Lista de Exercícios (GAAL - 09) (FINAL)

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Uni - BH
Instituto de Engenharia e Tecnologia – Curso de Engenharia Civil
Geometria Analítica e Álgebra Linear – Lista de Exercícios
1a parte – Distâncias
Você já sabe calcular a distância entre dois pontos, seja no plano ou no espaço. 
Sendo A = (1,3) e B = (5,7), calcule a distância entre A e B
Sendo A = (3,7,9) e B = (2,-1,4), calcule a distância entre A e B
Um terreno triangular tem vértices nos pontos A(1,2), B(15,7) e C(11,28). A unidade de medida é o metro. Devemos cercar esse terreno com arame farpado, sendo que cada metro de arame custa R$ 22,00. Quanto custará o arame necessário para cercar o terreno ?
Uma casa tem uma sala em forma de pentágono, com vértices nos pontos A(0,0), B(5,0), C(5,5), D e E(0,5). A unidade de medida é o metro. A ordenada do ponto D é maior que 5, e os pontos C, D e E formam um triângulo equilátero. Um arquiteto pensou em colocar nessa sala um roda-teto que custa R$ 12,00 o metro e um piso que custa R$ 15,50 o m2. Quanto custará cada um desses dois artigos ?
Um avião está no ponto (3,2,1) e voa, em linha reta e com velocidade constante, na direção do ponto (4,5,2), sendo a unidade de medida o quilômetro. Se ele gasta 5 minutos para ir do primeiro ponto até o segundo, qual é sua velocidade ?
No instante t = 0 (o tempo está medido em horas) um navio cargueiro está no ponto (0,0) e um porta-aviões está no ponto (200,0). A unidade de medida é o quilômetro. O cargueiro vai para o norte, a 32km/h enquanto o porta-aviões vai para o oeste, a 46km/h. Qual é a distância entre esses dois navios no instante t = 2 ?
Em um instante t qualquer (t medido em segundos), um objeto está no ponto (2+3t, 4+5t,6+2t), sendo que essa posição é medida em m. Um observador está parado no ponto (23, 55, 66). Esse observador determina sua distância ao objeto que está se movendo nos instantes t = 12 e t = 20. Essa distância aumenta ou diminui ? 
A armação metálica de uma peça é composta pelos pontos A(3,2,5), B(2,-4,3), C(-5,-7,4), D(-4,3,1) e E(6,8,2). A unidade de medida é o centímetro. Pequenas hastes metálicas devem unir o ponto A a todos os demais pontos, e hastes feitas com um polímero especial devem unir os pontos B a C, C a D, D a E e E a B. Quantos metros de metal e quantos metros de polímero são necessários para construir a armação de 500 peças iguais a essa ?
Para calcular a distância entre um ponto P(x0,y0) e uma reta r de equação ax + by + c = 0, usamos a fórmula
Observe que precisamos conhecer as coordenadas do ponto e a equação geral da reta. Essa fórmula só vale para duas dimensões. Ela não vale para pontos e retas no espaço.
Qual é a distância entre o ponto (2,5) e a reta de equação 3x + 4y + 17 = 0 ?
A reta r passa pelos pontos (1,1) e (3,2). Qual é a distância do ponto (-3,7) até essa reta ?
A reta r passa pelo ponto (1,2) e tem a direção do vetor u = (3,4). Qual a distância do ponto (3,-5) até essa reta ?
A reta r tem equação 2x + 4y + 3 = 0 e o ponto P tem coordenadas (1,K). Sabendo que a distância entre r e P é 16, qual é o valor de K ? 
Obs.: Há dois valores possíveis para K
Considere o triângulo ABC com A = (1,1), B = (8,3) e C = (5,7). Qual é a distância entre o ponto C e a reta AB ?
No chão de uma casa, um cano de esgoto reto passa pelos pontos (1,2) e (3,5). Devemos unir o ponto (2,9) a esse cano usando um outro cano reto. Qual a medida desse segundo cano ?
A unidade de medida dessa questão é o centímetro. Uma fileira de formigas caminha em linha reta por uma parede, indo do ponto (3,7) (a saída do formigueiro) até o ponto (12,2), onde está um buraquinho por onde elas entram. Só uma formiguinha não está nessa reta. Ela está paradinha no ponto (5,17). Qual a menor distância que essa última formiguinha tem que percorrer para chegar até suas companheiras ?
