aula03 taylor

Prévia do material em texto

Ca´lculo Nume´rico
Polinoˆmios de Taylor
Heder S. Bernardino
Heder S. Bernardino Ca´lculo Nume´rico
Suma´rio
1 Aula Anterior
2 Teorema de Taylor
3 Estimativa do erro
4 Exemplos
5 Aproximac¸a˜o de Derivada
6 Revisa˜o
Heder S. Bernardino Ca´lculo Nume´rico
Aula Anterior
Aula Anterior
Heder S. Bernardino Ca´lculo Nume´rico
Aula Anterior
Informac¸o˜es Gerais
◮ Site da disciplina
◮ http://sites.google.com/site/calcnumufjf
◮ Material
◮ Listas de exerc´ıcios
Heder S. Bernardino Ca´lculo Nume´rico
Aula Anterior
Revisa˜o
◮ O Polinoˆmio de Taylor de grau n para f(x) em torno de x0 pode ser
definido como
Pn(x) =
n∑
k=0
f (k)(x0)
(x− x0)k
k!
◮ Os Polinoˆmios de Taylor foram definidos de modo que
f (k)(x0) = P
(k)
n (x0), 0 ≤ k ≤ n
◮ Para determinar Pn(x) apenas os valores da func¸a˜o a ser aproximada
e de suas derivadas no ponto x0 sa˜o necessa´rios
◮ O conhecimento das expresso˜es anal´ıticas na˜o e´ requerido
Heder S. Bernardino Ca´lculo Nume´rico
Aula Anterior
Revisa˜o
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
x
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
y
sen(x)
P_1(x)
P_3(x)
P_5(x)
Heder S. Bernardino Ca´lculo Nume´rico
Teorema de Taylor
Teorema de Taylor
Heder S. Bernardino Ca´lculo Nume´rico
Teorema de Taylor
Teorema de Taylor
Teorema de Taylor
Suponha que as derivadas f (1), . . . , f (n+1) estejam definidas e sejam
cont´ınuas num intervalo [x0, x], enta˜o tem-se que
f(x) = Pn(x) +Rn(x)
onde
Pn(x) =
n∑
k=0
f (k)(x0)
(x− x0)k
k!
Rn(x) =
∫ x
x0
f (n+1)(t)
(x− t)n
n!
dt
Heder S. Bernardino Ca´lculo Nume´rico
Teorema de Taylor
Teorema de Taylor
◮ Sera˜o utilizados durante a demonstrac¸a˜o do teorema:
1. Integrac¸a˜o por partes
∫
b
a
u dv = uv
∣∣∣b
a
−
∫
b
a
v du
2. Teorema Fundamental do Ca´lculo
Seja f uma func¸a˜o cont´ınua de valores reais, definida em um intervalo
[a, b] e F e´ uma anti-derivada de f em [a,b], isto e´, f(x) = F ′(x),
enta˜o ∫
b
a
f(x) dx = F (b)− F (a)
Heder S. Bernardino Ca´lculo Nume´rico
Teorema de Taylor
Teorema de Taylor – Demonstrac¸a˜o
Demonstrac¸a˜o:
◮ Para n = 0 tem-se que
f(x) = P0(x) +R0(x)
= f(x0) +R0(x)
◮ Pelo Teorema Fundamental do Ca´lculo, enta˜o
R0(x) = f(x)− f(x0) =
∫ x
x0
f ′(t) dt
◮ Logo,
f(x) = f(x0) +
∫ x
x0
f ′(t) dt
Heder S. Bernardino Ca´lculo Nume´rico
Teorema de Taylor
Teorema de Taylor – Demonstrac¸a˜o
◮ Definindo
u = f ′(t) ⇒ du = f ′′(t)dt
dv = 1dt ⇐ v = t− x
◮ e aplicando integrac¸a˜o por partes no termo da integral, obte´m-se∫ x
x0
f ′(t) dt = f ′(t)(t− x)
∣∣∣∣∣
x
x0
−
∫ x
x0
f ′′(t)(t− x) dt
=
[
f ′(x)(x− x)− f ′(x0)(x0 − x)
]−
∫ x
x0
f ′′(t)(t− x) dt
= −f ′(x0)(x0 − x)−
∫ x
x0
f ′′(t)(t− x) dt
= f ′(x0)(x− x0) +
∫ x
x0
f ′′(t)(x− t) dt
Heder S. Bernardino Ca´lculo Nume´rico
Teorema de Taylor
Teorema de Taylor – Demonstrac¸a˜o
◮ Sabendo que∫ x
x0
