do cálculo, estaremos interessados apenas em
funções f : X → Y em que X e Y são conjuntos de números.
Diremos que tais funções são “numéricas”.
Em particular, estaremos interessados no caso em que ambos
X e Y são subconjuntos do conjunto R dos números reais.
Neste caso, diremos que estamos tratando de funções reais de
uma variável real.
A função é dita real porque os elementos do contratoḿınio
são números reais.
Dizemos que a função é “de uma variável real” porque os
elementos do doḿınio são números reais.
Alternativamente, diŕıamos que f : X → Y , em que X ⊂ Q e
Y ⊂ Z é uma função complexa de uma variável racional.
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 13 / 65
Funções numéricas
A designação variável real está relacionada com o fato de que
uma função numérica é convenientemente, e frequentemente,
representada pela sua “lei de formação”.
Por exemplo, a notação
f : R→ R,
x 7→ f(x),
em que f(x) = x2, estabelece que f é uma função cujo
doḿınio é o conjunto de todos os números reais e cujo
contradoḿınio é um subconjunto do conjunto de todos os
números reais e que, à cada x ∈ R corresponde o número real
y ∈ R dado por y = x2.
Alternativamente, escreveŕıamos
f : R→ R,
x 7→ x2.
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 14 / 65
Funções numéricas
A designação variável real está relacionada com o fato de que
uma função numérica é convenientemente, e frequentemente,
representada pela sua “lei de formação”.
Por exemplo, a notação
f : R→ R,
x 7→ f(x),
em que f(x) = x2, estabelece que f é uma função cujo
doḿınio é o conjunto de todos os números reais e cujo
contradoḿınio é um subconjunto do conjunto de todos os
números reais e que, à cada x ∈ R corresponde o número real
y ∈ R dado por y = x2.
Alternativamente, escreveŕıamos
f : R→ R,
x 7→ x2.
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 14 / 65
Funções numéricas
A designação variável real está relacionada com o fato de que
uma função numérica é convenientemente, e frequentemente,
representada pela sua “lei de formação”.
Por exemplo, a notação
f : R→ R,
x 7→ f(x),
em que f(x) = x2, estabelece que f é uma função cujo
doḿınio é o conjunto de todos os números reais e cujo
contradoḿınio é um subconjunto do conjunto de todos os
números reais e que, à cada x ∈ R corresponde o número real
y ∈ R dado por y = x2.
Alternativamente, escreveŕıamos
f : R→ R,
x 7→ x2.
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 14 / 65
Funções definidas por partes
Considere a função f : R→ R definida por f(x) =
√
x2 + 1
se x ≤ 0 ou f(x) = x+ 1 se x > 0.
Esta função tem uma lei de formação mais elaborada, que diz
que a regra que associa cada x ∈ R à sua imagem y ∈ R
depende do sinal de x.
Neste caso dizemos que f é definida por partes e escrevemos
f(x) =
{√
x2 + 1, se x ≤ 0
x+ 1, se x > 0
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 15 / 65
Funções definidas por partes
Considere a função f : R→ R definida por f(x) =
√
x2 + 1
se x ≤ 0 ou f(x) = x+ 1 se x > 0.
Esta função tem uma lei de formação mais elaborada, que diz
que a regra que associa cada x ∈ R à sua imagem y ∈ R
depende do sinal de x.
Neste caso dizemos que f é definida por partes e escrevemos
f(x) =
{√
x2 + 1, se x ≤ 0
x+ 1, se x > 0
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 15 / 65
Funções definidas por partes
Considere a função f : R→ R definida por f(x) =
√
x2 + 1
se x ≤ 0 ou f(x) = x+ 1 se x > 0.
Esta função tem uma lei de formação mais elaborada, que diz
que a regra que associa cada x ∈ R à sua imagem y ∈ R
depende do sinal de x.
Neste caso dizemos que f é definida por partes e escrevemos
f(x) =
{√
x2 + 1, se x ≤ 0
x+ 1, se x > 0
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 15 / 65
Operações entre funções numéricas
Sejam f e g funções reais de uma variável real e seja c um número
real constante. Os śımbolos
c · f, f + g, e f · g
representam novas funções definidas da seguinte maneira:
(c · f)(x) := c · f(x)
(f + g)(x) := f(x) + g(x)
(f · g)(x) := f(x) ·g(x)
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 16 / 65
Operações entre funções numéricas
Sejam f e g funções reais de uma variável real e seja c um número
real constante. Os śımbolos
c · f, f + g, e f · g
representam novas funções definidas da seguinte maneira:
(c · f)(x) := c · f(x)
(f + g)(x) := f(x) + g(x)
(f · g)(x) := f(x) · g(x)
Assim, dizemos que c · f é a função produto da função f pela
constante c, a função f + g é a função soma das funções f e
g e f · g é o produto das funções f e g.