Para calcular a distância entre um ponto P e uma reta r NO ESPAÇO, precisamos, antes de mais nada, conhecer dois pontos quaisquer A e B da reta r. Nesse caso, a distância entre P e r é dada pela fórmula
Por exemplo, para achar a distância entre o ponto P(3,2,5) e a reta r:, inicialmente tomamos dois pontos em r, por exemplo A = (3,4,2) (fazendo t = 0) e B = (5,5,7) (fazendo t = 1). Com isso temos (2,1,5) e = (0,-2,3). Calculamos o produto vetorial = (13, -6, -4) e temos . Essa é a distância entre P e r.
Calcule a distância entre o ponto P(1,2,2) e a reta r: 
Calcule a distância entre o ponto P(3,2,7) e a reta r: 
Considere o triângulo ABC com A = (2,2,4), B = (3,-5,7) e C = (-3,9,5). Determine a distância do ponto A até a reta BC.
A unidade de medida dessa questão é o centímetro. Um fio está na reta de equação . Um sensor será colocado no ponto (6,0,0). O fio interferirá no funcionamento do sensor se estiver a menos de 10cm dele. Haverá interferência ?
Em um instante t qualquer, medido em segundos, a posição de um objeto é dada por . Um segundo objeto está parado no ponto (3,2,7). Qual será a menor distância entre esses dois objetos ? Em qual instante esses dois objetos estarão nessa menor distância ?
A unidade de medida dessa questão é o quilômetro. Um helicóptero está no ponto (3,5,7), mas a rota de pouso deve ser a reta de equação . Esse helicóptero vai voar em linha reta até a rota de pouso, percorrendo a menor distância possível. Quanto ele deverá se deslocar ?
Dado um ponto P(x0, y0, z0) e um plano de equação ax + by + cz + d = 0, a distância entre o ponto e o plano é
Observe que precisamos conhecer as coordenadas do ponto e a equação geral do plano.
Qual é a distância entre o ponto P(3,2,4) e o plano de equação 3x+2y+5z+7 = 0 ?
Um plano passa pelos pontos (3,2,1), (4,5,6) e (3,2,2). Qual é a distância do ponto (5,2,-4) até esse plano ?
A superfície de uma rampa é o plano de equação 3x + 4y + 6z = 0. No ponto (10,12,10) há uma fonte de luz. Qual é a distância entre essa fonte de luz e a rampa ? A unidade de medida dessa questão é o metro.
Um terreno plano e triangular tem vértices nos pontos (18,0,0), (0,20,0) e (0,0,3). No ponto (5,7,K) devemos colocar um poste, de tal forma que a distância entre esse poste e o chão seja 8. Qual é o valor de K ?
Para calcular a distância entre uma reta e um plano, primeiro temos que verificar que a reta é paralela ao plano (caso a reta corte o plano, a distância entre a reta e o plano é zero). Quando a reta é paralela ao plano, para calcular a distância entre eles primeiro determinamos um ponto A qualquer da reta e, a seguir, calculamos a distância entre esse ponto e o plano. A distância entre A e o plano será a distância entre a reta e o plano.
Verifique que a reta r: é paralela ao plano de equação 4x + y – 11z + 7 = 0. A seguir, determine a distância entre a reta e o plano.
Uma rampa é um plano que passa pelos pontos (3,0,0), (0,0,5) e (0,4,0). Um cano reto passa pelo ponto ((6,7,8) e tem a direção do vetor (-5,8,3). Qual a distância do cano à rampa ?
A reta r tem equação e o plano passa pelos pontos (2,13,3), (5,23,7) e (1,39,9). Qual é a distância entre a reta e o plano ?
Para calcular a distância entre dois planos, primeiro temos que verificar se eles são paralelos. Caso os planos não sejam paralelos, a distância entre eles é zero. Quando eles são paralelos, para calcular a distância entre eles primeiro determinamos um ponto A qualquer de um deles e, a seguir, calculamos a distância entre esse ponto e o outro plano. A distância entre A e o segundo plano será a distância entre os planos.
