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Gabarito da AD 1 Pre´-Ca´lculo para Engenharia - 2017/1
Questa˜o 1: (2,0 pontos) Considere a equac¸a˜o abaixo e fac¸a o que se pede:
(3x)(
√
7− 1) = 1
1
3
− 1
7
.
a. [1,0] Mostre que o valor de x na equac¸a˜o acima e´ um nu´mero irracional e encontre q1 e
q2 ∈ Q tais que q1 < x < q2. Justifique sua resposta.
b. [1,0] O valor de x encontrado acima e´ maior do que 1/2? Justifique.
Soluc¸a˜o:
a) Temos que a frac¸a˜o do segundo membro e´
1
7− 3
21
,
donde ficamos com
21
4
.
Isolando x no primeiro membro, temos
x =
7
4
· 1
(
√
7− 1) =
7
4
· 1
(
√
7− 1) ×
(
√
7 + 1)
(
√
7 + 1)
,
e da´ı ficamos com
x =
7 · (
√
7 + 1)
4 · 6 =
7 · (
√
7 + 1)
24
.
Temos que x e´ irracional pois:
√
7 e´ irracional (sendo raiz quadrada de um nu´mero primo),
e logo
√
7 + 1 e´ irracional (soma de irracional com racional); conclu´ımos que x e´ o produto
de um irracional com o racional 7/24, e por isso irracional. Como 2 <
√
7 < 3, enta˜o
3 <
√
7 + 1 < 4, e assim temos que x =
7 · (
√
7 + 1)
24
satisfaz
3 · 7
24
< x < 4 · 7
24
,
ou ainda (cancelando 3 e 4 com 24),
7
8
< x <
7
6
.
b) Sim, pois temos 7
8
> 1/2. Para ver isso, basta supor, por contradic¸a˜o, que
7
8
<
1
2
.
Ter´ıamos enta˜o
7 <
8
2
= 4,
absurdo. Logo,
1
2
<
7
8
< x.
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Gabarito da AD 1 Pre´-Ca´lculo para Engenharia - 2017/1
Questa˜o 2: (3,0 pontos) Estude o sinal da expressa˜o
2x3 − 6x
2− |x| .
Soluc¸a˜o:Fatorando a expressa˜o, obtemos:
2x3 − 6x
2− |x| =︸︷︷︸
1
2x(x2 − 3)
2− |x| =︸︷︷︸
2
2x(x−√3)(x +√3)
2− |x|
Em (1) a expressa˜o 2x foi colocada em evideˆncia e (2) foi utilizado o produto nota´vel
a2 − b2 = (a− b)(a + b).
Os nu´meros que zeram cada uma das parcelas sa˜o: −2,−√3, 0,√3, 2.
Ordenando esses nu´meros: −2 < −√3 < 0 < √3 < 2.
Repare que para x = −2 e x = 2, o denominador se anula, e, por isso, a expressa˜o na˜o esta´
definida.
Logo, temos a seguinte tabela de sinais.
x < −2 −2 < x < −√3 −√3 < x < 0 0 < x < √3 √3 < x < 2 x > 2
2x − − − + + +
x +
√
3 − − + + + +
x−√3 − − − − + +
2− |x| − + + + + −
2x3 − 6x
2− |x| + − + − + −
Observando a tabela,
2x3 − 6x
2− |x| > 0 em (−∞;−2) ∪ (−
√
3; 0) ∪ (√3, 2)
2x3 − 6x
2− |x| = 0, para x = −
√
3, x = 0 e x =
√
3
2x3 − 6x
2− |x| < 0 em (−2;−
√
3) ∪ (0;√3) ∪ (2; +∞)
2x3 − 6x
2− |x| na˜o esta´ definida para x = −2 e x = 2.
Questa˜o 3: (3,0 pontos) Considere a equac¸a˜o
√
10− 2|x + 3| = 2.
Fac¸a o que se pede:
a. [0,8 ponto] Determine os valores reais de x para os quais
√
10− 2|x + 3| existe.
b. [2,2 pontos] Resolva a equac¸a˜o
√
10− 2|x + 3| = 2.
Soluc¸a˜o:
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a) Para que a expressa˜o no primeiro membro seja real, precisamos de que 10 − 2|x + 3| ≥ 0.
Ou seja, |x + 3| ≤ 5, o que e´ equivalente a
−5 ≤ x + 3 ≤ 5,
ou ainda
−8 ≤ x ≤ 2.
Assim, conclu´ımos que toda soluc¸a˜o x da equac¸a˜o, se existir, deve satisfazer x ∈ [−8, 2].
