PROCESSO DOS ESFORÇOS TRELIÇA T.E C9

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PROCESSO DOS ESFORÇOS
Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira
2015
Processo dos esforços
Processo dos Esforços
Aplicado a treliças
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 2
Aplicado a treliças
Treliças
Chama-se de treliça ideal ao sistema 
reticulado cujas barras tem todas as 
extremidades rotuladas e cujas cargas 
estejam aplicadas apenas em seus nós.
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 3
estejam aplicadas apenas em seus nós.
Com estas hipóteses só aparecem forças 
normais constantes em cada barra. 
Treliça
Momento = 0
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 4
Momento = 0
Esforço cortante = 0
Classificação
Seja: b = no. de barra + reações
n = no. de nó
Treliça hipostática b < 2n
b = 7
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 5
b = 7
n = 4
b = 7 < n = 2 . 4 = 8
Treliça isostática b = 2n
Classificação
b = 8
n = 4
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 6
n = 4
b = 8 = n = 2 . 4 = 8
Treliça hiperestática externamente 
b > 2n
Classificação
b = 9
n = 4
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 7
n = 4
b = 9 > n = 2 . 4 = 8
Método de cálculo
Os métodos de cálculo para treliças isostáticas 
são:
1) Equilíbrio de nós
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 8
2) Cremona – processo de gráfico
Método de cálculo
Para treliças hiperestáticas pode ser aplicado o 
processo dos esforços:
A solução de treliças hiperestáticas é feita 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 9
através de uma superposição de efeitos e 
estabelecimento de um sistema de equações 
de compatibilidade de deslocamentos...
Processo dos esforços
No caso de treliças só haverá a parcela do 
esforço normal:
∆i0 = � Ni∙N0EA dxEstr = �
Ni∙N0
EA ∙L
Barras
 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 10
�
Estr
�
Barras
ij = �
Ni∙Nj
EA dxEstr
= � Ni∙NjEA ∙L
Barras
 
Processo dos esforços
Quando se tem uma treliça uma vez 
hiperestática externamente...
b=11
n=5
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 11
n=5
11>2.5
11>10
GH=1
Processo dos esforços
Deve-se retirar apenas um vínculo incógnito 
interno ou externo:
ou
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 12
ou
Treliças isostáticas fundamentais possíveis...
Processo dos esforços
Escolhe-se retirar o apoio móvel do nó 5 
que passa a ser chamada de incógnita 
hiperestática X1...
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 13
≡
Processo dos esforços
Princípio de Superposição de Efeitos:
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 14
(r) = ( r’) = (0) + X1(1)
Obs → O problema (0) fica com todo carregamento 
externo...
→ O problema (1) fica com o carregamento 
unitário...
Processo dos esforços
Sistema de equação de 
compatibilidade de deslocamento:
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 15
∆1,real = ∆10 + X1⋅δ11 = 0 X1 = - 
∆10
δ11
 
Processo dos esforços
Generalizando...
Caso se tenha uma estruturas “n” vezes 
hiperestática, adota-se “n” incógnitas 
hiperestáticas X1, X2, ..., Xn definindo uma 
Estrutura Isostática Fundamental... 
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Estrutura Isostática Fundamental... 
A aplicação conveniente do Princípio de 
Superposição de Efeitos conduz à equação 
de superposição:
(r) = ( r’) = (0) + X1(1) + X2(2) +...+ Xn(n)
Processo dos esforços
Sistema de equações de compatibilidade de 
deslocamentos...
∆1,real = ∆10 + δ11 X1 + δ12 X2 +...+ δ1n Xn
∆ = ∆ + δ X + δ X +...+ δ X
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 17
∆2,real = ∆20 + δ21 X1 + δ22 X2 +...+ δ2n Xn
⋅
⋅
⋅
∆n,real = ∆n0 + δn1 X1 + δn2 X2 +...+ δnn Xn
Processo dos esforços
O sistema de equações de compatibilidade 
de deslocamentos usando a notação 
matricial pode ser escrito:
�δij�∙�Xi�=�∆i,real-∆i0� 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 18
� � � � � �
Obs → i indica a incógnita hiperestática
j indica qual o problema 
Processo dos esforços
Exemplo GH=2
δ11 X1 + δ12 X2 = ∆1,real - ∆10
δ21 X1 + δ22 X2 = ∆2,real - ∆20
	 δ11 δ12
δ21 δ22
 	X1X2
= �
∆1,real-∆10
∆2,real-∆20
� 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 19
	