Para verificar se dois planos são paralelos, calculamos o ângulo entre seus vetores normais. Se o ângulo for 0o ou 180o eles são paralelos. Qualquer outro valor para esse ângulo implica que os planos não são paralelos.
Os planos de equação 2x + 3y + 5z + 7 = 0 e 4x + 3y – 2z – 4 = 0 são paralelos ?
Qual a distância entre os planos de equação 2x + 5y – 7z – 3 = 0 e 4x + 10y – 14z – 3 = 0 ?
O plano passa pelos pontos (2,5,7), (3,2,4) e (1,1,1). O plano contem as retas r e s de equações respectivamenteiguais a e Determine a distância entre esses dois planos.
O plano tem equação 2x + 3y + Kz – 7 = 0 e o plano passa pelos pontos (1,1,1), (2,1,3) e (1,4,2). Determine K de modo que eles sejam paralelos.
2a Parte: Agora, para sua diversão e preparação, problemas diversos. Olha a Avaliação Final aí, gente.
A figura abaixo mostra alguns pontos em um quadriculado. Cada quadradinho tem lado medindo 1 centímetro.
Laurito colocou um sistema cartesiano nessa figura com A sendo a origem, o eixo x na reta AB, sendo B um ponto de abscissa positiva, e o eixo y na reta AC, sendo C um ponto de ordenada positiva. Nesse sistema, qual é a equação da reta DE ? A inclinação desse reta, nesse sistema de coordenadas, é positiva ou negativa ?
Uma circunferência tem centro (2,3) e raio r = 5. Determine as coordenadas dos pontos em que essa circunferência corta cada um dos eixos.
Considere os pontos A(1,1), B(2,3) e C(8,-4). Determine as coordenadas de um ponto D que fique a uma mesma distância de cada um dos três pontos A, B e C. Qual é essa distância comum ? Qual é a equação da circunferência que tem centro D e passa pelo ponto A ?
Três cidades, quando representadas em um mapa, ficam nos pontos de coordenadas A = (2,1), B = (14,3) e C=(11,10). A unidade de medida é o quilômetro. Deseja-se construir um hospital que atenda às três cidades. Um engenheiro sugere a construção no ponto de coordenadas enquanto outro sugere que o hospital fique no ponto de coordenadas (10,6719 , 5,2401). O primeiro engenheiro afirma que o local que ele escolheu é o melhor porque fica a uma mesma distância de cada uma das três cidades, mas o segundo engenheiro afirma que sua escolha reduzirá o custo da construção das estradas que ligarão o hospital a cada uma das três cidades. Qual engenheiro fala a verdade e qual mente ? Onde você construiria o hospital ? Por que ?
Considere as retas r e s de equações respectivamente iguais a e . Seja A o ponto da reta r correspondente a t = 2. Determine:
A equação de uma reta t que passa por A e é paralela à reta s.
A equação de uma reta u que passa por A e é simultaneamente perpendicular às retas r e s.
A equação do plano que contem as retas r e u.
As coordenadas do ponto comum à reta s e ao plano . Chame esse ponto de B.
A equação de uma reta v que passa por B e é paralela à reta u.
As coordenadas do ponto comum às retas r e v. Chame esse ponto de C.
A distância entre os pontos B e C
Em uma peça temos dois fios retos. Um deles une os pontos (1,1,-2) ao ponto (8,12,5) enquanto o segundo une os pontos (9,2 -7) e (2,11,3). A unidade de medida é o centímetro. Esses dois fios se tocam ? Caso eles não se toquem, queremos colocar um pedaço de madeira entre esses fios, sendo que a madeira deve, obrigatoriamente, tocar em cada fio. Qual é o menor tamanho que essa pedaço de madeira pode ter ?
Determine a equação da circunferência de centro (-6,4) e que passa pelo ponto (3,7).
Determine a equação reduzida da circunferência de centro (3,-2) e raio 5.
A circunferência C1 possui centro (11,6) e passa pelo ponto (3,4). Já a circunferência C2 possui centro (4,-1) e também passa pelo ponto (3,4). Determine as coordenadas do outro ponto comum a essas duas circunferências.
