Relatório3

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Objetivos: 
 Após o final deste relatório o aluno será capaz de compreender o lançamento 
de projéteis, verificar a trajetória que este possui, verificar as equações para 
lançamentos deste tipo, observar que os movimentos vertical e horizontal são 
independentes um do outro. 
 Como objetivo matemático, tem-se como calcular a aceleração que o projétil 
em estudo está exposto. 
Introdução Teórica: 
 Movimento de Projétil: qualquer pessoa que tenha observado uma bola de 
beisebol em movimento (ou, no que diz respeito ao assunto, qualquer corpo 
arremessado no ar) observou o movimento de um projétil. A bola se desloca em uma 
trajetória curva quando arremessada com algum ângulo em relação à superfície da 
Terra. Os movimentos na direção horizontal e vertical são independentes. Na direção 
vertical temos a ação da força gravitacional e na horizontal podemos considerar a 
velocidade como sendo constante. O caminho de um projétil, chamado de trajetória, é 
sempre uma parábola. 
(Figura1) 
 Se desconsiderarmos a Resistência do Ar, temos que o projétil sai com uma 
velocidade inicial e faz um ângulo com a superfície da Terra, decompondo a velocidade 
inicial nos eixos coordenados e considerando os movimentos como sendo 
independentes, temos que; 
 NA HORIZONTAL a velocidade é constante; 
 
(Equação1) 
 NA VERTICAL o projétil é influenciado pela aceleração gravitacional; 
 
(Equação2) 
 Partindo deste princípio podemos encontrar a equação da trajetória eliminando 
o tempo e manipulando a equação que depende do ângulo, velocidade inicial e da 
aceleração da gravidade, temos uma equação do tipo y = Bx + Ax2, com A e B 
constantes, que representa e equação de uma parábola; 
 
(Equação3) 
 Fazendo novas manipulações podemos encontrar a equação do alcance 
horizontal máximo e percebemos que esse alcance é máximo quando o ângulo de 
lançamento for de 45°; 
 
(Equação4) 
 Essas equações são validas somente se a altura do lançamento for igual a altura 
do alcance máximo e se desprezarmos a resistência do ar que influencia no movimento 
do projétil; 
 
(Figura2) 
 
 
(Figura 2) 
 Na figura número dois fizemos uma montagem computadorizada da foto 
através do Gimp(photoshop), onde demonstramos a parábola que o nosso puck 
descreve. 
 
Materiais Utilizados: 
 Trena 
 Cronômetro 
 Transferidor 
 Puck 
 Suporte para inclinação da mesa 
 Suporte para lançamento do Puck 
 Mesa de ar 
Procedimento experimental: 
1. Ligou-se a mesa de ar. 
2. Nivelou-se a mesa de ar. 
3. Inclinou-se a mesa de ar com o auxilio do suporte. 
4. Ajustou-se um ângulo para que a parábola que o lançamento do Puck 
fosse à de maior área e que tivesse o melhor movimento. 
5. Após o ajuste desse ângulo, ajustou-se a força de lançamento para o 
melhor aproveitamento da mesa. 
6. Após estes ajustes, ligou-se a câmera para a filmagem do lançamento. 
7. Repetiu-se a filmagem mais algumas vezes para a escolha do melhor 
lançamento. 
Discussões: 
Antes da apresentação dos resultados, é conveniente uma explicação sucinta 
de como foi feito o tratamento estatístico no conjunto de dados. 
 Toda medida feita n vezes deve ser expressa pelo seu valor médio juntamente 
com a sua incerteza. O valor médio é dado por: 
 
Onde é a soma das n medidas. 
A incerteza é a soma algébrica de dois tipos de erros: Limite de Erro Estatístico (LEE) e 
Limite de Erro Sistemático (LES). Como, neste caso, só há uma medida de posição e 
instante, pela fórmula 1, implica que os valores médios são as próprias medidas. 
Assim, LEE = 0. 
Para calcular a segunda parte da incerteza, o LES, leva-se em conta erros 
cometidos involuntariamente pelo experimentador. No caso, adota-se como LES a 
imprecisão causada por efeitos de Eletrônica (Boylestad, Dispositivos Eletrônicos e 
Teoria de Circuitos) e também por efeito óptico (dificuldade em visualizar no monitor 
as posições exatas) na leitura dos dados no vídeo. Estes vieses estão quantificados em 
1ms. 
Já a incerteza na posição, quantifica-se em: LES = 0.50cm. 
 