Se a equac¸a˜o do enunciado e´ satisfeita, tambe´m sera´ a mesma com cada membro elevado ao
quadrado: 10− 2|x + 3| = 4, e assim, |x + 3| = 3.
Logo, x = −6 ou x = 0.
Como a equac¸a˜o pode ser resolvida para todo x ∈ [−8, 2], enta˜o x = −6 ou x = 0 sa˜o
soluc¸o˜es poss´ıveis.
Como elevamos ambos os lados ao quadrado, e´ preciso verificar se essas poss´ıveis soluc¸o˜es
sa˜o de fato soluc¸o˜es da equac¸a˜o do enunciado.
Substituindo x = −6 na equac¸a˜o,
√
10− 2| − 6 + 3| =
√
10− 2| − 3| = √10− 6 =
√
4 = 2.
Logo, x = −6 e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o.
Substituindo x = 0 na equac¸a˜o,
√
10− 2|0 + 3| =
√
10− 2|3| = √10− 6 =
√
4 = 2
Logo, x = 0 e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o.
Portanto, o conjunto soluc¸a˜o e´ {−6, 0}.
Questa˜o 4: Em uma certa cidade, uma regia˜o esta´ sendo urbanizada e os engenheiros repre-
sentam a mesma no plano cartesiano, onde os locais sa˜o pontos e as vias sa˜o representadas por
retas ou segmentos de reta. Considere uma certa rua r1 que sera´ asfaltada, e passa pelo posto
de gasolina, representado por (1, 0), e pela escola pu´blica da regia˜o, no ponto (−1, 3).
a. [1,0 ponto] Encontre a equac¸a˜o da reta que representa a rua r2 a ser constru´ıda, que
cruzara´ r1 perpendicularmente e passara´ pelo Centro Esportivo (3, 1). A rua r2 passara´
pelo cinema da regia˜o, na origem?
b. [1,0 ponto] Na rua r2 do item (a), existe um supermercado cuja abcissa no plano e´ x0 = 2.
Suponha que a casa do Sr. Jose´ se encontra na rua r1 e tem ordenada y0 = −4, e que
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passa um riacho entre o supermercado e a casa do Sr. Jose´. Determine o comprimento
da ponte que sera´ constru´ıda entre a casa e o supermercado.
Soluc¸a˜o:
a) Precisamos encontrar a equac¸a˜o da reta r1. Seja m1 sua inclinac¸a˜o (coeficiente angular).
Ela passa por A = (1, 0) e por B = (−1, 3). Aplicando a fo´rmula
m1 =
y2 − y1
x2 − x1
a A e B, temos
m1 =
3− 0
−1− 1 = −
3
2
,
e assim, a equac¸a˜o de s e´ y = −3x
2
+ b1, onde b1 e´ o termo independente. Como a reta
passa por A = (1, 0), podemos substituir estes valores na equac¸a˜o de r1 para encontrar b1:
0 =
−3
2
+ b1, o que nos da´ b1 =
3
2
.
Se r2 e´ uma reta perpendicular a` reta r1, enta˜o sua inclinac¸a˜o e´ − 1
m
=
2
3
. Aplicando a
equac¸a˜o do coeficiente angular citada acima para a reta r2, que passa por (3, 1), temos
y − 1
x− 3 =
2
3
,
e a partir desta igualdade conclu´ımos que a equac¸a˜o da reta r e´
y =
2x
3
− 1.
Ou seja, na˜o, a rua r2 na˜o passara´ pelo cinema, ja´ que (0, 0) na˜o satisfaz a equac¸a˜o encontrada
acima.
b) Se o ponto esta´ em r2 e a abcissa e´ x0 = 2, enta˜o sua ordenada e´ y = 1/3. Assim, o
supermercado e´ representado pelo ponto (2, 1/3). A casa do Sr. Jose´ fica na rua r1, de
equac¸a˜o
y = −3
2
x +
3
2
.
Se a ordenada deste ponto e´ −4, enta˜o temos
−4 = −3
2
x +
3
2
,
donde
−4− 3
2
= −11
2
= −3
2
x.
Logo, sua abcissa e´ x = 11/3. O comprimento da ponte e´ a distaˆncia entre os pontos (2, 1/3)
e (11/3,−4):
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d(P,Q) =
√
(2− 11/3)2 + (1/3− (−4))2 =
√
(−5/3)2 + (13/3)2
=
√
25 + 169
9
=
√
194
9
=
√
194
3
.
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