A circunferência C1 possui centro (-1,6) e raio . Já a circunferência C2 possui centro (14,9) e seu raio é o dobro do raio de C1. Determine as coordenadas dos pontos comuns a essas duas circunferências.
Considere a reta r que passa pelos pontos (-4,1) e (-2,2) e a circunferência C que possui centro (12,4) e passa pelo ponto (18,2). Determine as coordenadas dos pontos comuns à reta e à circunferência.
Considere a circunferência de centro (5,-2) e que passa pelo ponto (2,2). O ponto P da circunferência está no primeiro quadrante e possui abscissa 9. Determine a equação da reta tangente à circunferência que passa por P. 
Obs.: lembre-se que a reta tangente à circunferência em um ponto P é perpendicular ao raio que une o centro da circunferência ao ponto P.
Considere a circunferência de equação x2 + y2 – 6x + 4y – 12 = 0 e os pontos P(7,A), Q(-1,B) e R(6,C) que estão, respectivamente, no 1o, no 2o e no 4o quadrante. Esses pontos também estão na circunferência. Em cada um desses pontos traçamos uma reta tangente à circunferência. Essas três retas determinam um triângulo. Qual é a área desse triângulo ?
A circunferência C possui equação x2 + y2 – 16x – 12y + 66 = 0. Determine a equação reduzida da reta r que passa pelo centro de C e pelo ponto (2,1).
A circunferência C possui centro (2,3) e é tangente ao eixo das ordenadas. Determine a equação de C.
Considere o triângulo ABC em que A = (1,1), B = (7,9) e C = (14,3). Seja M o ponto médio do lado AB. A circunferência de centro A que passa por M corta AC em P e a circunferência de centro B que passa por M corta BC em Q. Determine a área do triângulo PQC.
Considere o ponto P(13,12) e a circunferência C de equação x2 + y2 – 14x – 8y + 40 = 0. Determine as coordenadas do ponto da circunferência que está mais próximo de P.
Como foi dito em sala de aula, as órbitas dos planetas e demais objetos celestes que orbitam o Sol é uma elipse. Abaixo é dada a excentricidade da órbita de alguns desses corpos. Se você fosse representar essas órbitas em escala, com o eixo maior da órbita em sua maquete medindo 1m, determine a medida do eixo menor e a posição dos focos (na maquete)
Terra excentricidade = 0,02
Mercúrio excentricidade = 0,21
Vênus excentricidade = 0,01
Urano excentricidade = 0,05
Asteróide Ícarus excentricidade = 0,83
Cometa Halley excentricidade = 0,98
Determine a equação da elipse:
Com focos em (2 ,0) e eixo maior de comprimento 10
Com focos em (2 ,0) e eixo menor de comprimento 10
Com focos em (2 ,5) e eixo maior de comprimento 10
Com focos em (2 ,5) e eixo menor de comprimento 10
Com eixos maior e menor medindo, respectivamente, 4 e 3, centro na origem e focos no eixo x.
Com eixos maior e menor medindo, respectivamente, 4 e 3, centro na origem e focos no eixo y.
Com eixos maior e menor medindo, respectivamente, 4 e 3, centro no ponto (2,-4) e focos no eixo x.
Com eixos maior e menor medindo, respectivamente, 4 e 3, centro no ponto (2,-4) e focos no eixo y.
Com focos em (5,0) e excentricidade 2/3
Esboce as elipses abaixo e determine as coordenadas de seus pontos de interseção com os eixos coordenados, quando existirem:
25x2 + 9y2 = 225
2(x+2)2 + (y-1)2 = 2
Considere a elipse 3x2 + 5y2 = 8. Mostre que o ponto (1,1) pertence a essa elipse. Determine o valor de k para que o ponto (k,3) pertença a essa elipse.
Uma escada de 6m de comprimento está verticalmente apoiada em uma parede. Em um degrau a 2/3 da altura total da escada está dormindo um inocente gatinho. O pé da escada começa a escorregar no chão e a escada desce, sempre apoiada na parede, até ficar totalmente no chão, ainda com seu ponto mais alto encostado na parede. O gatinho, dormindo que estava, só acordou quando bateu no chão. Qual é a trajetória seguida pelo assustado gatinho durante a queda ?