δ21 δ22
 	X2
 �∆2,real-∆20�
Obs 1 → Os deslocamentos δij são denominados 
coeficientes de flexibilidade e [δij] é a matriz de 
flexibilidade.
Obs 2 → A matriz é simétrica δij = δji, 
portanto δ12 = δ21
PROCESSO DOS ESFORÇOS
Exercício1-TreliçaExercício1-Treliça
Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira
2015
Processo dos esforços
Exercício1– Traçar o diagrama de esforço 
normal, para EA constante.
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 2
Processo dos esforços
Quando se tem uma treliça uma vez 
hiperestática externamente...
b=9
n=4
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 3
n=4
9>2.4
9>8
GH=1
Processo dos esforços
Deve-se retirar apenas um vínculo incógnito 
interno ou externo:
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 4
Treliças isostáticas fundamentais possíveis...
Processo dos esforços
Princípio de Superposição de Efeitos:
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 5
(r) = ( r’) = (0) + X1(1)
Obs → O problema (0) fica com todo carregamento 
externo...
→ O problema (1) fica com o carregamento 
unitário...
Processo dos esforços
Sistema de equação de 
compatibilidade de deslocamento:
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 6
∆1,real = ∆10 + X1⋅δ11 = 0 X1 = - 
∆10
δ11
 
Processo dos esforços
Diagramas de esforço normal para 
problema (0) e problema (1)...
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 7
Processo dos esforços
Os deslocamentos são calculados através 
do PTV aplicado aos corpos deformáveis 
pelo processo da carga unitária...
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 8
∆10 e δ11
Processo dos esforços
No caso de treliças só haverá a parcela do 
esforço normal:
∆10 = � N1∙N0EA dx
�
0
= � N1∙N0EA ∙L
Barras
 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 9
� �
Barras
11 = � N1∙N1EA dx
�
0
= � N1∙N1EA ∙L
Barras
 
Processo dos esforços
Barra L N1 N0 N1·N0·L N1·N1·L
1_2 4 -1,000 53,333 -213,332 4,000
2_3 4 -1,000 53,333 -213,332 4,000
1_4 5 0,000 -16,667 0,000 0,000
3_4 5 0,000 -66,667 0,000 0,000
2_4 3 0,000 0,000 0,000 0,000
-426,664 8,000 Σ
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 10
EA∆10 = -426,664 
EAδ11 = 8,000 
Processo dos esforços
X1 = - 
∆10
δ
= - 
-426,664
EA
8,000 = +53,333 kN 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 11
X1 = - 
δ11
= - 8,000
EA
= +53,333 kN 
Processo dos esforços
Para obter os esforços normais finais da 
treliça utiliza-se a reação de apoio 
(incógnita hiperestática) encontrada...
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 12
Processo dos esforços
Esforços normais finais:
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 13
Processo dos esforços
Esforços normais finais pelo 
Princípio dos Trabalhos Virtuais:
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PROCESSO DOS ESFORÇOS
Exercício2-TreliçaExercício2-Treliça
Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira
2015
Processo dos esforços
Exercício1– Traçar o diagrama de esforço 
normal, para EA constante.
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 2
Processo dos esforços
Quando se tem uma treliça uma vez 
hiperestática externamente...
b=11
n=5
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 3
n=5
11>2.5
11>10
GH=1
Processo dos esforços
Deve-se retirar apenas um vínculo 
incógnito:
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 4
Treliça isostática fundamental possível...
Processo dos esforços
Princípio de Superposição de Efeitos:
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 5
(r) = ( r’) = (0) + X1(1)
Obs → O problema (0) fica com todo carregamento 
externo...
→ O problema (1) fica com o carregamento 
unitário...
Processo dos esforços
Sistema de equação de 
compatibilidade de deslocamento:
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 6
∆1,real = ∆10 + X1⋅δ11 = 0X1 = - 
∆10
δ11
 
Processo dos esforços
Diagramas de esforço normal para 
problema (0) e problema (1)...
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 7
Processo dos esforços
Os deslocamentos são calculados através 
do PTV aplicado aos corpos deformáveis 
pelo processo da carga unitária...
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 8
∆10 e δ11
Processo dos esforços
No caso de treliças só haverá a parcela do 
esforço normal:
∆10 = � N1∙N0EA dx
�
0
= � N1∙N0EA ∙L
Barras
 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 9
� �
Barras
11 = � N1∙N1EA dx
�
0
= � N1∙N1EA ∙L
Barras
 
