405 Turma ITA Álgebra Linear Exercícios

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IME ITA
 
 
Álgebra Linear 
 
01 - (FUVEST SP) 
A matriz 
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
0100
001θsen 
00θ cosθsen 
10θ cosθsen 
 é inversível, se e 
somente se: 
 Zn / nπ θ a. ∈≠ 
Z/n2n θ b. ∈π≠ 
z /n nπ
2
π θ c. ∈+≠ 
Z/n n
4
π θ d. ∈π+≠ 
R θ e. ∈ 
 
02 - (Mauá SP) Determine as condições que x deve 
satisfazer para que a matriz A seja invertível. 
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=
x561
3431
5x31
4321
A 
 
03 - (ITA SP) Sejam A, B e C matrizes reais 3 x 3, 
satisfazendo às relações AB = C-1, B = 2 A. Se o 
determinante de C é 32, qual é o valor do módulo 
do determinante de A ? 
a) 1/16 
b) 1/8 
c) 1/4 
d) 8 
e) 4 
 
04 - (INTEGRADO RJ) O valor de a tal que 
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −
 
2
3-
2
5
2
7
2
11
 seja a matriz inversa de ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
 
11a
73
 é: 
a) –1 
b) 3 
c) 1/5 
d) 2 
e) 5 
 
05 - (ITA SP) Sejam as matrizes 
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−−
−
=
02/315
1211
3252
12/101
A e 
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−−
−
=
52/115
1111
3221
12/131
B 
Determine o elemento c34 da matriz 1)BA(C −+= . 
 
06 - (ITA SP) Uma matriz real quadrada A é 
ortogonal se A é inversível e t1 AA =− . 
Determine todas as matrizes 2 x 2 que são 
simétricas e ortogonais, expressando-as, quando 
for o caso, em termos de seus elementos que 
estão fora da diagonal principal. 
07 - (UNICAMP SP) Uma matriz real quadrada P é 
dita ortogonal se PT = P–1, ou seja, se sua 
transposta é igual a sua inversa. 
a) Considere a matriz P abaixo. Determine os 
valores de a e b para que P seja ortogonal. 
Dica: você pode usar o fato de que P–1P = I, 
em que I é a matriz identidade. 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
−−−
=
3/2b3/2
3/1a3/2
3/23/23/1
P 
b) Uma certa matriz A pode ser escrita na forma 
A = QR, sendo Q e R as matrizes abaixo. 
Sabendo que Q é ortogonal, determine a 
solução do sistema Ax = b, para o vetor b 
dado, sem obter explicitamente a matriz 
A. 
Dica: lembre-se de que x = A–1b. 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
=
02/22/2
2/22/12/1
2/22/12/1
Q , 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−=
200
020
002
R , 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−=
0
2
6
b . 
 
08 - (CEFET PR) Considere a matriz A = ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
i00
0i0
00i
, 
na qual “i” é a unidade imaginária. É correto 
afirmar que A9 é igual a: 
(I3 ⇒ identidade de ordem 3) 
a) A. 
b) – A. 
c) i . A. 
d) I3 . 
e) – I3 . 
 
09 - (ITA SP) Seja A ∈ M3x3 tal que det A = 0. 
Considere as afirmações: 
 
I. Existe X ∈ M3x1 não nula tal que AX é 
identicamente nula 
II. Para todo Y ∈ M3x1, existe X ∈ M3x1 tal que AX 
= Y. 
III. Sabendo que 
2
1
5
 
0
0
1
 A = 
 
então a primeira linha da transposta de A é [5 1 
2]. Temos que: 
a) todas são falsas 
b) apenas (II) é falsa 
c) todas são verdadeiras. 
d) apenas (I) e (II) são verdadeiras. 
e) n.d.a 
 
Matemática – Ney 
 
 
 