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 16 / 65
Operações entre funções numéricas
Sejam f e g funções reais de uma variável real e seja c um número
real constante. Os śımbolos
c · f, f + g, e f · g
representam novas funções definidas da seguinte maneira:
(c · f)(x) := c · f(x)
(f + g)(x) := f(x) + g(x)
(f · g)(x) := f(x) · g(x)
Assim, dizemos que c · f é a função produto da função f pela
constante c, a função f + g é a função soma das funções f e
g e f · g é o produto das funções f e g.
Exerćıcio∗: Mostre que c · f , f + g e f · g definidas acima são, de
fato, funções de acordo com a nossa definição.
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 16 / 65
Composição de funções
4
3
2
1
c
b
a
X
Y
g
c
b
a
α
β
γ
δ
ε
Y
Z
f
g leva 1 ∈ X em c ∈ Y e f leva c ∈ Y em δ ∈ Z
g leva 2 ∈ X em a ∈ Y e f leva a ∈ Y em β ∈ Z
g leva 3 ∈ X em b ∈ Y e f leva b ∈ Y em ε ∈ Z
g leva 4 ∈ X em c ∈ Y e f leva c ∈ Y em δ ∈ Z
O doḿınio de f é o contradoḿınio de g.
Definimos a função denotada por f ◦ g : X → Z tal que
(f ◦ g)(x) = f(g(x))
f ◦ g é a função composta de g e f .
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 17 / 65
Composição de funções
4
3
2
1
c
b
a
X
Y
g
c
b
a
α
β
γ
δ
ε
Y
Z
f
g leva 1 ∈ X em c ∈ Y e f leva c ∈ Y em δ ∈ Z
g leva 2 ∈ X em a ∈ Y e f leva a ∈ Y em β ∈ Z
g leva 3 ∈ X em b ∈ Y e f leva b ∈ Y em ε ∈ Z
g leva 4 ∈ X em c ∈ Y e f leva c ∈ Y em δ ∈ Z
O doḿınio de f é o contradoḿınio de g.
Definimos a função denotada por f ◦ g : X → Z tal que
(f ◦ g)(x) = f(g(x))
f ◦ g é a função composta de g e f .
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 17 / 65
Composição de funções
4
3
2
1
c
b
a
X
Y
g
c
b
a
α
β
γ
δ
ε
Y
Z
f
g leva 1 ∈ X em c ∈ Y e f leva c ∈ Y em δ ∈ Z
g leva 2 ∈ X em a ∈ Y e f leva a ∈ Y em β ∈ Z
g leva 3 ∈ X em b ∈ Y e f leva b ∈ Y em ε ∈ Z
g leva 4 ∈ X em c ∈ Y e f leva c ∈ Y em δ ∈ Z
O doḿınio de f é o contradoḿınio de g.
Definimos a função denotada por f ◦ g : X → Z tal que
(f ◦ g)(x) = f(g(x))
f ◦ g é a função composta de g e f .
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 17 / 65
Composição de funções
4
3
2
1
c
b
a
X
Y
g
c
b
a
α
β
γ
δ
ε
Y
Z
f
g leva 1 ∈ X em c ∈ Y e f leva c ∈ Y em δ ∈ Z
g leva 2 ∈ X em a ∈ Y e f leva a ∈ Y em β ∈ Z
g leva 3 ∈ X em b ∈ Y e f leva b ∈ Y em ε ∈ Z
g leva 4 ∈ X em c ∈ Y e f leva c ∈ Y em δ ∈ Z
O doḿınio de f é o contradoḿınio de g.
Definimos a função denotada por f ◦ g : X → Z tal que
(f ◦ g)(x) = f(g(x))
f ◦ g é a função composta de g e f .
