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PRODUTOS NOTÁVEIS www.matematicapura.com.br PRODUTOS NOTÁVEIS PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA: (a+b).(a+b) = a²+ab+ab+b² = a²+2ab+b² (a-b).(a-b) = a²-ab-ab+b² = a²-2ab+b² (a+b+c).(a+b+c)=a²+ab+ac+ab+b²+bc+ac+bc+c² Somando os termos semelhantes: a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac Notem que na propriedade distributiva: multiplicam-se todos os termos (não se esquecendo das regras dos sinais) e somamos os termos semelhantes. A fim de economizar tempo e não ter de multiplicar termo a termo utiliza-se os produtos notáveis. PRODUTOS NOTÁVEIS: São aqueles produtos que são frequentemente usados e para evitar a multiplicação de termo a termo, existem algumas fórmulas que convém serem memorizadas. QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS (a+b)² = a² + b² + 2ab EXEMPLO: (3+4)²=3²+4²+2×3×4 QUADRADO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS (a-b)² = a² + b² - 2ab EXEMPLO: (7-5)²=7²+5²-2×7×5 DIFERENÇA DE POTÊNCIAS (ORDEM 2) a² - b² = (a+b)(a-b) EXEMPLO: 7²-5²=(7+5)(7-5) CUBO DA SOMA DE DOIS TERMOS (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ EXEMPLO: (4+5)³=4³+3×4²×5+3×4×5²+5³ CUBO DA SOMA DE DOIS TERMOS NA FORMA SIMPLIFICADA (a+b)³ = a(a-3b)² + b(b-3a)² PRODUTOS NOTÁVEIS www.matematicapura.com.br EXEMPLO: (4+5)³=4(4-3×5)²+5(5-3×4)² CUBO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS (a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ EXEMPLO: (4-5)³=4³-3×4²×5+3×4×5²-5³ IDENTIDADE DE FIBONACCI (a²+b²)(p²+q²) = (ap-bq)²+(aq+bp)² EXEMPLO:(1²+3²)(5²+7²)=(1×5-3×7)²+(1×7+3×5)² IDENTIDADE DE PLATÃO (a²+b²)² = (a²-b²)²+(2ab)² Exemplo: (3²+8²)²=(3²-8²)²+(2×3×8)² IDENTIDADE DE LAGRANGE (4 TERMOS) (a²+b²)(p²+q²)-(ap+bq)² = (aq-bp)² EXEMPLO: (9²+7²)(5²+3²)-(9×5+7×3)²=(9×3-7×5)² IDENTIDADE DE LAGRANGE (6 TERMOS) (a²+b²+c²)(p²+q²+r²) - (ap+bq+cr)² = (aq-bp)² + (ar-cp)² + (br-cq)² EXEMPLO: (1²+3²+5²)(7²+8²+9²)-(1×7+3×8+5×9)² =(1×8-3×7)²+(1×9-5×7)²+(3×9-5×8)² IDENTIDADE DE CAUCHY (N=3) (a+b)³ - a³ - b³ = 3ab(a+b) EXEMPLO: (2+7)³-2³-7³=3×2×7×(2+7) IDENTIDADE DE CAUCHY (N=5) (a+b)5 - a5 - b5 = 5ab(a+b)(a²+ab+b²) EXEMPLO: (1+2)5-15-25=5×1×2×(1+2)(1²+1×2+2²) PRODUTOS NOTÁVEIS www.matematicapura.com.br QUADRADO DA SOMA DE N TERMOS sendo que i<j. EXEMPLOS: (a+b)²=a²+b²+2(ab) (a+b+c)²=a²+b²+c²+2(ab+ac+bc) (a+b+c+d)²=a²+b²+c²+d²+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd) CUBO DA SOMA DE N TERMOS sendo que i<j e i<j<k. DIFERENÇA