Um ponto P da elipse dista 18 de um dos focos. Qual a distância de P ao outro foco ?
Determine as coordenadas dos vértices do quadrado inscrito na elipse 9x2 + 16y2 = 144.
Na elipse 9x2 + 25y2 = 225 inscreve-se um retângulo cujos lados são paralelos aos eixos da elipse. Se a base desse retângulo mede r, qual é a área desse quadrilátero ?
Determine as coordenadas dos pontos de interseção entre a elipse 9x2 + 16y2 = 144 e a reta y = x + 1.
Consultada a Wikipédia, descobri que a distância mínima da Terra ao Sol é 147,1 milhões de km e a máxima é 152,1 milhões de km. Descobri, também, que o Sol pode ser considerado como sendo uma esfera de raio 6,955 x 108 m e que a Terra e uma esfera de raio 6378 km. Inicialmente, determine as medidas de a, b e c da elipse que caracteriza a órbita da Terra. A seguir, suponha que você quer representar todos esses valores em escala, em uma maquete. Considerando que a Terra, na maquete, seráuma esfera de raio 1mm, quais seriam as outras medidas apresentadas ?
Desenhe e determine a equação da hipérbole de
centro (0,0), um foco em (5,0) e passando por (3,0)
centro (0,0), um foco em (0,6) e passando por (0,3)
focos (0,0) e (8,0) passando por (3,0)
centro (5,4), eixo real paralelo ao eixo x, a = 2 e c = 4.
Obtenha a distância focal da hipérbole de equação 9x2 – 16y2 = 144
Construa, em um mesmo plano cartesiano, as hipérboles x2 – y2 = 1 e y2 – x2 = 1.
Considere a hipérbole 9x2 – 16y2 = -144. Determine a equação de uma elipse que tem por extremos os focos dessa hipérbole e cuja excentricidade é o inverso da excentricidade da hipérbole.
Determine as coordenadas dos focos e a excentricidade da hipérbole de equação .
Determine os vértices, os focos e o desenho no plano da hipérbole de equação
y2 – x2 = 4
9x2 – 4y2 = 36
4x2 – y2 – 24x – 4y + 28 = 0
Identifique se a equação dada representa uma elipse ou uma hipérbole. Represente essa curva no plano cartesiano e determine as coordenadas de seus vértices e focos.
x2 + 2y2 = 1
x2 = 1 + 2y2
x2 = 4 - 3y2
Encontre uma equação para a cônica que satisfaz as condições dadas:
Elipse, focos (2,0), vértices (5,0)
Elipse, focos (0,), vértices (0,)
Elipse, focos (0,2) e (0,6) e um vértice na origem
Elipse, focos (4,0) e passando por (-4 , 9/5)
Hipérbole, focos (,0), vértices (5,0)
Hipérbole, vértices (3,0) e assíntotas y = 2x.
Hipérbole, um foco em (2,0) e assíntotas y = 3+x/2 e y = 5 – x/2
Em uma órbita lunar, o ponto mais próximo da superfície da Lua é chamado de perilúnio e o ponto mais distante da superfície lunar é chamado de apolúnio. A nave espacial Apolo 11 foi colocada em uma órbita lunar elíptica com o centro da lua em um dos focos. O perilúnio era de 110km e o apolunio de 314km (altitude em relação à superfície da Lua). Sabendo que o raio da Lua é de 1728km, determine a excentricidade dessa órbita. A figura abaixo ilustra essa órbita.
Uma elipse E e uma hipérbole H possuem os mesmos focos (5,0). E excentricidade da elipse é 0,3 e a da hipérbole é 2. Determine as coordenadas dos pontos comuns a essas duas curvas.
Uma elipse possui as extremidades do eixo maior nos pontos (10,0) e passa pelo ponto (5,2). Determine sua excentricidade.
Considere a elipse 400x2 + 81y2 = 32400. Determine os valores de “a”, “b” e “c” dessa elipse e esboce seu gráfico. Em seu esboço devem constar os focos dessa curva.