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 17 / 65
Composição de funções
4
3
2
1
c
b
a
X
Y
g
c
b
a
α
β
γ
δ
ε
Y
Z
f
g leva 1 ∈ X em c ∈ Y e f leva c ∈ Y em δ ∈ Z
g leva 2 ∈ X em a ∈ Y e f leva a ∈ Y em β ∈ Z
g leva 3 ∈ X em b ∈ Y e f leva b ∈ Y em ε ∈ Z
g leva 4 ∈ X em c ∈ Y e f leva c ∈ Y em δ ∈ Z
O doḿınio de f é o contradoḿınio de g.
Definimos a função denotada por f ◦ g : X → Z tal que
(f ◦ g)(x) = f(g(x))
f ◦ g é a função composta de g e f .
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 17 / 65
Composição de funções
4
3
2
1
c
b
a
X
Y
g
c
b
a
α
β
γ
δ
ε
Y
Z
f
g leva 1 ∈ X em c ∈ Y e f leva c ∈ Y em δ ∈ Z
g leva 2 ∈ X em a ∈ Y e f leva a ∈ Y em β ∈ Z
g leva 3 ∈ X em b ∈ Y e f leva b ∈ Y em ε ∈ Z
g leva 4 ∈ X em c ∈ Y e f leva c ∈ Y em δ ∈ Z
O doḿınio de f é o contradoḿınio de g.
Definimos a função denotada por f ◦ g : X → Z tal que
(f ◦ g)(x) = f(g(x))
f ◦ g é a função composta de g e f .
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 17 / 65
Composição de funções
4
3
2
1
c
b
a
X
Y
g
c
b
a
α
β
γ
δ
ε
Y
Z
f
g leva 1 ∈ X em c ∈ Y e f leva c ∈ Y em δ ∈ Z
g leva 2 ∈ X em a ∈ Y e f leva a ∈ Y em β ∈ Z
g leva 3 ∈ X em b ∈ Y e f leva b ∈ Y em ε ∈ Z
g leva 4 ∈ X em c ∈ Y e f leva c ∈ Y em δ ∈ Z
O doḿınio de f é o contradoḿınio de g.
Definimos a função denotada por f ◦ g : X → Z tal que
(f ◦ g)(x) = f(g(x))
f ◦ g é a função composta de g e f .
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 17 / 65
Exemplo: Considere as funções f, g : R→ R definidas por
f(x) = x2 e g(x) =
1
1 + x2
.
Encontre as leis de formação para
1 f ◦ g.
2 g ◦ f .
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 18 / 65
Funções inversas
Considere a função bijetora f representada por
3
2
1
c
b
a
X Y
f
Os elementos de X e de Y estão em correspondência
biuńıvoca: A cada elemento de Y corresponde um, e apenas
um, elemento de X e vice-versa.
Definimos agora a função g representada por
c
b
a
3
2
1
Y Xg
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 19 / 65
Funções inversas
Considere a função bijetora f representada por
3
2
1
c
b
a
X Y
f
Os elementos de X e de Y estão em correspondência
biuńıvoca: A cada elemento de Y corresponde um, e apenas
um, elemento de X e vice-versa.
Definimos agora a função g representada por
c
b
a
3
2
1
Y Xg
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 19 / 65
3
2
1
c
b
a
X Y
f
c
b
a
3
2
1
Y Xg
A função g tem a propriedade de que
g(y) = x⇔ y = f(x)
Dizemos que g é a função inversa de f .
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 20 / 65
3
2
1
c
b
a
X Y
f
c
b
a
3
2
1
Y Xg
A função g tem a propriedade de que
g(y) = x⇔ y = f(x)
Dizemos que g é a função inversa de f .
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 20 / 65
3
2
1
c
b
a
X Y
f
c
b
a
3
2
1
Y Xg
A função g tem a propriedade de que
g(y) = x⇔ y = f(x)
Dizemos que g é a função inversa de f .
Definição (Função inversa)
Seja f : X → Y uma função bijetora. Definimos como sendo a
função inversa de f a função g : Y → X tal que, para todos
x ∈ X e y ∈ Y , temos
g(y) = x⇔ y = f(x).
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 20 / 65
Notação:
Dada uma função bijetora f : X → Y , denotamos sua inversa
pelo śımbolo f−1.
Em outras palavras, f−1 : Y → X é a função satisfazendo
f−1(y) = x⇔ y = f(x).
Observações:
O “expoente” −1 no śımbolo f−1 não representa nenhuma
operação aritmética!
Apenas funções bijetoras admitem inversa.
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 21 / 65
Notação:
Dada uma função bijetora f : X → Y , denotamos sua inversa
pelo śımbolo f−1.
