P1 de GA, da EME, prof Klippert

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Universidade Federal de Itajuba´
MAT-011 Geometria Anal´ıtica – 1o semestre – 1a prova
28/Marc¸o/2016 - Durac¸a˜o: 2 horas - T2 (EME) - Prof. Renato Klippert
1. Considere dado um paralelogramo ABCD arbitra´rio.
(a)(25 pontos) Demonstre que as diagonais AC e BD deste paralelogramo se interceptam no ponto me´dio
de ambas.
(b)(25 pontos) Admitindo que o paralelogramo dado seja um losango (isto e´, que || −→AD || = || −→AB ||),
demonstre que as diagonais AC e BD sa˜o perpendiculares entre si.
2.(25 pontos) Demonstre que o produto interno ~a ·~b de dois vetores ~a e ~b e´ associativo com escalares x ∈ IR,
ou seja, que (x~a ) ·~b = x (~a ·~b ).
3.(25 pontos) Sejam dados ~a, ~b, ~c treˆs vetores arbitra´rios. Demonstre que o produto misto
[~a, ~b, ~c ] = ~a · (~b× ~c )
desses vetores apresenta a simetria c´ıclica, isto e´, que [~a, ~b, ~c ] = [~c, ~a, ~b ].
(a1~i + a2~j + a3~k) · (b1~i + b2~j + b3~k) = a1b1 + a2b2 + a3b3
(a1~i + a2~j + a3~k)× (b1~i + b2~j + b3~k) = (a2b3 − a3b2)~i + (a3b1 − a1b3)~j + (a1b2 − a2b1)~k