Slides/Aulas de Hidrodinâmica e Oscilações (Física II)

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Fluidos
LAGRANGE
A dinâmica dos fluidos é um assunto bastante complexo.
Descrição do movimento de um fluido
Calculo da posição em função do 
tempo para cada elemento de 
fluido.
Variação da velocidade com o tempo
em um ponto fixo do fluido
Como descrever um
fluido?
EULER
 𝑟 = 𝑟(𝑡, 𝑟0, 𝑡0) 𝑣 = 𝑣( 𝑟, 𝑡)
Fluidos
 Linhas de corrente.
Traços de corante Linhas de corrente
Área A
Linhas de
Corrente/fluxo
Tubo de
escoamento
As linhas de corrente são tangente em cada ponto ao vetor velocidade 𝑣.
Tubo de escoamento
“Campo vetorial 
de velocidade”
“linhas de força” do campo 
velocidade
 Quando o campo de velocidade do fluido não varia com o tempo.
 𝑣 = 𝑣( 𝑟)
Escoamento Estacionário
Fluidos Ideais
 Características do escoamento de um fluido ideal.
 O escoamento é laminar/estacionário
 O escoamento é incompressível
 Escoamento não viscoso
 Escoamento é irrotacional Escoamento laminar e 
turbulento
A Equação da Continuidade
 Lei da conservação da massa aplicada ao movimento do fluido.
Considere um escoamento estacionário no tubo, desta forma a massa de fluido contida entre as seções A1 e
A2 não podem variar com o tempo, assim a massa que entra (∆m1) em A1 tem que ser igual a massa (∆m2)
que sai pela área A2.
𝐴1𝑣1 = 𝐴2𝑣2
𝑅𝑣 = 𝐴𝑣 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
𝑅𝑚 = 𝜌𝑅𝑣 = 𝐴𝑣 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
(vazão mássica kg/s)
(eq. de continuidade)
(vazão m3/s)
Equação de Bernoulli
 Lei da conservação da energia aplicada ao movimento do fluido.
Não precisamos levar em consideração o balanço energético da
porção (L), tudo se passa como se a porção em azul escuro fosse
“transportada” para a porção verde.
∆𝐾 = 𝑊𝐹𝑃 + 𝑊𝑔
 A variação da energia cinética é igual ao trabalho das forças de
pressão do fluido circundante, e da força gravitacional.
𝑃 +
1
2
𝜌𝑣2 + 𝜌𝑔𝑧 = 𝑐𝑡𝑒
Esse resultado foi publicado por Daniel Bernoulli em seu tratado 
“Hidrodinâmica” (1738).
 Desenvolvendo obtemos:
(Equação de Bernoulli)
Aplicações da Equação de Bernoulli
Sustentação sobre a asa de um avião
As linhas de escoamento do ar que se movem sobre a parte de cima
da asa se aglomeram, portanto a velocidade do escoamento é maior e
a pressão, em consequência, é menor;
Uma explicação equivalente: a forma da asa cria um momento linear
total de cima para baixo sobre o ar, então a força de reação sobre o
avião é para cima
A força resultante de baixo para cima é chamada de força de
sustentação.
As parcelas de ar que estão juntas no bordo de ataque da 
asa não se encontram no bordo de fuga!
Aplicações da Equação de Bernoulli
Fórmula 1
Aplicações da Equação de Bernoulli
Guarda - chuva
Exemplo 4
A água flui continuamente de um tanque aberto, como indicado na Figura. A altura do ponto 1 é 10,0 m e os
pontos 2 e 3 estão a uma altura de 2,0 m. A área da seção reta no ponto 2 é igual a 0,0480 m2; no ponto 3 ela
é igual a 0,0160 m2.
A área do tanque é muito maior do que a área da seção reta do tubo.
Calcule a) a vazão volumétrica em metros cúbicos por segundo; b) a pressão manométrica no ponto 2.
Aplicações da Equação de Bernoulli
França x Brasil (1997)
Roberto Carlos
Aplicações da Equação de Bernoulli
Fórmula de Torricelli
Considere um reservatório contendo líquido, em cuja parede lateral há um pequeno orifício circular através
do qual o líquido se escoa. Como o orifício é pequeno, o nível do reservatório baixa muito lentamente e a
velocidade na superfície é desprezível.