f ′(t) dt = f ′(x0)(x− x0) +
∫ x
x0
f ′′(t)(x− t) dt
e
f(x) = f(x0) +
∫ x
x0
f ′(t) dt
◮ enta˜o
f(x) = f(x0) + f
′(x0)(x− x0) +
∫ x
x0
f ′′(t)(x− t) dt
= P1(x) +R1(x)
Heder S. Bernardino Ca´lculo Nume´rico
Teorema de Taylor
Teorema de Taylor – Demonstrac¸a˜o
◮ Escolhendo
u = f ′′(t) ⇒ du = f ′′′(t)dt
dv = (x− t)dt ⇐ v = −(x− t)
2
2
◮ e utilizando-se integrac¸a˜o por partes novamente no termo com a
integral, enta˜o∫ x
x0
f ′′(t)(x− t) dt = −f ′′(t)(x− t)
2
2
∣∣∣∣∣
x
x0
+
∫ x
x0
f ′′′(t)
(x− t)2
2
dt
= f ′′(x0)
(x− x0)2
2
+
∫ x
x0
f ′′′(t)
(x− t)2
2
dt
Heder S. Bernardino Ca´lculo Nume´rico
Teorema de Taylor
Teorema de Taylor – Demonstrac¸a˜o
◮ Sabendo que∫ x
x0
f ′′(t)(x− t) dt = f ′′(x0)(x− x0)
2
2
+
∫ x
x0
f ′′′(t)
(x− t)2
2
dt
e
f(x) = f(x0) + f
′(x0)(x− x0) +
∫ x
x0
f ′′(t)(x− t) dt
◮ enta˜o
f(x) = f(x0) + f
′(x0)(x− x0) + f ′′(x0) (x−x0)
2
2 +
∫ x
x0
f ′′′(t) (x−t)
2
2 dt
= P2(x) +R2(x)
Heder S. Bernardino Ca´lculo Nume´rico
Teorema de Taylor
Teorema de Taylor – Demonstrac¸a˜o
◮ Assumindo que o teorema e´ va´lido para n− 1, ou seja,
f(x) = Pn−1(x) +Rn−1(x)
Pn−1(x) =
n−1∑
k=0
f (k)(x0)
(x− x0)k
k!
Rn−1(x) =
∫ x
x0
f (n)(t)
(x− t)(n−1)
(n− 1)! dt
◮ Por hipo´tese do teorema, f (n+1) e´ cont´ınua em [x0,x], de modo que∫ x
x0
f (n)(t) (x−t)
n−1
(n−1)! dt = f
(n)(t) (x−x0)
n
n! +
∫ x
x0
f (n+1)(t) (x−t)
n
n! dt
Heder S. Bernardino Ca´lculo Nume´rico
Teorema de Taylor
Teorema de Taylor – Demonstrac¸a˜o
◮ Logo,
f(x) = Pn−1(x) +Rn−1(x)
= Pn−1(x) + f
(n)(t) (x−x0)
n
n! +
∫ x
x0
f (n+1)(t) (x−t)
n
n! dt
= Pn(x) +
∫ x
x0
f (n+1)(t) (x−t)
n
n! dt
= Pn(x) +Rn(x)
Heder S. Bernardino Ca´lculo Nume´rico
Estimativa do erro
Estimativa do erro
Heder S. Bernardino Ca´lculo Nume´rico
Estimativa do erro
Estimativa do erro
◮ As seguintes expresso˜es para o erro sa˜o tambe´m va´lidas:
1. Forma de Cauchy
Rn(x) = f
(n+1)(t)
(x− t)n
n!
(x− x0), t ∈ (x0,x)
2. Forma de Lagrange
Rn(x) = f
(n+1)(t)
(x− x0)(n+1)
(n+ 1)!
, t ∈ (x0,x)
◮ Essas expresso˜es sa˜o muito u´teis para se obter estimativas para o erro
de uma aproximac¸a˜o utilizando Polinoˆmios de Taylor
Heder S. Bernardino Ca´lculo Nume´rico
Estimativa do erro
Estimativa do erro
◮ A forma do erro de Lagrange, dada por
Rn(x) = f
(n+1)(t)
(x− x0)(n+1)
(n+ 1)!
e´ muito parecida com o termo n+ 1 do Polinoˆmio de Taylor
◮ A diferenc¸a e´ o valor t na fo´rmula
◮ t e´ algum valor no intervalo [x0;x]
◮ Para estimar o erro, e´ comum utilizar o maior valor que f (n+1)(t)
pode assumir para t ∈ [x0, x] ou um outro limitante superior
◮ Por exemplo, nota-se que
|Rn(x)| ≤ |x− x0|
(n+1)
(n+ 1)!
max
t∈[x0,x]
∣∣∣f (n+1)(t)∣∣∣
Heder S. Bernardino Ca´lculo Nume´rico
Exemplos
Exemplos
Heder S. Bernardino Ca´lculo Nume´rico
Exemplos
Exemplos
◮ Exemplo 1
Obtenha um limitante superior para o erro ao aproximar e0,5 por um
Polinoˆmio de Taylor de grau 4 para ex em torno do ponto 0.
