Notas de aula Derivadas

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ESTUDO DE VARIAÇÃO DE UMA FUNÇÃO
Vimos que a interpretação geométrica de derivada de uma função é a inclinação da reta tangente ao gráfico da função em um ponto. Esse fato possibilita-nos aplicar derivadas como recurso auxiliar no esboço de gráficos. Por exemplo, podemos usar a derivada para determinar os pontos onde a reta tangente é horizontal; esses são os pontos onde a derivada é zero. A derivada também pode ser usada para encontrarmos os intervalos nos quais a função está acima ou abaixo da reta tangente. Discutiremos a seguir, de forma sucinta, a técnica para construção de gráficos com o auxílio das derivadas na análise de uma função. 
Funções crescentes e decrescentes. 
�� 
�
Teorema: Dada a função a função f , derivável em ]a , b[, então:
*se f’(x)>0 para todo x 
 ]a, b[, então f é crescente em ]a, b[.
*Se f’(x)<0 para todo x 
 ]a, b[, então f é decrescente em ]a, b[.
Desta forma para se estudar a variação de uma função, procedemos da seguinte maneira:
Derivamos a função.
Verificamos o sinal da derivada.
Fazemos então a variação.
Estudar a variação da função 
Derivada: f(x) = 
Sinal da derivada
f’(x) = 0 
�� EMBED Equation.3 
 
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 
 ou 
 e
3. Variação:
f é crescente nos intervalos: 
f é decrescente no intervalo: 
Máximos e Mínimos relativos
Teorema
Se f é uma função derivável em um intervalo ]a , b[ tal que f’(x0) = 0, então:
 * Se f‘(x0) > 0, então x0 é abscissa de ponto de mínimo relativo
 * Se f’(x0) < 0, então x0 é abscissa de ponto de máximo relativo
Exemplo:
Determine os pontos de máximo e mínimo relativo, se existir, da função 
 
Solução:
Desta forma podemos dizer que x = 1 é abscissa de ponto máximo e x = 3 de ponto mínimo
Concavidade – ponto de inflexão
Teorema
Se f”(x)>0 para todo x 
 ]a, b[, então f tem concavidade voltada para cima (c.v.c.) em ]a, b[.
Se f”(x)<0 para todo x 
 ]a, b[, então f tem concavidade voltada para baixo (c.v.c.) em ]a, b[.
Se f”(x) tem sinais distintos nos intervalos ]a, c[ e ]c, b[ e se f é contínua em c, então c é um ponto de inflexão (P.I) da função f.
Exemplo:
Estudar a concavidade e ao ponto de inflexão, da função 
Solução 
Representação gráfica das funções utilizando derivadas
Para representar graficamente uma função sugerimos que sejam seguidos os seguintes tópicos:
1. Domínio da função
2. Interseção com os eixos
3. Comportamento no infinito
4. Derivada
4.1. Sinal da derivada(crescimento e decrescimento)
4.2. Pontos de máximo ou mínimo
5. Segunda derivada(ponto de inflexão)
6. Esboço gráfico
.
Exemplo:
Construir o gráfico de 
Domínio 
 
Interseção com os eixos:
 Para x = 0 
 A(0 , 4)
3) Comportamento no infinito:
 quando 
 quando 
4. Derivada
f’(x) = 3x2 – 3
5. Sinal da derivada
5.1. Crescimento e decrescimento
para y’ > 0 
 ou 
 a função é crescente
para y’ < 0 
 a função é decrescente 
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 
5.2.Pontos de máximo e mínimo
 
6) Segunda derivada
f”(x) = 6x
6.1.Sinal de f”
6.2.Ponto de inflexão
x = 0 ponto de inflexão x = 0 
 A(0 , 4) ponto de inflexão
7. Esboço gráfico
� EMBED CorelDraw.Graphic.8 ���
� EMBED Equation.3 ���
C.V.B em ]-00, 5/2[
C.V.B em ]5/2, +00[
P.I em x = 5/2
Para x>5/2
Para x<5/2
C
D
C
Ponto máximo
Ponto mínimo
� EMBED Equation.3 ���
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