P3 de GA, EME, prof Klippert

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Universidade Federal de Itajuba´
MAT-011 Geometria Anal´ıtica – 1o semestre – 3a prova
27/Junho/2016 - Durac¸a˜o: 2 horas - T2 (EME) - Prof. Renato Klippert
1.(4.7: 4, p. 107) Seja dado um nu´mero natural n ∈ IN tal que n ≥ 2, e sejam dados dois subespac¸os
vetoriais S1 ⊂ IRn e S2 ⊂ IRn de IRn distintos S1 6= S2. Para cada um dos seguintes
conjuntos S ⊂ IRn de vetores de IRn, demonstre que S e´ um subespac¸o vetorial de
IRn (se S for um subespac¸o de IRn) ou justifique o motivo pelo qual S na˜o e´ um
subespac¸o vetorial de IRn (em caso contra´rio).
(a)(1 ponto) S = S1 ∩ S2 (isto e´, o conjunto de todos os vetores de IRn que pertencem a
ambos os subespac¸os S1 e S2).
(b)(1 ponto) S = S1∪S2 (isto e´, o conjunto de todos os vetores de IRn que pertencem a pelo
menos um dos subespac¸os S1 ou S2).
(c)(1 ponto) S = S1 − S2 (isto e´, o conjunto de todos os vetores de IRn que pertencem a S1
exceto todos aqueles que pertencem a S2).
2.(4.4: 1, p. 99) Determine a equac¸a˜o do plano do IR4 que conte´m o ponto A(1, 2, 3, 4) e tal que e´
(2 pontos) perpendicular a ambos os vetores ~V = (1, 1, 0, 0) e ~W = (1,−1, 0, 0).
3.(5.10: 7, p. 146) Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem. Sabemos que, se ambas as
(2.5 pontos) matrizes A e B sa˜o invers´ıveis, enta˜o o produto AB e´ invers´ıvel (pois sua inversa e´
(AB)−1 = B−1A−1). Demonstre a afirmac¸a˜o rec´ıproca: se o produto AB e´ invers´ıvel,
enta˜o ambas as matrizes A e B sa˜o invers´ıveis.
4.(5.10: 10, p. 146) Obtenha uma base ortonormal para o subespac¸o vetorial S ⊂ IR5 de IR5 gerado por
(2.5 pontos) todas as soluc¸o˜es reais do sistema linear de equac¸o˜es alge´bricas abaixo:
x1 − x2 + 2x3 + x4 + 2x5 = 0
2x1 + 2x3 − x4 + x5 = 0
x1 − 3x2 + 4x3 − x4 = 1
(x1, x2, . . . , xn) + (y1, y2, . . . , yn) = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn)
c(x1, x2, . . . , xn) = (c x1, c x2, . . . , c xn)
(x1, x2, . . . , xn) · (y1, y2, . . . , yn) = x1y1 + x2y2 + · · ·+ xnyn
~A′k+1 = ~Ak+1−
 ~Ak+1 · ~A′1
|| ~A′1||2
 ~A′1 + · · ·+
 ~Ak+1 · ~A′k
|| ~A′k||2
 ~A′i
 (AB)ij = ~Ai· ~Bj = ~Ai· ~tBj = ∑
k
AikBkj
e1 = c L1 ↔ E1 =
(
c 0
0 1
)
, e2 = L1+c L2 ↔ E2 =
(
1 c
0 1
)
, e3 = L1−L2 ↔ E3 =
(
0 1
1 0
)