Adote
√
e ≤ 2 quando necessa´rio.
◮ Soluc¸a˜o:
|R4(0,5)| ≤ e
0,50,55
120
≤ 20,5
5
120
= 0,00052
Heder S. Bernardino Ca´lculo Nume´rico
Exemplos
Exemplos
◮ Obteva-se nesse exemplo que
|R4(0,5)| ≤ 0,00052
◮ Na aula anterior, determinou-se que
Pn(x) =
n∑
k=0
xn
n!
⇒ P4(x) = 1 + x+ x
2
2
+
x3
6
+
x4
24
◮ E, portanto,
e0,5 ≈ P4(0,5) = 1 + 0,5 + 0,5
2
2
+
0,53
6
+
0,54
24
= 1,6484
◮ Sabendo que e0,5 = 1,6487 enta˜o nota-se que
|1,6487− 1,6484| = 0,0003 ≤ 0,00052, ou seja, confirma-se que erro
da aproximac¸a˜o e´ inferior ao limite obtido
Heder S. Bernardino Ca´lculo Nume´rico
Exemplos
Exemplos
◮ Exemplo 2
Seja f(x) = sen(x). Obtenha um limitante superior para o erro ao
calcular uma aproximac¸a˜o para f(pi4 ) com um Polinoˆmio de Taylor
cu´bico em torno do ponto x0 = 0.
Adote sen(x) ≤ 1 quando necessa´rio.
◮ Soluc¸a˜o: ∣∣∣R3 (pi
4
)∣∣∣ ≤ 0,015854
Heder S. Bernardino Ca´lculo Nume´rico
Exemplos
Exemplos
◮ Obteve-se nesse exemplo que∣∣∣R3 (pi
4
)∣∣∣ ≤ 0,015854
◮ Na aula anterior, determinou-se que
P3(x) = x− x
3
6
◮ E, portanto,
sen(pi4 ) ≈ P3(pi4 ) =
pi
4
−
(
pi
4
)3
6
= 0,7046
◮ Sabendo que sen(pi4 ) =
√
2
2 = 0,7071 enta˜o nota-se que
|0,7046− 0,7071| = 0,0024 ≤ 0,015854, ou seja, confirma-se que erro
da aproximac¸a˜o e´ inferior ao limite obtido
Heder S. Bernardino Ca´lculo Nume´rico
Exemplos
Exemplos
◮ Exemplo 3
Seja f(x) = ex e x0 = 0. Determine n para que o erro ao se
aproximarf(x) por um Polinoˆmio de Taylor seja menor do que 10−5
para −1 ≤ x ≤ 1.
Adote e ≤ 3 quando necessa´rio.
◮ Soluc¸a˜o:
n > 8
Heder S. Bernardino Ca´lculo Nume´rico
Exemplos
Exemplos
◮ Exemplo 4 Seja f(x) = sen(x) e x0 = 0. Determine o grau do
Polinoˆmio Taylor para obter uma aproximac¸a˜o para f(x) com erro
menor do que 10−7 para −pi4 ≤ x ≤ pi4 .
Adote sen(x) ≤ 1 quando necessa´rio.
◮ Soluc¸a˜o:
n > 4⇒ grau ≥ 9
Heder S. Bernardino Ca´lculo Nume´rico
Aproximac¸a˜o de Derivada
Aproximac¸a˜o de Derivada
Heder S. Bernardino Ca´lculo Nume´rico
Aproximac¸a˜o de Derivada
Aproximac¸a˜o de Derivada
Considere que uma func¸a˜o f(x), cuja expressa˜o e´ desconhecida, seja
fornecida por meio de um conjunto de pontos (x0, f(x0)),
(x1, f(x1)), . . . ,(xn, f(xn)).
Como calcular f ′(xi) ?
Podemos usar polinoˆmio de Taylor para aproximar as derivadas da func¸a˜o.
Heder S. Bernardino Ca´lculo Nume´rico
Aproximac¸a˜o de Derivada
Aproximac¸a˜o de Derivada
Para calcular a derivada f ′(xi) em cada ponto xi, vamos usar um
polinoˆmio de Taylor linear em torno do ponto xi.