2 
10 - (UnB DF) Um industrial instalou cinco fábricas, 
que serão representadas pelos números 1, 2, 3, 
4, 5. Ele necessita de instalar uma oficina de 
manutenção de máquinas em uma das fábricas. 
Na matriz (C = cij)5x5, o elemento cij representa o 
custo (em mil Reais) de transporte de uma 
máquina da fábrica i para a fábrica j. Na matriz 
coluna M = (mi1)5x1, o elemento mi1 fornece o 
número de máquinas da fábrica i. Considere as 
matrizes 
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
= 
3
4
3
2
5
 M e 
02325
10346
12034
13206
45450
 C e julgue 
os itens seguintes. 
00. Para transportar todas as máquinas para a 
fábrica 4, o custo é de 43.000 Reais. 
01. Se x é o custo de transporte de todas as 
máquinas das outras fábricas para a fábrica i, 
então o custo de retorno dessas máquinas 
para as fábricas de origem é x, qualquer que 
seja 1 ≤ i ≤ 5. 
02. Considerando que as máquinas encontram-se 
em igual estado de conservação, como opção 
mais econômica, o industrial deverá instalar a 
oficina de manutenção na fábrica 5. 
 
11 - (PUC RJ) Calcule a vigésima potência da matriz 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
10
a1
. 
 
12 - (UERJ) Considere as matrizes A e B: 
A = ( a ij ) é quadrada de ordem n em que a 
⎩⎨
⎧
−= ímpar é i se1,
par é i se1,
a ij 
B = ( b ij ) é de ordem n x p em que b ij = ji 
 
a) Calcule a soma dos elementos da diagonal 
principal da matriz A. 
b) O elemento da quarta linha e da segunda 
coluna da matriz produto AB é igual a 4094. 
Calcule o número de linhas da matriz B. 
 
13 - (UERJ) Multiplicando-se A =
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
001
100
010
 por X =
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
c
b
a
 , obtêm-se AX =
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
a
c
b
 , que é uma 
permutação dos elementos de X. Existem cinco 
outras matrizes de mesma ordem da matriz "A", 
com apenas elementos 0 e 1, que, multiplicadas 
por X, formam as outras permutações dos 
elementos de X. A soma destas cinco matrizes é: 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
122
212
221
 a.
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
122
221
212
 b. 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
221
122
212
 c.
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
221
221
212
 d. 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
211
122
221
 e. 
 
14 - (UERJ) João comeu uma salada de frutas com a, 
m e p porções de 100 g de abacaxi, manga e 
pêra, respectivamente, conforme a matriz X. A 
matriz A representa as quantidades de calorias, 
vitamina C e cálcio, em mg, e a matriz B indica 
os preços, em reais, dessas frutas em 3 
diferentes supermercados. A matriz C mostra que 
João ingeriu 295,6 cal, 143,9 mg de vitamina C e 
93 mg de cálcio. 
 
 
 
 
Considerando que as matrizes inversas de A e B 
são A–1 e B–1, o custo dessa salada de frutas, 
em cada supermercado, é determinado pelas 
seguintes operações: 
a) B . A–1 . C 
b) C . A–1 . B 
c) A–1 . B–1 . C 
d) B–1 . A–1 . C 
 
15 - (ITA SP) Sejam A e B matrizes quadradas de 
ordem n tais que AB = A e BA = B . Então, [(A + 
B)t]2 é igual a 
a) (A + B)2. 
b) 2(At . Bt). 
c) 2(At + Bt). 
c) At + Bt. 
e) At Bt . 
 
16 - (ITA SP) Seja A uma matriz real 2 x 2. 
Suponha que α e β sejam dois números distintos, 
e V e W duas matrizes reais 2 x 1 não-nulas, tais 
que AV = αV e AW = βW. Se a, b ∈ R são tais 
que a V + b W é igual à matriz nula 2 x 1, então 
a + b vale 
a) 0 
b) 1 
c) –1 
d) 
2
1 
e) 2
1− 
 
Exercícios Complementares 
 
 3
17 - (ITA SP) 1. Mostre que se uma matriz quadrada 
não-nula A satisfaz a equação: 
A3 + 3A2 + 2A = 0 (1) 
 então (A + I)3 = A + I, em que I é a matriz 
identidade. 
2. Sendo dado que ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−=
20
11
A satisfaz à 
equação (1) acima, encontre duas matrizes 
não-nulas B e C tais que B3 + C3 = B + C = 
A. Para essas matrizes você garante que o 
sistema de equações ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
0
0
y
x
)CB( . 
 
