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Página 7 Curso de Cálculo – Prof. Flaudio – 2017.1 – Lista 2 10 –LIMITES DE FUNÇÕES A noção de limite de uma função é fundamental para o estudo do cálculo. Os limites são usados para desenvolver outras ideias importantes do cálculo, tais como: continuidade, derivação e integração. 11 –IDEIA INTUITIVA DE LIMITE Vamos começar desenvolvendo a ideia intuitiva de limite de uma função y = f(x), e para entendermos essa ideia, estudaremos o comportamento da função y = f(x) quando fazemos x “se aproximar” de um valor particular x = a que não pertence, necessariamente, ao domínio dessa função. EXEMPLO PRELIMINAR Para que a nossa ideia intuitiva de limite de uma função fique clara, consideremos a função f(x) = Veja que x ≠ 1. No entanto, mesmo sabendo que x não pode assumir o valor 1, queremos saber o que acontece com essa função f(x), quando fazemos x “aproximar-se” de 1. Para isso, vamos calcular: a) f(0) b) f(0,5) c) f(0,9) d) f(0,99) e) f(0,999) f) f(0,9999) g) f(0,99999) h) f(1,5) i) f(1,1) j) f(1,01) k) f(1,001) l) f(1,0001) m) f(1,00001) n) f(1,000001) 12 – DEFINIÇÃO INTUITIVA DE LIMITE Dada uma função y = f(x) e um número real a, intuitivamente, dizer que o limite de f(x), quando x tende a a, é igual a L, que simbolicamente, se escreve lim x→a f(x) = L significa que f(x) fica arbitrariamente próximo de L, para todos os valores de x suficientemente próximos de a. 13 – DEFINIÇÃO FORMAL DE LIMITE Considere Ι um intervalo aberto, a ∈ com a ∉ Ι, e seja f uma função definida em Ι. Dizemos que o limite de f(x), quando x tende a a é L, e escrito como lim x→a f(x) = L se dado ε > 0 qualquer, existe um δ > 0, tal que se 0 < |x – a| < δ então |f(x) – L| < ε. 14 – PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LIMITES Apresentamos a seguir, sem as demonstrações, as principais propriedades operatórias dos limites. P1 – lim x→a c = c , onde c é um número real qualquer. P2 – lim x→a x = a . P3 – lim x→a (mx +n) = ma +n . 2x 1. x 1 − − ! Página 8 P4 – Se lim x→a f(x) = L1 e lim x→a g(x) = L2 , então lim x→a [f(x) ± g(x)] = L1 ±L2 . P5 – Se lim x→a f(x) = L1 e lim x→a g(x) = L2 , então lim x→a [f(x).g(x)] = L1.L2 . P6 – Se lim x→a f(x) = L1 e lim x→a g(x) = L2 ≠ 0 , então lim x→a f(x) g(x) = L1 L2 . P7 – Se lim x→a f(x) = L e n for um inteiro positivo qualquer, então lim x→a [f(x)]n = Ln. P8 – Se lim x→a f(x) = L e n for um inteiro positivo qualquer, então lim x→a f(x)n = Ln , com a condição de que se n for par, P9 – lim x→a f(x) = L⇔ lim x→a [f(x)−L] = 0. 15 – CALCULANDO LIMITES – EXEMPLOS RESOLVIDOS Infelizmente ou felizmente, não existe uma técnica única e específica para se calcular limites de funções. A seguir apresentaremos alguns “truques” que juntos com as propriedades dadas anteriormente, facilitarão esses cálculos. É importante que você esteja atento! EXEMPLO 1 Encontrar 2 x 11 x 121lim x 11→ − − + . SOLUÇÃO O truque é: fatore x2 – 121 e obtenha: 2 x 11 x 121lim 22 x 11→ − − = − + . EXEMPLO 2 Encontrar 2 x 2 lim (3x 4x 5) → − + . SOLUÇÃO Este não tem truque! Basta substituir x por 2. Assim, 2 x 2 lim (3x 4x 5) → − + = 12 – 8 + 5 = 9. EXEMPLO 3 Encontrar 2 3x 1 x 4lim 3x 6→ − + . SOLUÇÃO Este também é muito fácil! Troque x por 1. A resposta é 1 3 − . EXEMPLO 4 Encontrar 2 3x 2 4x 9lim . 2x 3→ − − + SOLUÇÃO Este é idêntico ao exemplo 1, fatore 4x2 – 9 e obtenha: 2 3x 2 4x 9lim 6. 