◮ Diferenc¸a Progressiva: x = xi+1
f(xi+1) = f(xi) + f
′(xi)
h︷ ︸︸ ︷
(xi+1 − xi)
f ′(xi) =
f(xi+1)− f(xi)
h
Heder S. Bernardino Ca´lculo Nume´rico
Aproximac¸a˜o de Derivada
Aproximac¸a˜o de Derivada
Para calcular a derivada f ′(xi) em cada ponto xi, vamos usar um
polinoˆmio de Taylor linear em torno do ponto xi.
◮ Diferenc¸a Regressiva: x = xi−1
f(xi−1) = f(xi) + f
′(xi)
−h︷ ︸︸ ︷
(xi−1 − xi)
f ′(xi) =
f(xi)− f(xi−1)
h
Heder S. Bernardino Ca´lculo Nume´rico
Aproximac¸a˜o de Derivada
Aproximac¸a˜o de Derivada
◮ Diferenc¸a Central:
f(xi+1) = f(xi) + f
′(xi)h
f(xi−1) = f(xi)− f ′(xi)h
subtraindo, temos
f(xi+1)− f(xi−1) = 2hf ′(xi)
que resulta em
f ′(xi) =
f(xi+1)− f(xi−1)
2h
Heder S. Bernardino Ca´lculo Nume´rico
Aproximac¸a˜o de Derivada
Aproximac¸a˜o de Derivada
◮ Diferenc¸a Central:
f ′(xi) =
f(xi+1)− f(xi−1)
2h
◮ A diferenc¸a central e´ mais precisa para aproximar a derivada
Heder S. Bernardino Ca´lculo Nume´rico
Aproximac¸a˜o de Derivada
Aproximac¸a˜o de Derivada
◮ Exemplo 5
Calcule f ′(1.3) para f(x) = ln (x) usando diferenc¸a progressiva e
central para h = 0,01 e h = 0,001.
◮ Soluc¸a˜o:
◮ diferenc¸a progressiva e h = 0,01: f ′(1.3) ≈ 0,76628
◮ diferenc¸a central e h = 0,01: f ′(1.3) ≈ 0,76924
◮ diferenc¸a progressiva e h = 0,001: f ′(1.3) ≈ 0,76893
◮ diferenc¸a central e h = 0,001: f ′(1.3) ≈ 0,76923
◮ Soluc¸a˜o exata: f ′(x) = 1
x
⇒ f ′(1.3) = 11.3 = 0,76923
Heder S. Bernardino Ca´lculo Nume´rico
Revisa˜o
Revisa˜o
Heder S. Bernardino Ca´lculo Nume´rico
Revisa˜o
Teorema de Taylor
Teorema de Taylor
Suponha que as derivadas f (1), . . . , f (n+1) estejam definidas e sejam
cont´ınuas num intervalo [x0, x], enta˜o tem-se que
f(x) = Pn(x) +Rn(x)
onde
Pn(x) =
n∑
k=0
f (k)(x0)
(x− x0)k
k!
Rn(x) =
∫ x
x0
f (n+1)(t)
(x− t)n
n!
dt
Heder S. Bernardino Ca´lculo Nume´rico
Revisa˜o
Estimativa do erro
◮ A forma do erro de Lagrange, dada por
Rn(x) = f
(n+1)(t)
(x− x0)(n+1)
(n+ 1)!
e´ muito parecida com o termo n+ 1 do Polinoˆmio de Taylor
◮ A diferenc¸a e´ o valor t na fo´rmula
◮ t e´ algum valor entre x0 e x
◮ Para estimar o erro, e´ comum utilizar o maior valor que f (n+1)(t)
pode assumir para t ∈ [x0, x] ou um outro limitante superior
◮ Por exemplo, nota-se que
|Rn(x)| ≤ |x− x0|
(n+1)
(n+ 1)!
max
t∈[x0,x]
∣∣∣f (n+1)(t)∣∣∣
Heder S. Bernardino Ca´lculo Nume´rico
Revisa˜o
Aproximac¸a˜o de Derivada
◮ Diferenc¸a Progressiva: x = xi+1
f(xi+1) = f(xi) + f
′(xi)
h︷ ︸︸ ︷
(xi+1 − xi)
f ′(xi) =
f(xi+1)− f(xi)
h
◮ Diferenc¸a Regressiva: x = xi−1
f(xi−1) = f(xi) + f
′(xi)
−h︷ ︸︸ ︷
(xi−1 − xi)
f ′(xi) =
f(xi)− f(xi−1)
h
◮ Diferenc¸a Central:
f ′(xi) =
f(xi+1)− f(xi−1)
2h
Heder S. Bernardino Ca´lculo Nume´rico
Revisa˜o
Du´vidas?
Heder S. Bernardino Ca´lculo Nume´rico
	Aula Anterior
	Teorema de Taylor
	Estimativa do erro
	Exemplos
	Aproximação de Derivada
	Revisão