Aplicando a equação de Bernoulli aos pontos a e b da
figura obtemos:
𝑣𝑏 = 2𝑔∆ℎ
Ou seja, a água sai do furo com uma velocidade igual à
velocidade que teria se tivesse sofrido queda livre, a
partir de uma altura ∆h.
Resultado obtido por Torricelli em 1636
Aplicações da Equação de Bernoulli
2) Tubo de Pitot
Se queremos medir a pressão ou a velocidade num fluido em movimento, é necessário introduzir nele algum
instrumento de medida, que geralmente perturba o escoamento. Se introduzirmos um corpo de forma
“aerodinâmica” num campo de escoamento inicialmente uniforme, de velocidade v, ele perturba as linhas de
corrente da forma indicada na figura (b).
Em O (ponto de estagnação) o fluido é freado, a velocidade se
reduz praticamente a zero. Em A a velocidade quase não sofre
alteração continuando igual a v. A diferença de altura entre esses
ponto é desprezível.
Aplicações da Equação de Bernoulli
2) Tubo de Pitot
Acoplando ao corpo considerado um manômetro para medir p – po, obtemos um tubo de Pitot.
Aplicando a equação de Bernoulli entre os pontos O e A, temos:
A diferença de pressão é:
𝑝𝑜 + 𝜌𝑔ℎ𝑜 +
1
2
𝜌𝑣0
2 = 𝑝𝐴 + 𝜌𝑔ℎ𝐴 +
1
2
𝜌𝑣𝐴
2
𝑝𝑜 − 𝑝 = 𝜌0𝑔ℎ
Obtemos a velocidade v de escoamento do fluido:
𝑣 = 2
𝜌𝑜
𝜌
𝑔ℎ
Este sistema é usado para medir a velocidade de 
aviões
p0 é chamada de pressão dinâmica
Aplicações da Equação de Bernoulli
2) Tubo de Pitot
Aplicações da Equação de Bernoulli
3) Fenômeno de Venturi (Medidor Venturi)
Consideremos o escoamento estacionário de um fluido incompressível numa canalização horizontal de seção
transversal variável. Nos pontos 1 e 2 temos (A1, p1, v1) e (A2, p2,v2), as pressões e velocidades correspondentes.
Aplicando a equação de Bernoulli temos:
𝑝1 +
1
2
𝜌𝑣1
2 = 𝑝2 +
1
2
𝜌𝑣2
2
Utilizando a equação da continuidade: 𝑣2 =
𝐴1
𝐴2
𝑣1
Como v2 > v1, consequentemente p1 > p2 ; nas regiões de
estrangulamento, onde a velocidade de escoamento é maior; a pressão é
menor.
Fenômeno primeiramente observado por Venturi, que esperava obter o resultado contrário, acreditando que a pressão
teria de aumentar no estrangulamento, em razão do espaço mais reduzido. Pela constância da vazão, é a velocidade que
tem de aumentar, e essa aceleração tem de ser devida a uma força, que só pode se originar de uma queda de pressão.
Aplicações da Equação de Bernoulli
3) Fenômeno de Venturi (Medidor Venturi)
Uma aplicação do fenômeno de Venturi é o medidor de Venturi, empregado para medir a velocidade de escoamento ou
a vazão numa tubulação. Deste modo, insere-se na tubulação um estrangulamento e mede-se a diferença de pressão.
𝑝1 − 𝑝2 = 𝜌𝑔ℎ
Como:
Obtemos que a velocidade v1 é:
𝑣1 = 𝐴2
2𝑔ℎ
𝐴1
2 − 𝐴2
2
Aplicações da Equação de Bernoulli
3) Fenômeno de Venturi (Medidor Venturi)
Aplicação:
Quando a pêra do atomizador é apertada, o ar é forçado através do
estrangulamento do tubo horizontal, onde a pressão é reduzida
abaixo da pressão atmosférica. Por causa da diferença de pressão, o
líquido no jarro, que está em contato com a atmosfera, é bombeado
para cima no tubo vertical, entra na corrente de ar e sai pela abertura.