ENTRE OS QUADRADOS DA SOMA E DIFERENÇA (a+b)² - (a-b)² = 4ab EXEMPLO: (7+9)²-(7-9)²=4×7×9 SOMA DOS QUADRADOS DA SOMA E DA DIFERENÇA (a+b)² + (a-b)² = 2(a²+b²) EXEMPLO: (3+5)²+(3-5)²=2(3²+5²) SOMA DE DOIS CUBOS a³+b³ = (a+b)³ - 3ab(a+b) EXEMPLO: 2³+4³=(2+4)³-3×2×4×(2+4) SOMA DE DOIS CUBOS NA FORMA FATORADA a³+b³ = (a+b)(a²-ab+b²) PRODUTOS NOTÁVEIS www.matematicapura.com.br EXEMPLO: 5³+7³=(5+7) (5²-5×7+7²) TRANSFORMAÇÃO DO PRODUTO NA DIFERENÇA DE QUADRADOS ab = [½(a+b)]² - [½(a-b)]² EXEMPLO: 3×5=[½(3+5)]²-[½(3-5)]² DIFERENÇA DE POTÊNCIAS (ORDEM 4) a4-b4 = (a-b)(a+b)(a²+b²) EXEMPLO: 54-14=(5-1)(5+1)(5²+1²) DIFERENÇA DE POTÊNCIAS (ORDEM 6) a6-b6 = (a-b)(a+b)(a²+ab+b²)(a²-ab+b²) EXEMPLO: 56-16=(5-1)(5+1) (5²+5×1+1²)(5²-5×1+1²) DIFERENÇA DE POTÊNCIAS (ORDEM 8) a8 - b8 = (a-b)(a+b)(a²+b²)(a4+b4) EXEMPLO: 58-18=(5-1)(5+1)(5²+1²)(54+14) PRODUTO DE TRÊS DIFERENÇAS (a-b)(a-c)(b-c) = ab(a-c) + bc(b-c) + ca(c-a) EXEMPLO: (1-3)(1-5)(3-5)=1×3×(1-5)+3×5×(3-5)+5×1×(5-1) PRODUTO DE TRÊS SOMAS (a+b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ac) - abc EXEMPLO: (1+3)(3+5)(5+1)=(1+3+5)(1×3+3×5+1×5)-1×3×5 SOMA DE CUBOS DAS DIFERENÇAS DE TRÊS TERMOS (a-b)³ + (b-c)³ + (c-a)³ = 3(a-b)(b-c)(c-a) EXEMPLO: (1-3)³+(3-5)³+(5-1)³=3(1-3)(3-5)(5-1) CUBO DA SOMA DE TRÊS TERMOS (a+b+c)³ = (a+b-c)³ + (b+c-a)³ + (a+c-b)³ + 24abc PRODUTOS NOTÁVEIS www.matematicapura.com.br EXEMPLO: (7+8+9)³=(7+8-9)³+(8+9-7)³+(7+9-8)³+24×7×8×9 SOMA NULA DE PRODUTOS DE CUBOS POR DIFERENÇAS a³(b-c)+b³(c-a)+c³(a-b)+(a+b+c)(a-b)(b-c)(a-c)=0 EXEMPLO: 2³(4-6)+4³(6-2)+6³(2-4)+(2+4+6)(2-4)(4-6)(2-6)=0 SOMA DE PRODUTOS DE CUBOS COM DIFERENÇAS a³(b-c)³ + b³(c-a)³ + c³(a-b)³ = 3abc(a-b)(b-c)(a-c) Exemplo: 7³(8-9)³+8³(9-7)³+9³(7-8)³=3.7.8.9(7-8)(8-9)(7-9) PRODUTO DE DOIS FATORES HOMOGÊNEOS DE GRAU DOIS (a²+ab+b²) (a²-ab+b²)=a4+a² b²+b4 EXEMPLO: (5²+5×7+7²)(5²-5×7+7²)=54+5² 7²+74 SOMA DE QUADRADOS DE SOMAS DE DOIS TERMOS (a+b)²+(b+c)²+(a+c)²=(a+b+c)²+a²+b²+c² EXEMPLO: (1+3)²+(3+5)²+(1+5)²=(1+3+5)²+1²+3²+5² PRODUTO DE QUADRADOS DE FATORES ESPECIAIS (a-b)² (a+b)² (a²+b²)²=(a4-b4)² EXEMPLO: (7-3)² (7+3)² (7²+3²)²=(74-34)² SOMA DE QUADRADOS DE EXPRESS. HOMOGÊNEAS DE GRAU 1 (a+b+c)²+(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=3(a²+b²+c²) EXEMPLO: (7+8+9)²+(7-8)²+(8-9)²+(9-7)²=3(7²+8²+9²) IDENTIDADE DE INTERPOLAÇÃO PRODUTOS NOTÁVEIS www.matematicapura.com.br EXEMPLO: Com a=1, b=2 e c=3 na identidade, obtemos: NÃO FREQÜENTEMENTE USADAS:
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