Em outras palavras, f−1 : Y → X é a função satisfazendo
f−1(y) = x⇔ y = f(x).
Observações:
O “expoente” −1 no śımbolo f−1 não representa nenhuma
operação aritmética!
Apenas funções bijetoras admitem inversa.
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 21 / 65
Notação:
Dada uma função bijetora f : X → Y , denotamos sua inversa
pelo śımbolo f−1.
Em outras palavras, f−1 : Y → X é a função satisfazendo
f−1(y) = x⇔ y = f(x).
Observações:
O “expoente” −1 no śımbolo f−1 não representa nenhuma
operação aritmética!
Apenas funções bijetoras admitem inversa.
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 21 / 65
Notação:
Dada uma função bijetora f : X → Y , denotamos sua inversa
pelo śımbolo f−1.
Em outras palavras, f−1 : Y → X é a função satisfazendo
f−1(y) = x⇔ y = f(x).
Observações:
O “expoente” −1 no śımbolo f−1 não representa nenhuma
operação aritmética!
Apenas funções bijetoras admitem inversa.
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 21 / 65
Exemplos: Pares de funções reais de uma variável real que são
inversas uma da outra
ex lnx
10x log10 x
x3 3
√
x
Exerćıcios1 O que significa estas funções serem inversas uma da outra?
Dê exemplos numéricos.
2 O que você diria sobre a inversa da função f : R→ R definida
por f(x) = x2?
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 22 / 65
O GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 23 / 65
Produto cartesiano de conjuntos
Definição (Produto cartesiano)
Dados dois conjuntos não vazios, X e Y , seu produto cartesiano
é o conjunto denotado pelo śımbolo X × Y e definido por
X × Y := {(x, y)|x ∈ X e y ∈ Y } .
Os elementos de X × Y são pares ordenados (x, y).
Em cada par ordenado temos um primeiro elemento e um
segundo elemento nesta ordem.
O primeiro elemento do par ordenado pertence ao conjunto X
e o segundo elemento do par ordenado pertence ao conjunto
Y .
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 24 / 65
Produto cartesiano de conjuntos
Definição (Produto cartesiano)
Dados dois conjuntos não vazios, X e Y , seu produto cartesiano
é o conjunto denotado pelo śımbolo X × Y e definido por
X × Y := {(x, y)|x ∈ X e y ∈ Y } .
Os elementos de X × Y são pares ordenados (x, y).
Em cada par ordenado temos um primeiro elemento e um
segundo elemento nesta ordem.
O primeiro elemento do par ordenado pertence ao conjunto X
e o segundo elemento do par ordenado pertence ao conjunto
Y .
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 24 / 65
Produto cartesiano de conjuntos
Definição (Produto cartesiano)
Dados dois conjuntos não vazios, X e Y , seu produto cartesiano
é o conjunto denotado pelo śımbolo X × Y e definido por
X × Y := {(x, y)|x ∈ X e y ∈ Y } .
Os elementos de X × Y são pares ordenados (x, y).
Em cada par ordenado temos um primeiro elemento e um
segundo elemento nesta ordem.
O primeiro elemento do par ordenado pertence ao conjunto X
e o segundo elemento do par ordenado pertence ao conjunto
Y .
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 24 / 65
Produto cartesiano de conjuntos
Definição (Produto cartesiano)
Dados dois conjuntos não vazios, X e Y , seu produto cartesiano
é o conjunto denotado pelo śımbolo X × Y e definido por
X × Y := {(x, y)|x ∈ X e y ∈ Y } .
Os elementos de X × Y são pares ordenados (x, y).
Em cada par ordenado temos um primeiro elemento e um
segundo elemento nesta ordem.
O primeiro elemento do par ordenado pertence ao conjunto X
e o segundo elemento do par ordenado pertence ao conjunto
Y .
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 24 / 65
Exemplo: O produto cartesiano dos conjuntos
X = {macaco, cachorro} e Y = {1, 3, 9}
é o conjunto
X × Y = {(macaco, 1), (macaco, 3), (macaco, 9),
(cachorro, 1), (cachorro, 3), (cachorro, 9)}
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 25 / 65
Gráfico de uma função
Definição (Gráfico de uma função)
Seja uma função f : X → Y . O gráfico de f é o subconjunto Gf
de X × Y definido por
Gf = {(x, y) ∈ X × Y |y = f(x)} .