2x 3→ − − = − + L 0.≥ Atenção! a2 – b2 = (a + b)(a – b) Página 9 EXEMPLO 5 Encontrar x 4 x 2lim x 4→ − − . 1ª SOLUÇÃO Mesma ideia do exemplo 1. Basta fatorar! Você consegue! x 4 x 4 x 4 x 2 x 2 1 1lim lim lim x 4 4( x 2)( x 2) x 2→ → → − −= = = − + − + 2ª SOLUÇÃO Veja que podemos racionalizar o numerador dessa expressão! x 4 x 4 x 4 x 4 x 2 ( x 2)( x 2) x 4 1 1lim lim lim lim x 4 4(x 4)( x 2) (x 4)( x 2) x 2→ → → → − − + −= = = = − − + − + + 3ª SOLUÇÃO Esse merece mais uma solução! Podemos fazer uma mudança de variável! Faça x k= e veja que x → 4 equivale a k → 2. Assim, 2x 4 k 2 x 2 x 2 k 2 k 2 1lim lim lim x 4 (k 2)(k 2) 4k 4→ → → − − −= = = − + −− EXEMPLO 6 Encontrar 3 x 2 x 8lim x 2→ − − . 1ª SOLUÇÃO Ainda fatorando! 3 2 x 2 x 2 x 8 (x 2)(x 2x 4)lim lim 12 x 2 x 2→ → − − + += = − − . 2ª SOLUÇÃO Usando divisão de polinômios. (Fica mais rápido usar o dispositivo prático de Briot-Ruffini). Divida x3 – 8 por x – 2 e obtenha x2 + 2x + 4, aí é só substituir x por 2. EXEMPLO 7 Encontrar 3 x 0 x 1 1lim x→ + − . SOLUÇÃO Aqui, é melhor fazer uma mudança de variável! Faça 3 x 1 k+ = e veja que x → 0 equivale a k → 1. Assim, 3 3 2x 0 k 1 k 1 x 1 1 k 1 k 1 1lim lim lim x 3k 1 (k 1)(k k 1)→ → → + − − −= = = − − + + . EXEMPLO 8 Encontrar 2 2x 2 x x 6lim x 5x 14→ − − − − − . 1ª SOLUÇÃO Esse é bom! O truque continua sendo: fatore o numerador e o denominador e obtenha: Atenção! a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) Página 10 . 2ª SOLUÇÃO Você também pode usar divisão de polinômios. Veja que x = –2 é raiz do numerador e do denominador. Assim, dividindo o numerador e o denominador por x + 2, encontramos x – 3 e x – 7, respectivamente. Portanto, 2 2x 2 x 2 x x 6 x 3 5lim lim x 7 9x 5x 14→− →− − − −= = −− − . EXEMPLO 9 Encontrar 3 2 3 2x 4 2x 11x 10x 8lim 3x 17x 16x 16→ − + + − + + . SOLUÇÃO Use divisão de polinômios. 3 2 2 3 2 2x 4 x 4 2x 11x 10x 8 2x 3x 2 3lim lim . 43x 17x 16x 16 3x 5x 4→ → − + + − −= = − + + − − 16 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Encontre os limites a seguir: 2 x 2 2 1x 3 x 4a) lim x 2 9x 1b) lim 3x 1 →− → − + − − 2 3x 4 3 x 3 16x 9c) lim 4x 3 x 27d) lim x 3 →− → − + − − 3 x 2 x 8e) lim x 2→− + + 2 x 3 2 2x 4 9 xf ) lim x 3 x 3x 4g) lim x 5x 4 → → − − − − − + 2 2x 1 x 4x 5h) lim x 1→ + − − 2 2x 2 x 2 x 2 x x 6 (x 2)(x 3) x 3 5lim lim lim (x 2)(x 7) x 7 9x 5x 14→− →− →− − − + − −= = = + − −− − Atenção! ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2), onde x1 e x2 são as raízes da equação ax2 + bx + c = 0. Página 11 2 3 21x 2 2 3x 2 4x 4x 3i) lim 4x 1 x 3x 4j) lim x 1 → → + − − + + + 3 x 3 x 1 5 2xk) lim 5 x x 1l) lim x 1 →− → + − − − x 0 x 0 2 2x 1 3 2 3 2x 3 3 2 2x 2 2 3 2x 1 9 x 3m) lim x 1 1 xn) lim x 2x x 3o) lim 3x 8x 5 2x 5x 2x 3p) lim 4x 13x 4x 3 x x x 10q) lim x 3x 2 2x x 3r) lim x 2x 6x 5 → → →− → →− →− − − − + − − + + − − − − + − − − + + + − − + + + 2. O valor do lim x→0 x + a − a x ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ é (a) 1 a (b) a (c) 1 2 a (d) 2 a (e) 0 3. O valor do limite lim x→2 1 x − 1 2 x2 − 4 , é (a) −1 8 (b) −1 16 (c) 0 (d) 1 16 (e) 1 8 Página 12 4. O valor delim x→1 3x3 − 4x2 − x + 2 2x3 − 3x2 +1 (a) 2 3 (b) 5 3 c) 3 5 d) 3 2 e) 2 17 – GABARITO DE 16 1. a) – 4 b) 2 c) – 6 d) 27 e) 12 f) – 6 g) 5 3 h) 3 i) 2 3 j) 14 3 k) −1 2 l) 1 2 m) −1 6 n) −1 2 o) −5 2 p) 11 17 q) – 15 r) – 1 2. c 3. b 4. b
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