DERIVAÇÃO, REGRA DE L’HOSPITAL

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LISTA 8: DERIVAÇÃO, REGRA DE L’HOSPITAL 
 
1 REGRAS DE DERIVAÇÃO 
 
Função Constante 
 
ƒ (x) = c ƒ‘(x) = 0, para todo x Є R 
 
 
Função Potência 
 
ƒ (x) = xn ƒ‘(x) = n . xn–1 . 1 (esse “1” é a derivada de “x”) 
 
 
Função Exponencial 
 
ƒ (x) = ax ƒ‘(x) = ax . ln a . 1 (esse “1” é a derivada de “x”) 
 
ƒ (x) = ex ƒ‘(x) = ex . ln e . 1 = ex (esse “1” é a derivada de “x”) 
 
 
Função Logarítmica 
 
ƒ (x) = ln x ƒ‘(x) = _1_ . 1 (esse “1” é a derivada de “x”) 
 x 
 
Função Seno e Cosseno 
 
ƒ (x) = sen x ƒ‘(x) = cos x . 1 (esse “1” é a derivada de “x”) 
 
ƒ (x) = cos x ƒ‘(x) = – sen x . 1 (esse “1” é a derivada de “x”) 
 
 
2 PROPRIEDADES OPERATÓRIAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2 
3 FUNÇÃO COMPOSTA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 FUNÇÃO COMPOSTA – REGRA DA CADEIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 TEOREMA DE L’HOSPITAL 
 
Guillaume François Antoine de L’Hospital desenvolveu algumas regras de 
cálculo de limites por meio das derivadas. Tais regras permitem o cálculo de 
limites indeterminados habitualmente indicados sob a forma 0 / 0 ou ∞ / ∞. 
 
Se f(x) e g(x) são funções deriváveis, tais que lim f(x) / g(x) é da forma 0 / 0 ou 
∞ / ∞, então: x→a 
 
lim f(x) = lim f’(x) desde que exista o limite do Segundo membro. 
x→a g(x) x→a g’(x) 
 
A derivação deve ser realizada separadamente. 
 
O mesmo resultado é válido quando x tende a infinito. 
 
 
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EXERCÍCIO 1 
Calcule o limite da função a seguir. 
 
 lim x2 – 4 
 x→2 x – 2 
 
 
Verifique se você pode utilizar L’Hopital: 
 
lim x2 – 4 = 22 – 4 = 0 indeterminado 
x→2 x – 2 2 – 2 0 
 
 
Solucione utilizando L’Hospital: 
 
lim x2 – 4 = (x – 2)(x + 2) = x + 2 = 2 + 2 = 4 
x→2 x – 2 x – 2 
 
lim x2 – 4 = lim 2x = 2 * 2 = 4 
x→2 x – 2 x→2 1 
 
 
EXERCÍCIO 2 
Calcule o limite da função a seguir. 
 
lim e 2x 
x→∞ x3 
 
 
Verifique se você pode utilizar L’Hopital: 
 
lim e 2x = e 2*∞ = ∞ indeterminado 
x→∞ x3 ∞³ ∞ 
 
 
Solucione utilizando L’Hospital: 
 
lim e 2x = e 2x * ln e * 2 
x→∞ x3 3x² 
 
 
Reorganizando o resultado, temos: 
 
lim e 2x = e 2x * ln e * 2 = e 2x * 2 
x→∞ x3 3x² 3x² 
 
Verifique se o resultado fica diferente de indeterminado 
 
lim e 2x = e 2x * ln e * 2 = e 2x * 2 = ∞ indeterminado 
x→∞ x3 3x² 3x² ∞ 
 4 
Como o resultado continua dando indeterminado, você deverá aplicar 
novamente L’Hopital: 
 
lim e 2x = e 2x * ln e * 2 = e 2x * 2 = 2 * e 2x * ln e * 2 
x→∞ x3 3x² 3x² 3 * 2x 
 
Reorganizando o resultado, temos: 
 
lim e 2x = e 2x * ln e * 2 = e 2x * 2 = 2 * e 2x * ln e * 2 = 4 * e 2x 
x→∞ x3 3x² 3x² 3 * 2x 6x 
 
 
Verifique se o resultado fica diferente de indeterminado 
 
lim e 2x = 4 * e 2x = ∞ indeterminado 
x→∞ x3 6x ∞ 
 
Como o resultado continua dando indeterminado, você deverá aplicar 
novamente L’Hopital: 
 
lim e 2x = 4 * e 2x = 4 * e 2x * ln e * 2 
x→∞ x3 6x 6 
 
 
Reorganizando o resultado, temos: 
 
lim e 2x = 4 * e 2x = 4 * e 2x * ln e * 2 = 8 * e 2x 
x→∞ x3 6x 6 6 
 
 
Verifique se o resultado fica diferente de indeterminado 
 
lim e 2x = 4 * e 2x = 4 * e 2x * ln e * 2 = 8 * e 2x = 8 * e 2 * ∞ = ∞ = ∞ 
x→∞ x3 6x 6 6 6 6 
 
 
 
EXERCÍCIO 3 
Calcule o limite da seguinte função utilizando a Regra de L’Hospital: 
 
lim ln x . 
x→1 x² – x 
 
 
Verifique se você pode utilizar L’Hopital: 
 
lim ln x = 0 = 0 
x→1 x² – x 1 – 1 0 
 
 
 5 
Solucione utilizando L’Hospital: 
 
lim ln x = 1/x = 1/1 = 1 
x→1 x² – x 2x – 1 2*1 – 1