Considere a elipse . Chamaremos de F1 ao foco dessa elipse com abscissa positiva e P é um ponto dessa elipse, do primeiro quadrante, com abscissa 3. Seja r a reta vertical de equação x = 50/3. Determine a excentricidade dessa elipse. Chamando de d1 a distância entre P e F1 e chamando de d2 a distância entre P e r, determine o que é maior: a razão d1/d2 ou a excentricidade da elipse. Refaça esse exercício considerando que P é um ponto dessa elipse, no quarto quadrante, com ordenada 3.
Considere a hipérbole . A e B são dois pontos dessa curva, com A no primeiro quadrante e B no quarto quadrante, tais que o segmento AB é perpendicular ao eixo x e mede 20. Determine as coordenadas de A e de B.
Considere a curva 25x2 + 36y2 = 1000 e o ponto P(2,-5) que pertence a essa curva.
Identifique essa curva, classificando-a como elipse, hipérbole ou parábola.
Determine as coordenadas do(s) focos(s) dessa curva.
Determine a equação da reta que passa pelo ponto P e pelo foco que está mais próximo a ele.
Determine a distância do ponto P a cada um dos focos desse curva
Considere a curva 81x2 – 64y2 = 11664 e o ponto P(-20,18), que pertence a essa curva.
Determine a excentricidade dessa curva.
Determine a equação da assíntota dessa curva que passa próxima ao ponto P.
Determine a distância do ponto P a cada um dos focos desse curva
Uma elipse possui focos nos pontos (3,2) e (9,2). Sabendo que os pontos P(8,5) e Q(7,K), com K negativo, pertencem a essa curva, determine o valor de K.
Considere uma parábola de foco F, diretriz r e parâmetro p. Traçando uma reta perpendicular ao eixo de simetria, ela corta a parábola em dois pontos: A e B. Qual é a medida do segmento AB ?
Uma parábola possui vértice no ponto V(3,2) e diretriz na reta r de equação 3x + 5y + 7 = 0. Determine:
A equação do eixo de simetria da parábola
O parâmetro dessa curva
As coordenadas do foco
A figura abaixo mostra um mapa no qual estão representadas duas cidades A e B e uma estrada reta. Deseja-se construir uma caixa d´água que seja equidistante da cidade A e da estrada. Além disso, a caixa d´água tem que ser o mais próximo possível da cidade B. Onde deve ser colocada a caixa d´água ?
Considere a elipse de equação e a reta de equação x = . 
Represente essa elipse e essa reta em um mesmo plano cartesiano
Chame de F ao foco da elipse que está mais próximo da reta. Quais são as coordenadas de F ?
Considere os vértices da elipse. Qual é a razão entre a distância de cada vértice até F e a distância desse mesmo vértice até a reta ?
Determine as coordenadas de um outro ponto P qualquer da elipse. Determine a razão entre a distância de P até F até a distância de P até a reta.
Qual é a excentricidade da elipse ?
Represente em um mesmo plano cartesiano a parábola de equação y = x2 e a reta que passa pelos pontos (-2,1) e (4,8). Sejam A e B os pontos comuns à reta e à parábola. Seja C o ponto médio do segmento AB e, finalmente, seja D um ponto na parábola com a mesma abscissa do ponto C. Determine a equação da reta r que passa por D e é paralela à reta AB. Represente essa reta em sua figura. 
Considere a reta r de equação 2x + 3y = 5 e o ponto C de coordenadas (6,7). Determine as coordenadas de dois pontos A e B nessa reta tais que o triângulo ABC seja equilátero. 
Considere os pontos A(1,2,3), B(5,-2,7), C(-3,-4,5) e D(-2,1,4). Sejam M, N, P e Q, respectivamente, os pontos médios dos segmentos AB, BC, CD e DA. As retas MP e NQ são paralelas ? Caso sejam, qual é sua distância ?
A figura abaixo mostra uma elipse representada no plano cartesiano. 
Determine:
as coordenadas dos extremos do eixo maior 
as coordenadas dos extremos do eixo menor
a medida do eixo maior 
a medida do eixo menor
as coordenadas do centro da elipse
a excentricidade dessa curva
a distância entre os focos da elipse
as coordenadas dos focos
represente, na figura acima, os focos dessa elipse
Uma elipse possui centro no ponto (3,2), um de seus focos é o ponto (9,12) e seu eixo menor mede 8. Determine 
As coordenadas do outro foco
A medida do eixo maior dessa elipse
As coordenadas dos extremos do eixo maior
As coordenadas dos extremos do eixo menor
Considere as elipses E1 : e E2: .