Processo dos esforços
Barra L N1 N0 N1·N0·L N1·N1·L
1_3 4 -1,333 -30,000 159,960 7,108
2_4 4 2,667 -66,667 -711,204 28,452
4_5 4 1,333 0,000 0,000 7,108
1_2 3 0,000 0,000 0,000 0,000
1_4 5 -1,667 83,333 -694,581 13,894
3_4 3 1,000 -50,000 -150,000 3,000
3_5 5 -1,667 0,000 0,000 13,894
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 10
3_5 5 -1,667 0,000 0,000 13,894
-1395,824 73,456 Σ
EA∆10 = -1395,824 
EAδ11 = 73,456 
Processo dos esforços
X1 = - 
∆10
δ11
= - 
-1395,824
EA
73,456
EA
= +19,002 kN 
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 11
11
EA
Processo dos esforços
Para obter os esforços normais finais da 
treliça utiliza-se a reação de apoio 
(incógnita hiperestática) encontrada...
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 12
Processo dos esforços
Esforços normais finais:
Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 13
09/02/2017 UNIP ­ Universidade Paulista : DisciplinaOnline ­ Sistemas de conteúdo online para Alunos.
http://online.unip.br/disciplina/detalhes/3829 1/1
Para treliças hiperestáticas pode ser aplicado o processo dos esforços. Neste caso solução das treliças hiperestáticas é feita:
A através de uma superposição de efeitos e estabelecimento de um sistema de equações de compatibilidade de deformações;
B através de uma superposição de efeitos e estabelecimento de um sistema de equações de compatibilidade de esforços;
C através de uma superposição de efeitos e estabelecimento de um sistema de equações de compatibilidade de fissuração;
D através de uma superposição de efeitos e estabelecimento de um sistema de equações de compatibilidade de deslocamentos;
E Nenhuma das anteriores.
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Pode­se classificar a treliça abaixo como:
A Isostática;
B Hipostática;
C Hiperestática;
D Duas vezes hiperestática;
E Nenhuma das anteriores;
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Chama­se treliça ideal:
A Ao sistema reticulado cujas barras tem todas as extremidades rotuladas e cujas cargas estejam aplicadas apenas em seus nós; 
B Ao sistema reticulado cujas barras não tem todas as extremidades rotuladas e cujas cargas estejam aplicadas apenas em seus nós;
C Ao sistema reticulado cujas barras tem todas as extremidades rotuladas e cujas cargas estejam aplicadas apenas fora de seus nós;
D Ao sistema reticulado cujas barras não tem todas as extremidades rotuladas e cujas cargas estejam aplicadas apenas fora de seus nós;
E Nenhuma das anteriores;
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Qual deve ser a condição para que uma treliça seja considerada hiperestática (n=número de nó e b=número de barras mais número de reações de apoio):
A b<2n
B b=2n
C b>2n
D 2b=2n
E Nenhuma das anteriores
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Para a treliça hiperestática abaixo qual(is) alternativa(s) representa(m) uma possível treliça isostática fundamental:
A
B
C
D
E Todas as anteriores.
  
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Para treliças hiperestáticas pode ser aplicado o processo dos esforços. Os deslocamentos são calculados através do PTV aplicado aos corpos deformáveis pelo processo da carga unitária. Analise as assertivas abaixo:
  
I – Para treliça deve­se considerar apenas a deformação axial;
  
II – A deformação transversal deve ser desprezada;
  
III – Deve se considerar a deformação angular de flexão;
  
IV – Para uma treliça 2 vezes hiperestática deve ser retirado 4 vínculos incógnitos;
A Apenas a III esta errada;
B Apenas a I e IV estão corretas;
C A I, II e IV estão corretas;
D Apenas a I e II estão corretas;
E Nenhuma das anteriores.
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Para a treliça abaixo qual o seu grau de hiperestaticidade:
A 1
B 2
C 3
D 4
E Nenhuma das anteriores.
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Para a treliça hiperestatica abaixo utilizando o processo dos esforços qual o valor do deslocamento 10:
A 10=100/EA
B 10=150/EA
C 10=200/EA
D 10=250/EA
E Nenhuma das anteriores.