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 26 / 65
Exemplo: Considere os conjuntos X = {1, 2, 3, 4, 5} e
Y = {(a, b, c)} e a função f : X → Y definida por
1
2
3
4
5 c
b
a
X
Yf
O gráfico de f é o conjunto
Gf = {(1, b), (2, b), (3, b), (4, a), (5, c)} ⊂ X × Y
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 27 / 65
Exemplo: Considere os conjuntos X = {1, 2, 3, 4, 5} e
Y = {(a, b, c)} e a função f : X → Y definida por
1
2
3
4
5 c
b
a
X
Yf
O gráfico de f é o conjunto
Gf = {(1, b), (2, b), (3, b), (4, a), (5, c)} ⊂ X × Y
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 27 / 65
Sistema cartesiano
Quando X = R e Y = R, pensamos em X e Y como as
chamadas retas reais.
Neste caso, vemos X × Y como sendo um plano dotado de
coordenadas cartesianas.
Cada ponto em tal plano é representado por um par ordenado
da forma (x, y) ∈ R× R, em que x e y são designadas suas
coordenadas com relação a origem O do sistema de
coordenadas.
(x, y)
O x
y
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 28 / 65
Sistema cartesiano
Quando X = R e Y = R, pensamos em X e Y como as
chamadas retas reais.
Neste caso, vemos X × Y como sendo um plano dotado de
coordenadas cartesianas.
Cada ponto em tal plano é representado por um par ordenado
da forma (x, y) ∈ R× R, em que x e y são designadas suas
coordenadas com relação a origem O do sistema de
coordenadas.
(x, y)
O x
y
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 28 / 65
Sistema cartesiano
Quando X = R e Y = R, pensamos em X e Y como as
chamadas retas reais.
Neste caso, vemos X × Y como sendo um plano dotado de
coordenadas cartesianas.
Cada ponto em tal plano é representado por um par ordenado
da forma (x, y) ∈ R× R, em que x e y são designadas suas
coordenadas com relação a origem O do sistema de
coordenadas.
(x, y)
O x
y
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 28 / 65
Gráficos de funções reais de uma variável real
Se f : X → R for uma função real de uma variável real, sendo
X ⊂ R um intervalo ou união finita de intervalos, o gráfico de
f adquire significado geométrico, dado que
Gf ⊂ X × R ⊂ R× R
corresponde a um “lugar” ou conjunto de lugares no plano
cartesiano formado por possivelmente infinitos pontos.
(x, y) ∈ Gf
O x
y
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 29 / 65
Revisão do gráfico das funções elementares
Coletivamente, todos os tipos de função abaixo constituem a
classe das chamadas funções elementares.
Funções polinomiais.
Funções potência (incluindo ráızes).
Funções racionais.
Funções trigonométricas.
Funções exponenciais.
Funções logaritmicas.
Funções trigonométricas inversas.
Def.: Funções que sejam constrúıdas a partir de polinômios
usando-se apenas operações algébricas são designadas funções
algébricas.
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 30 / 65
Funções potência
f(x) = x
Tem como gráfico uma reta que passa pela origem.
−4 −2 2 4
−4
−2
2
4 y = x
x
y
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 31 / 65
Funções potência
Potências naturais pares.
−2 2
2
4
6
8
x2
x4
x6
x
y
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 32 / 65
Funções potência
Potências naturais ı́mpares.
−2 −1 1 2
−5
5
x3
x5
x7
x
y
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 33 / 65
Funções potência
Potências fracionárias da forma 1/n, com n 6= 0 ∈ N.
Funções ráız.
−2 −1 1 2
−1
1
2
x1/2
x1/3
x
y
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 34 / 65
Funções potência
Potências inteiras negativas.
Funções rećıprocas.
−4 −2 2 4
−4
−2
2
4
x−1
x
y
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 35 / 65
Funções potência
Potências inteiras negativas.
Funções rećıprocas.
−4 −2 2 4
1
2
3
4
x−2
x
y
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 36 / 65
Funções potência
Potências inteiras negativas.
Funções rećıprocas.
1 2 3 4 5
2
4
6
8
x−1
x−2
x
y
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 37 / 65
Funções polinomiais
P (x) = a0 + a1x+ a2x
2 + · · ·+ anxn.
A maior potência de x presente é chamada grau do polinômio.
