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Universidade Federal de Itajubá | INSTITUTO DE MATEMÁTICA E COMPUTAÇÃO 
 
1ª Prova de MAT 021 – Equações Diferenciais I - 20/abril/2013 - Turma T3 
 
 
Aluno: ______________________________________________________________ Matrícula ____________ 
 
1ª Questão (35 pontos): Considere um objeto, de massa , em queda na atmosfera, sujeito apenas à ação da gravidade 
 e à resistência do ar. Vimos que se supormos que a resistência do ar é proporcional a velocidade do objeto, então 
 satisfaz a EDO: 
 
 
 
 
onde 
 
 
, e é a constante de resistência do ar. 
a) Suponha agora que a resistência do ar é proporcional ao quadrado da velocidade, e deduza uma nova equação 
diferencial para o fenômeno. 
b) Esboce o campo de direções para esta equação. O que você espera que aconteça com a velocidade depois de 
um tempo muito grande? 
c) Resolva a equação deduzida no item a), obtendo uma solução geral para a mesma. Utilize o resultado: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Utilizando a solução obtida, calcule e compare o resultado com sua previsão no item b). 
e) Do ponto de vista de modelagem, o que justifica a escolha da resistência do ar como proporcional ao quadrado 
da velocidade? Comente a diferença entre estas duas suposições para a resistência do ar (linear e quadrática). 
Do ponto de vista matemático, existe alguma diferença entre as equações diferenciais de cada modelo? 
 
2ª questão (30 pontos): Considere um tanque contendo 100 litros de água, e uma quantidade inicial de gramas de 
sal uniformemente dissolvida nesta água. Suponha que entra no tanque uma quantidade de litros de água por minuto, 
e que esta água contêm uma concentração de sal de ¼ de grama de sal por litro. Ainda, o líquido sai do tanque numa 
taxa constante também de litros por minuto. Diante destas hipóteses, a equação diferencial que descreve a 
quantidade de sal no tanque é 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Verifique que ( 
 
 ) 
 
 
 é solução da EDO acima. 
b) Sejam a “população inicial de sal” e a “população de sal que entra no tanque”. Observe que fisicamente 
temos . Sendo assim, interprete a expressão de com respeito a estas “populações”, e 
determine o significado físico da parcela 
 
 
 e da parcela ( 
 
 ). Faça um esboço dos gráficos de 
e . 
EXTRA: Você é capaz de exibir uma EDO que tem como solução? E uma EDO que tem como solução? 
c) Suponha agora que a concentração de sal na água que entra não seja mais constante igual a ¼ de grama por litro, 
mas que varie com o tempo, de acordo com a fórmula 
 
 
 gramas por litro. Modifique a equação 
(2) para descrever este processo. 
d) Resolva a equação diferencial obtida no item anterior, para litros/minuto. 
 
 
 
3ª questão (30 pontos): Em dinâmica de populações, a Equação de Verhulst (Crescimento Logístico) para o número de 
indivíduos de uma população é dada por 
 
 
 
 ( 
 
 
) 
a) Suponha que além do crescimento logístico, a população esteja num contexto onde sofre uma predação 
por outra população, numa taxa de predação dada por 
 
 
. Assim, a equação diferencial para a população 
 agora é 
 
 
 
 ( 
 
 
) 
 
 
 
Supondo , esboce a reta de fase (ou espaço de fase) desta equação e encontre os 
pontos de equilíbrio. Classifique-os quanto à sua estabilidade, isto é, determine qual(is) é(são) estável(is) e 
qual(is) é(são) instável(is). 
b) Sem resolver a equação do item a), mas utilizando a reta de fase, determine . O valor de é 
o mesmo para todos os valores do ponto inicial ? Interprete biologicamente. Para quais valores de a 
população não será extinta? 
c) Usando os mesmos valores, , esboce a reta de fase e determine para a 
equação de Verhulst sem predação (equação (3)). Este valor de é maior ou menor que o valor de 
encontrado no item b)? Comente este resultado do ponto de vista biológico, comparando a diferença entre os 
contextos da população na equação (3) e na equação (4). 
 
 
 
 
 
4ª questão (15 pontos): Determine os valores e e para que a equação diferencial 
 
 
 
 
 
 
seja exata. Utilizando estes valores, encontre a solução da equação. 
 
	p1_certa
	p1_gab