Relatório 7 - Movimento de um projétil

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS 
 INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS - ICEX 
DEPARTAMENTO DE FÍSICA 
BELO HORIZONTE, MG, BRASIL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Física Experimental Básica: Mecânica 
 
Relatório nº7 
 
Movimento de um projétil 
 
 
 
 
 
 
 
 
Autores: 
Leonardo Almeida Matos 
Pedro Enrique de Medeiros Pereira Daniel 
 
 
 
Belo Horizonte, 24 de Outubro de 2020 
Movimento de um projétil: 
Turma:​ PU9A 
Autores:​ Leonardo Almeida Matos; Pedro Enrique de Medeiros Pereira Daniel 
Data:​ 24/10/2020 
Resultados: 
Para os cálculos deste relatório, foram fornecidos as coordenadas x e y obtidas pelo 
computador do projétil lançado e foram fornecidos os seguintes dados: ​g = (9,78 +/-0,05) 
m/s​2​ e ​h​y​ (altura desde a saída da canaleta até o chão) = (0,800 +/- 0,001) m 
Para o desenvolvimento da ​Tabela 1​, foi-se necessário o ajuste das coordenadas x e y 
obtidas pelo computador de tal forma que o ponto inicial fosse coincidente à origem (0,0) do 
plano cartesiano: 
 
Tabela 1 - Coordenadas do projétil: 
Eixo x (m) Eixo y (m) 
0 0 
0,007 0,00656 
0,01399 0,01136 
0,02273 0,01879 
0,03234 0,02579 
0,04196 0,03278 
0,05244 0,0354 
0,06206 0,03977 
0,07298 0,04195 
0,08435 0,04327 
0,09396 0,04239 
0,10663 0,03933 
0,11581 0,03758 
0,12674 0,0319 
0,13985 0,02404 
0,1499 0,01748 
0,15951 0,01093 
0,16694 0,00306 
0,17524 -0,00393 
0,18267 -0,00822 
0,18966 -0,01922 
0,19753 -0,02578 
0,20365 -0,03365 
0,20845 -0,03933 
 
Com os dados ajustados, gerou-se o ​Gráfico 1, o qual expressa a relação polinomial 
entre a posição horizontal da esfera presente no experimento e sua respectiva altura num 
instante ‘t’: 
 
Gráfico 1 
 
 
Com o gráfico e seus dados em mãos é possível calcular a velocidade ​v​0 em função 
dos parâmetros presentes na seguinte equação: 
 
y(t) = v​0​senθ.t + at​2​ ​(I)2
1 
 
A qual pode evoluir para a equação ​(II)​, visto que o movimento é vertical e a 
aceleração da gravidade tem sentido contrário a ele: 
 
y(t) = v​0​senθ.t - gt​2​ ​(II)2
1 
 
Considerando-se a Equação Geral a qual descreve o gráfico, pode-se relacionar os 
coeficientes encontrados após o ajuste polinomial à equação ​(II)​: 
 
Equação Geral: ​y = a​0​ + a​1​.x + a​2​ .x​2 
Coeficientes correspondentes à equação ​(II)​: 
y(t) = v​0​senθ.t - gt​2 ​→ a​0​ = 0 ; a​1​ = v​0​senθ ; a​2 ​= - g2
1
2
1 
 
Dessa forma, é possível concluir que as seguintes expressões são equivalentes: 
 
a​2​.x​2​ ​= - gt​2​ ​(III)2
1 
Tal que o fator ‘x’ é dado por: 
 
x(t) = v​0​cosθ.t ​(IV) 
 
Substituindo-se ​(IV)​ em ​(III)​, obtém-se: 
 
a​2​.(v​0​cosθ.t)​2​ = - gt​22
1 
Isolando-se ​v​0​: 
 
v​0​2​ = 
−g
2.a .cosθ2
2 
 
Contudo, para que os dados sejam substituídos de forma eficaz, necessita-se descobrir 
o ângulo teta ​(θ). ​Para isso, faz-se necessário o uso da equação ​(IV)​ e do coeficiente ​a​1 
presente na Equação Geral: 
 
a​1​.x = v​0​senθ.t → a​1​.(v​0​cosθ.t) = v​0​senθ.t .: a​1​ = tgθ 
 
Conclui-se que: ​arctg(0,96) = θ = 43,8​º. Calculando a sua incerteza: 
 
θ , 17 , 17256° Δ = √( )δθδa1 2 * Δa21 = 0 0 * csc(θ)2 = 0 5 
 
Desta forma: 
 
θ = (43,8 +/- 0,5)° 
 
Com os valores de cada grandeza e cada parâmetro, o valor de ​v​0​ ​foi encontrado: 
 
v​0​ = =​ ​0,951 m/s)(
−g
2.a .cosθ2
2
1/2 
 
Para o cálculo da incerteza, tem-se: 
 
∆​v​0​ = v​0​ = 0,0139523 m/s √( . ) − )21 g∆g 2 + (− . )21 a1∆a1 2 + ( θ∆θ 2 
 
Portanto: 
 
v​0​ = (0,95 +/- 0,01) m/s 
 
Ao final de sua trajetória, o corpo atingiu um ponto de contato com o chão, sendo que 
sua distância ao longo do eixo ‘x’ em relação à sua posição inicial pode ser determinada pelas 
relações descritas anteriormente. Denomina-se o alcance A da partícula o ponto de contato 
mencionado, este determinado a partir de seu movimento ao longo do eixos de coordenadas: 
 
● Ao longo de ‘x’ tem-se uma componente a qual respeita o movimento retilíneo 
uniforme, onde: 
x = x​0​ + v​0x​.t → x-x​0​ = v​0x​.t ou ​∆​x ​ = ​v​0x​*t , sendo ​∆​x o alcance do corpo (A). 
 