−2 −1 1 2
−5
5
x3 − x+ 1
x4 − 3x2 + x
x
y
A curva representando uma função polinomial de grau n pode
interceptar o eixo x até n vezes.
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 38 / 65
Funções racionais
f(x) = P (x)Q(x) , sendo P e Q funções polinomiais.
−4 −2 2 4
−5
5
x3−x+1
x4−3x2+x
x
y
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 39 / 65
Funções trigonométricas
f(x) = sinx.
5 10
−1
−0.5
0.5
1
x
y
−1 ≤ sinx ≤ 1.
sinx = 0⇔ x = nπ, sendo n um número inteiro.
sin 0 = 0.
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 40 / 65
Funções trigonométricas
f(x) = cosx.
5 10
−1
−0.5
0.5
1
x
y
−1 ≤ cosx ≤ 1.
cosx = 0⇔ x =
(
n+ 12
)
π, sendo n um número inteiro.
cos 0 = 1.
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 41 / 65
Funções trigonométricas
f(x) = tanx = sinxcosx .
5 10
−5
5
x
y
−∞ < tanx < 1.
tanx = 0⇔ sinx = 0.
tanx não se define onde cosx = 0.
tan 0 = 0.
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 42 / 65
Funçõestrigonométricas
Valores importantes
θ sin θ cos θ tan θ
0 0 1 0
π/6 1/2
√
3/2
√
3/3
π/4
√
2/2
√
2/2 1
π/3
√
3/2 1/2
√
3
π/2 1 0 -
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 43 / 65
Funções trigonométricas rećıprocas
cossec x =
1
sinx
−6 −4 −2 2 4 6
−4
−2
2
4
x
y
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 44 / 65
Funções trigonométricas rećıprocas
sec x =
1
cosx
−6 −4 −2 2 4 6
−4
−2
2
4
x
y
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 45 / 65
Funções trigonométricas rećıprocas
cotg x =
1
tanx
−6 −4 −2 2 4 6
−4
−2
2
4
x
y
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 46 / 65
Funções exponenciais
f(x) = ax, sendo a um número real positivo.
Vejamos alguns exemplos com a > 1.
−4 −2 2
2
4
6
2x
ex
3x
x
y
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 47 / 65
Funções exponenciais
Exemplos com a < 1.
−4 −2 2 4
2
4
(12)
x
( 1π )
x
x
y
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 48 / 65
Funções exponenciais
O que significa a função exponencial ax e como calculá-la?
Se x = n for inteiro positivo, então an = a ·a ·a · · · ·a n vezes.
Se x = p/q for racional, com p e q inteiros positivos, então
ap/q = q
√
ap.
Qual o significado de ax quando x for um número irracional?
Lembre-se que um número irracional pode sempre ser
aproximado por uma fração e sabemos o significado de ax
com x racional. Portanto, ax com x irracional é o valor que
obteremos como limite conforme a fração que aproxima o
irracional x se aproxima mais e mais deste valor.
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 49 / 65
Funções exponenciais
Propriedades.
ax+y = axay
ax−y =
ax
ay
(ax)y = axy
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 50 / 65
Funções logaŕıtmicas
Seja f(x) = ax, com a > 0 e a 6= 1.
A função denotada por loga x é definida como sendo a inversa
de ax, ou seja loga x = y ⇔ x = ay.
2 4 6
−4
−2
2
4
log2 x
lnx
log10 xx
y
loga 1 = 0, independentemente da base a.
Observe que as curvas nunca interceptam o eixo y.
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 51 / 65
Funções logaŕıtmicas
Simetria entre os gráficos das funções logaŕıtmicas e
exponenciais.
−2 2 4 6
−5
5
10
loga x
x
ax
x
y
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 52 / 65
Funções logaŕıtmicas
Propriedades
loga(a
x) = x, ∀x ∈ R
aloga x = x, ∀x > 0
loga(xy) = loga x+ loga y, ∀x, y > 0
loga(x/y) = loga x− loga y, ∀x, y > 0
loga(x
r) = r loga x, ∀r ∈ R
Observe que loga a = 1.
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 53 / 65
Funções trigonométricas inversas: arco-seno
f(x) = arcsen x ou f(x) = sin−1 x
A função arco-seno é a inversa da função seno.
Seu doḿınio é o intervalo [−1, 1] e sua imagem é o intervalo
[−π2 ,
π
2 ].