Determine o valor de a2 e b2 na elipse E1.
A elipse E1 possui eixo maior horizontal ou vertical ?
Determine o valor de a2 e b2 na elipse E2.
A elipse E2 possui eixo maior horizontal ou vertical ?
Qual é o centro da elipse E1 ?
Qual é o centro da elipse E2 ?
Considere a elipse 
Quais são as coordenadas do centro dessa elipse ?
Quais são os valores de a e b ?
O eixo maior é horizontal ou vertical ?
Determine a equação dessa curva.
Represente no plano cartesiano as curvas cujas equações são dadas abaixo (faça um plano cartesiano para cada item)
x2 + (y – 4)2 = 25
2x + 3y + 5 = 0
x2 + y2 + 2x + 3y + 5 = 0
Uma pirâmide tem uma base quadrada. O vértice V dessa pirâmide é o ponto de coordenadas (4,6,7) e sua base é o quadrado ABCD com esses pontos tendo coordenadas respectivamente iguais a (0,0,0), (10,0,0), (10,10,0) e (0,10,0). Uma reta r liga os pontos (5,0,1) e (2,10,3). Determine:
A área da lateral da pirâmide
As coordenadas dos pontos em que a reta r corta as faces da pirâmide.
A medida do segmento da reta r que está no interior da pirâmide.
Uma parábola tem equação y = 5x2 + 15. Os pontos A(-7,a), B(0,b) e C(5,c) estão nessa curva. Determine a área do triângulo ABC
Considere a parábola com vértice (0,100) e que passa pelo ponto (200,300). Determine a equação dessa curva.Um túnel tem a forma de uma parábola. Esse túnel tem uma altura máxima de 10m e sua largura, na pista de rodagem, é de 6m. É possível um caminhão de 3m de largura e 4 m de altura passar nesse túnel ?
Uma criança está a 30m do gol quando chuta a bola. A trajetória da bola é uma linda parábola. A bola entraria dentro do gol passando a 1,5m do chão, mas a quadra tinha um teto e a bola bateu nele 10m à frente do desiludido menino. Qual é a altura do teto da quadra ?
3a Parte – Desafios !!!
Considere a reta r de equação e o ponto P(6,6,6). Determine dois pontos A e B em r tais que o triângulo ABC seja equilátero.
Considere os vetores u = (2,5,7) e v = (3,4,9). Determine um vetor w tais que os três vetores u, v e w fiquem em um mesmo plano, mas w deve ser perpendicular a u.
Uma bomba inimiga está caindo seguindo a reta onde a unidade utilizada é o quilômetro e t é o tempo, medido em segundos. O alvo dessa bomba está no ponto de cota zero. Como você pode perceber, agora, que é o instante t = 0, a bomba está no ponto (5,6,8). Você está em uma base no ponto (10,10,0) e pode lançar um foguete em linha reta de tal forma que a equação da reta seguida por seu foguete é dada pela equação , em que (a,b,c) é um vetor qualquer de módulo 10. 
onde está o alvo da bomba inimiga
quais devem ser os valores de a, b e c para que seu foguete atinja a bomba inimiga ?
quando seu foguete intercepta a bomba inimiga e a que distância do alvo esse encontro ocorre ?
A figura abaixo mostra as coordenadas de três vértices de um sólido. As faces desse sólido são seis triângulos eqüiláteros iguais. 
Quais são as coordenadas dos outros três vértices ?
A figura abaixo mostra um cubo de lado 10cm. 
Determine a área e o perímetro do triângulo ABC.
Observe a figura abaixo
Ela mostra um plano que passa pelos pontos A(10,0,0), B(0,8,0) e C(0,0,6) e o ponto P (15,15,15). A reta PQ é perpendicular ao plano, sendo que o ponto M (ponto de interseção entre a reta e o plano) é o ponto médio do segmento PQ. Determine as coordenadas do ponto Q.