É importante dizer que, geralmente, a incerteza é dada com dois algarismos 
significativos, onde se faz arredondamentos convenientes. 
Para medidas indiretas, que está mostrado em Resultados, tem-se que fazer 
Propagação de Erros. Se tal medida é da forma x = g + h, onde x, g e h representam 
medidas com incertezas ∆x, ∆g e ∆h, respectivamente, temos: 
 
 
 A Propagação de Erros para x = g + h, fica assim: 
 (Fórmula 2) 
 
 
 
 
Resultados: 
 É conveniente, antes de modelar matematicamente o movimento, apresentar o 
seguinte Sistema de Referência, que tem como escopo o modelo apresentado na 
Introdução teórica, mas aqui há um tratamento vetorial básico: 
 
 
 
 
 
 
 
O Referencial está no plano do movimento do projétil, isto é, grosso modo, é 
paralelo à mesa utilizada. A origem dele está na posição 0cm, onde, por conveniência, 
o instante é de 0.2s. 
 Além disso, modela-se o puck como uma partícula. 
 Então, pode-se construir: 
Sobre a posição no tempo 
Posição (cm) 
Incerteza na 
posição (cm) 
Tempo (s) Incerteza no tempo (s) 
0 0.50 0.200 0.001 
15 0.50 0.260 0.001 
30 0.50 1.12 0.001 
45 0.50 1.18 0.001 
60 0.50 1.24 0.001 
75 0.50 2.00 0.001 
90 0.50 2.06 0.001 
105 0.50 2.12 0.001 
120 0.50 2.18 0.001 
135 0.50 2.24 0.001 
150 0.50 3.00 0.001 
165 0.50 3.06 0.001 
180 0.50 3.12 0.001 
 
Utilizando o software Origin 6.0, onde se faz a diferença entre o tempo em cada posição e o 
tempo inicial (0.200s), temos: 
Sobre a posição em cada instante 
Posição (cm) 
Incerteza na posição 
(cm) 
Instante (s) 
Incerteza no instante 
(s) 
0 0.50 0 0.0014 
15 0.50 0.06 0.0014 
30 0.50 0.92 0.0014 
45 0.50 0.98 0.0014 
60 0.50 1.04 0.0014 
75 0.50 1.8 0.0014 
90 0.50 1.86 0.0014 
105 0.50 1.92 0.0014 
120 0.50 1.98 0.0014 
135 0.50 2.04 0.0014 
150 0.50 2.8 0.0014 
165 0.50 2.86 0.0014 
180 0.50 2.92 0.0014 
A Propagação de Erros acima ao cálculo da incerteza no instante, foi feita utilizando a fórmula 
2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A partir da tabela anterior, pode-se fazer a seguinte Plotagem, já com as respectivas 
incertezas: 
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0
40
80
120
160
200
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0
40
80
120
160
200
Lançamento de projétil - Posição em função do instante
 
 
P
os
iç
ão
 (
cm
)
Instante (s)
 
 O ajuste da melhor curva citada na legenda está baseado no polinômio de grau 2 pois 
já se sabe que é tal equação que modela o tipo de movimento em estudo. Disso, o software dá 
a seguinte equação, onde Y representa a posição e X a variável tempo (t): 
 (Equação A) 
Ademais, o movimento do projétil depende da aceleração a que ele está exposto. No 
caso, representando tal aceleração por a, ela está em função da aceleração da gravidade local 
e da inclinação (g) da mesa. 
Além disso, como já visto na Introdução teórica, mas como já citado apresentando um 
tratamento vetorial, pode-se escrever: 
 (Equação B) 
 
 
Comparando A com B, vem: 
 
 
que é o objetivo do Relatório. 
 
Conclusão: 
 
Referência: 
Raymond A. Serway / John W. Jewett, Jr. Princípios de Física 1, Mecânica ClassicaVol°1 
Editora Cengage Learnin. 
 
H. Moysés Nussenzveig, 1 Mecânica, Curso de física básica 4º edição, Volume 1 Editora 
Edgard Blucher. 
Boylestad, Robert L.; Nashelsky, Louis. Dispositivos Eletrônicos e Teoria de Circuitos. 
8ed. Prentice-Hall: São Paulo, 2004.