−1 −0.5 0.5 1
−π
2
π
2
x
y
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 54 / 65
Propriedades
arcsen (sinx) = x, para todo x no intervalo
[
−π
2
,
π
2
]
.
sin(arcsen x) = x, para todo x no intervalo [−1, 1] .
arcsin x = y ⇔ x = sin y, x ∈ [−1, 1], y ∈
[
−π
2
,
π
2
]
.
Exemplo.
sin π8 = 0.3826834323650898 . . . .
arcsen 0.3826834323650898 · · · = π8 .
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 55 / 65
Funções trigonométricas inversas: arco-cosseno
f(x) = arccos x ou f(x) = cos−1 x
A função arco-cosseno é a inversa da função cosseno.
Seu doḿınio é o intervalo [−1, 1] e sua imagem é o intervalo
[0, π].
−1 −0.5 0.5 1
π
x
y
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 56 / 65
Propriedades
arccos (cosx) = x, para todo x no intervalo [0, π] .
cos(arccos x) = x, para todo x no intervalo [−1, 1] .
arccos x = y ⇔ x = cos y, x ∈ [−1, 1], y ∈ [0, π] .
Exemplo.
cos π8 = 0.9238795325112867 . . . .
arccos 0.9238795325112867 · · · = π8 .
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 57 / 65
Funções trigonométricas inversas: arco-tangente
f(x) = arctan x ou f(x) = tan−1 x
A função arco-tangente é a inversa da função tangente.
Seu doḿınio é toda a reta real e sua imagem é o intervalo
aberto
(
−π2 ,
π
2
)
.
−4 −2 2 4
−π
2
π
2
x
y
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 58 / 65
Propriedades
arctan (tanx) = x, para todo x no intervalo aberto
(
−π
2
,
π
2
)
.
tan(arctan x) = x, para todo x real.
arctan x = y ⇔ x = tan y, x ∈ R, y ∈
(
−π
2
,
π
2
)
.
Exemplo.
tan π8 = 0.414213562373095 . . . .
arctan 0.414213562373095 · · · = π8 .
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 59 / 65
Simetrias de funções: Funções pares
Se f(−x) = f(x) para todo x no doḿınio de f , dizemos que
f é uma
::::::
função
::::
par.
O fráfico de uma função par é simétrico com relação ao eixo y.
Exemplos:
−2 2
2
4
6
8
y = x2
x
y
−4 −2 2 4
−1
−0.5
0.5
1
y = cosx
x
y
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 60 / 65
Simetrias de funções: Funções ı́mpares
Se f(−x) = −f(x) para todo x no doḿınio de f , dizemos
que f é uma
::::::
função
::::::
ı́mpar.
Nos quadrantes 1 e 3, e 2 e 4 vemos a imagem espelhada de
um com relação ao outro.
Exemplos:
−2 −1 1 2
−5
5 y = x
3
x
y
−2 2
−1
−0.5
0.5
1
y = sinx
x
y
Se f é ı́mpar, então ou f(0) = 0 ou zero não está no doḿınio
de f .
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 61 / 65
Simetrias de funções: Funções sem simetria
Uma função não precisa apresentar nenhum tipo de simetria
com relação à troca de sinal de seu argumento.
Ou seja, uma função não precisa ser par ou ı́mpar.
Exemplos
−4 −2 2 4
−2
−1
1
e
x
5 sinx
x
y
2 4
−1
1
2
y = log10 x
x
y
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 62 / 65
Revisão de assuntos gerais
Uma equação para a reta que passa pelos pontos (x1, y1) e
(x2, y2)
y = y1 +
y2 − y1
x2 − x1
(x− x1)
O coeficiente angular m desta reta é dado por
m =
y2 − y1
x2 − x1
=
∆y
∆x
x1 x2
y1
y2
x
y
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 63 / 65
Revisão de assuntos gerais
Uma equação para a reta que passa pelos ponto (x1, y1) e
tem coeficiente angular m dado.
y = y1 +m(x− x1)
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 64 / 65
Reta perpendicular
Considere a reta com equação y = mx+ q e um ponto
(x1, y1) sobre esta.
A reta perpendicular a esta, e que a intercepta no ponto
(x1, y1), tem coeficiente angular dado por − 1m .
Uma equação para a reta perpendicular é
y = y1 −
1
m
(x− x1)
x1
y1 perpendic.
x
y
Gustavo Cipolat Colvero GEX 104: Cálculo I 65 / 65