Considere os pontos A = (6,17), B = (3,5) e C = (12,11).
Represente o triângulo ABC no plano cartesiano.
Sejam M, N e P, respectivamente, os pontos médios de AB, AC e BC. Determine as coordenadas desses pontos.
Determine as medidas das três medianas desse triângulo
Determine as coordenadas do ponto G, baricentro desse triângulo.
Determine a inclinação das retas AB, AC e BC
Determine a equação de uma reta r que passa por A e é perpendicular à reta BC.
Determine a equação de uma reta s que passa por B e é perpendicular à reta AC.
Determine as coordenadas do ponto T que é comum às retas r e s. 
Qual é o nome desse ponto T ?
Determine a equação da reta t que passa por M e é perpendicular a AB.
Qual é o nome dessa reta t ?
Determine a equação da reta v que passa por N e é perpendicular a AC.
Qual é o nome dessa reta v ?
Determine as coordenadas do ponto W que é comum às retas t e v.
Determine a distância de W a cada um dos pontos A, B e C.
Qual é o nome desse ponto W ?
Qual é a equação da circunferência de centro W que passa por A ?
Os pontos B e C estão nessa circunferência ? Justifique.
Os pontos G, T e W estão alinhados ?
Qual é a distância de G a T ? E de G a W ? Existe alguma relação entre essas duas distâncias ?
Determine a medida dos três ângulos internos desse triângulo.
Várias pessoas pensam que tudo o que sabemos sobre Geometria foi criado na Antiguidade Clássica e que nenhuma nova descoberta foi feita desde então. Esse pensamento é completamente errado. Na primeira metade do século XIX, Karl W. Feuerbach, Charles Brianchon e Jean-Victor Poncelet, de modo independente, descobriram uma propriedade dos triângulos que foi chamada de o círculo dos seis pontos. 
Essa propriedade diz que em um triângulo ABC qualquer, sejam D, E e F os pontos médios dos lados e sejam G, H e I os pés das alturas. Existe uma única circunferência que passa por esses seis pontos. Essa propriedade está ilustrada na figura abaixo:
Observe na figura acima que O é o ortocentro do triângulo e S é o centro da circunferência dos seis pontos.
Pouco tempo após essa descoberta, Olry Terquem descobriu mais uma característica dessa circunferência. Observe na figura acima os segmentos AO, BO e CO, que ligam o ortocentro a cada um dos vértices do triângulo. Terquem descobriu que a circunferência dos seis pontos corta esses segmentos em seus pontos médios. 
Observe a figura
Nessa figura temos um triângulo ABC, D, E e F são os pontos médios dos lados, G, H e I são os pés das alturas, P, Q e R são os pontos médios dos segmentos que unem o ortocentro aos vértices. Existe uma única circunferência que passa por esses nove pontos, vindo dessa propriedade seu nome atual.
1ª parte: Considere que, na figura acima, o triângulo ABC possui vértices de coordenadas 
A = (0,0), B = (2b,2c) e C = (2a,0).
Mostre que D = (a,0), E = (a+b , c) e F = (b,c)
Afirmo que S = . Calcule a distância de S até cada um dos pontos D, E e F e verifique que elas são iguais. Feito isso, você terá provado que os pontos D, E e F estão em uma mesma circunferência de centro S.
Afirmo que I = , G = e H = . Mostre que são perpendiculares os segmentos AB e CH, BC e AG e AC e BI. 
Mostre que estão alinhados os trios de pontos (A, H , B), (B , G , C) e (A , I, C).
Os dois itens acima comprovam que G, H e I são os pés das alturas. 
Calcule a distância de S a cada um dos pontos G, H e I. Conclua que esses três pontos estão no circulo de nove pontos.
Determine as coordenadas dos pontos P, Q e R.
Determine a distância de S a cada um dos pontos P, Q e R e conclua que esses três pontos também estão no círculo de nove pontos.
2ª parte: Existem várias outras propriedades interessantes do círculo de nove pontos. Procure por essas propriedades na internet e tente demonstrar ao menos uma delas. 
Por esse semestre é só, pessoal. Façam tudo que não precisarão fazer mais Geometria Analítica e Álgebra Linear no semestre que vem.