● Ao longo do eixo ‘y’ a componente vertical respeita o movimento uniformemente 
variado devido à aceleração da gravidade, que está contrária ao movimento, 
encontrando-se: 
 
y = y​0 ​+ v​0y​.t - , considerando-se a altura inicial como h​y​ e y = 0:2
 g.t2 
-h​y ​ = v​0y​.t - → 2
 g.t2 gt senθ− 2
1 2 + v0 * t + hy 
 
Usando a fórmula de bhaskara: 
 
t = 2 (− g)* 21
−v senθ ± 0 √(v senθ) −4 (− g) h0 2 * 21 * y 
t’ = -0,422467 s; t’’ =0,387247 s 
 
Desconsiderando o tempo negativo (não existe), tem-se t = 0,387247 s​. Calcula-se 
agora a incerteza de t: 
 
t } Δ = t * { √[ ]v0Δv0 2 + [ ]θΔθ 2 + [− ]gΔg 2 −√√[2 ]v0Δv0 2 + [2 ]θΔθ 2 + [ ]gΔg 2 + [ ]hyΔhy 2 + [− ]gΔg 2 
∆​t = -0,0624241 s 
 
Portanto: 
 
t = (0,39 +/- 0,06) s 
 
Com t determinado, pode-se determinar o alcance: 
 
A = v​0​cosθ*t = 0,361789 m 
 
Calculando a incerteza de A: 
 
mA , 559426 Δ = A * √[ ]v0Δv0 2 + [ ]θΔθ 2 + [ ]tΔt 2 = 0 0 
 
Deste modo, tem-se: 
 
A = (0,36 +/- 0,06) m = (36 +/- 6) cm 
 
Discussão: 
Pelos cálculos, obteve-se o ângulo ​θ​c = (43,8 +/- 0,5)°​, porém, antes dos cálculos 
havia sido medido o (dado experimental) ângulo ​θ​e = (43,5 +/- 0,5)° ​, percebe-se uma 
pequena diferença entre os dois dados. ​Tal diferença pode ser explicada pela incerteza, 
tanto do cálculo de ​θ​c quanto da medida de ​θ​e​, de forma que, pelas incertezas, pode-se 
obter ​θ​c​ e θ ​e​ com o mesmo valor. 
A velocidade inicial v​0 calculada se demonstra bem plausível com o que se pode 
observar no vídeo do experimento. 
Ao observar o movimento de um projétil na terra, conforme proposto por Galileu, em 
Diálogos sobre novas ciências​, pode-se analisá-lo separadamente em cada direção. ​Na 
direção vertical (eixo y), tem-se o Movimento Uniformemente Variável (MUV)​, pois a 
aceleração é constante, neste caso: a = -g, portanto, a componente vertical do vetor velocidade 
de qualquer objeto que segue um movimento de projétil (na terra) pode ser dada por v​y = v​0y - 
gt. ​Na direção horizontal (eixo x), tem-se o Movimento Retilíneo Uniforme (MRU)​, pois 
a velocidade é constante (obviamente a aceleração é nula) (usualmente, ignora-se a resistência 
do ar), a aceleração da gravidade (que tem direção vertical) não impacta a velocidade 
horizontal, portanto, a componente horizontal do vetor velocidade de qualquer objeto que 
segue um movimento de projétil (na terra) pode ser dada por ​v​x​ = ​v​0x​. 
O Alcance A calculado também se demonstra bem plausível com o que se pode 
observar no vídeo do experimento. ​A diferença observada entre as três parábolas 
experimentais obtidas das três bolinhas soltas em três diferentes alturas (no minuto 2:13 
do vídeo do experimento) pode ser explicada pela influência de v​0 no Alcance do projétil​, 
que pode ser visto na seguinte equação usada anteriormente: 
A = v​0​cosθ*t 
Repare que o tempo t também é afetado por v​0​. A altura de onde é solta a bolinha na 
canaleta influencia diretamente a velocidade inicial v​0 do projétil. Isso ocorre porque quanto 
maior a altura da qual a bolinha é solta, mais tempo esta será influenciada pela força de seu 
peso e, consequentemente pela aceleração da gravidade, apresentando uma maior energia 
cinética. 
 
Contribuições: 
Para a realização deste relatório, a contribuição foi oriunda de ambas partes da dupla. 
Separação da Escrita: Resultados (Pedro Enrique de Medeiros Pereira Daniel); Discussão 
(Leonardo Almeida Matos); 
Análise Gráfica e Cálculos de incerteza: Análisee Cálculos (Pedro Enrique de Medeiros 
Pereira Daniel); Cálculos (Leonardo Almeida Matos). 
Referências: 
Movimento de um projétil​. Departamento de Química UFMG, Ciclo Básico. Disponível em: 
<https://www.fisica.ufmg.br/ciclo-basico/wp-content/uploads/sites/4/2020/10/Movimento_de
_um_Projetil_ERE.pdf>. Acesso: 22 de Outubro de 2020. 
 
CHAVES, Alaor; SAMPAIO, J. F.. ​Física Básica: Mecânica​. 1ª Edição. Rio de Janeiro - RJ: 
Reichmann & Affonso Editores, 2000.