Demonstração da equação do calor

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DEMONSTRAÇÃO DA EQUAÇÃO DO
CALOR EM 3D
Henrique Santos Lima
2017
Precisamos utilizar o Teorema da Divergência para a demonstração , logo precisamos
saber que
∫∫
Ω
~f · nˆdA =
∫∫∫
V
∇ · ~fdV onde Ω é a superfície onde se dá o fluxo e V é o
volume desse sólido.
Para demonstrarmos essa equação é preciso saber que supomos que não há troca de
calor com um meio externo.
Para começarmos devemos nos lembar da lei de Fourier que nos diz que a intensidade
de energia térmica através do processo de condução é proporcional ao gradiente de tem-
peratura,portanto: Ix = −k∂T
∂x
assim como Iy = −k∂T
∂y
e obviamente para o caso 3D
,Iz = −k∂T
∂z
. Assim concluímos pela 1
a
lei da Termodinâmica que dU = dQ, pois não
há realização de trabalho. Então a quantidade de calor por unidade de tempo é propor-
cional à área A e ao gradiente de temperatura. Supondo um sólido qualquer,chamando
qxi = −k
∂T
∂xi
onde para o caso 3D i vai de 1 à 3 salientando que x1 = x , x2 = y , x3 = z
Quando o fluxo entra neste sólido em ambos os lados , podemos considerar um volume
infinitesimal dV tal que dV seja um pequeno paralelepípedo,logo quando entra um qxi na
face paralela a esta sai um qxi+∆xi além de haver uma energia sendo dissipada por unidade
de volume que chamados de fxi .
Somando escalarmente todas essas energias por unidade de tempo ficamos com:
qx + qy + qz + (fx + fy + fz)dV =
dQ
dt
+ qx+∆x + qy+∆y + qz+∆z donde tiramos,
qx+∆x− qx + qy+∆y− qy + qz+∆z− qz−frdV +ρc∂T
∂t
dV = 0 onde ρc
∂T
∂t
dV =
dQ
dt
,portanto,
qx+∆x − qx + qy+∆y − qy + qz+∆z − qz − frdV + ρc∂T
∂t
dV =
−k
[(
∂T
∂x
|x+∆x − ∂T
∂x
|x
)
dydz +
(
∂T
∂y
|y+∆y − ∂T
∂y
|y
)
dxdz +
(
∂T
∂z
|z+∆z − ∂T
∂z
|z
)
dxdy
]
−
frdV + ρc
∂T
∂t
= 0 Podemos afirmar que ,
1
[(
∂T
∂x
|x+∆x − ∂T
∂x
|x
)
dydz +
(
∂T
∂y
|y+∆y − ∂T
∂y
|y
)
dxdz +
(
∂T
∂z
|z+∆z − ∂T
∂z
|z
)
dxdy
]
=
∇T · nˆdA se determinarmos a região de integração como sendo Ω,então,∫∫
Ω
−k∇T · nˆdA−
∫∫∫
V
frdV +
∫∫∫
V
ρc
∂T
∂t
= 0.
Pelo teorema da divergência,∫∫
Ω
−k∇T · nˆdA =
∫∫∫
V
−k∇ · ∇TdV =
∫∫∫
V
−k∆TdV , logo ,∫∫∫
V
(
−k∆T − fr + ρc∂T
∂t
)
dV = 0,portanto,
−k∆T + ρc∂T
∂t
= fr =⇒ a2∆T − ∂T
∂t
= fr. Onde a
2 =
k
ρc
sabendo que fr pode depender
de x, y , z e t,ou seja ,fr = fr(x, y, z, t) = fr(~r, t).
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