18 - (UFC CE) Considere a matriz A = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
10
11
 de 
ordem 2x2. Então pode-se afirmar que a soma A 
+ A2 + ... + An é igual a: 
a) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
10
n1
 
b) ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
n0
nn 2
 
c) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +
n0
2/)1n(n1
 
d) ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ +
n0
2/)nn(n 2
 
e) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
n0
nn
 
 
19 - (UFRJ) O agente id Ota inventou o seguinte 
código secreto para a transmissão de datas de 
certos fatos importantes: o código transforma 
uma data d-m-a, onde d é o dia, m é o mês e a 
representa os dois últimos algarismos do ano, em 
uma nova tripla de números d´-m´,a´, de 
acordo com a regra: 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
 
´a
´m
´d
 
a
m
d
 
132
121
132
 
O código revelou-se um desastre. De fato, várias 
datas originais distintas (d,m,a) correspondem a 
um mesmo código transmitido (d´, m´, a´). 
Por exemplo, as datas 1/1/97 e 2/2/96 
correspondem ao mesmo código 98-98-98, pois: 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
98
98
98
96
2
2
 
132-
121-
132-
 
97
1
1
 
132
121
132
 
Id Ota pensou em alterar o coeficiente central da 
matriz, a22, igual a 2, para um outro valor k. 
Determine, se possível, os valores de k que 
fazem o código funcionar bem. 
 
20 - (FCChagas SP) Dada uma matriz Am x n e as 
operações: 
1. +/ A que transforma a matriz A numa outra 
matriz A’m x 1 onde cada elemento da única coluna 
de A’ é obtido somando-se os elementos da linha 
correspondentes de A. 
2. +⊥ A que transforma a matriz Am x n numa 
outra matriz A’’1 x n onde cada elemento da única 
linha de A’’ é obtido somando-se os elementos 
da coluna correspondente de A. 
Nestas condições, se A for a matriz identidade de 
ordem p a expressão +/(+⊥A) vale: 
a) 2p 
b) p 
c) p2 
d) p . m 
e) 2 x 2 
 
21 - (UNIFICADO RJ) Cláudio anotou as suas 
médias bimestrais de matemática, português, 
ciências e estudos sociais em uma tabela com 
quatro linhas e quatro colunas, formando uma 
matriz, como mostra a figura: 
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
6,2 5,6 5,9 7,7
8,6 6,8 7,8 9,0
6,6 7,1 6,5 8,4
5,9 6,2 4,5 5,0
sociais est.
ciências
português
matemática
b4ºb3º b2º b1º 
 
Sabe-se que as notas de todos os bimestres têm 
o mesmo peso, isto é, para calcular a média 
anula do aluno em cada matéria basta fazer a 
média aritmética de suas médias bimestrais. Para 
gerar uma nova matriz cujos elementos 
representem as médias anuais de Cláudio, na 
mesma ordem acima apresentada, bastaria 
multiplicar essa matriz por: 
a) 
2
1
 
b) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
4
1
4
1
4
1
4
1
 
c) 
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
2
1
2
1
2
1
2
1
 
d) 
4
1
 
e) 
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
4
1
4
1
4
1
4
1
 
22 - (UFC CE) Considere a matriz A = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
10
11
 de 
ordem 2x2. Então pode-se afirmar que a soma A 
+ A2 + ... + An é igual a: 
a) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
10
n1
 
b) ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
n0
nn 2
 
c) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +
n0
2/)1n(n1
 
d) ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ +
n0
2/)nn(n 2
 
e) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
n0
nn
 
Matemática – Ney 
 
 
 
4 
23 - (UFG GO) Dadas as matrizes 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
θθ
θ−θ=
cossen
sencos
M e ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
θ−θ
θθ=
sencos
cossen
N 
Onde θ é um ângulo compreendido entre 0 e π/2 
rad. 
Abaixo estão relacionadas algumas operações 
envolvendo estas matrizes. As igualdades 
corretas são: 
01. ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
01
10
N.M ; 
02. det M + det N = 2; 
04. M.N = N.M; 
08. ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=+
02
02NM no caso em que θ = π/4 rd; 
16. N–1 = N, onde N–1 é a inversa de N; 
32. det kM = k det M, onde K ∈ R. 
 
24 - (ITA SP) Sejam A = (ajk) e B = (bjk) duas 
matrizes quadradas n x n, onde ajk e bjk são, 
respectivamente, os elementos da linha j e 
coluna k das matrizes A e B, definidos por 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
k
j
a jk , quando ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=≥
j
k
a ,kj jk quando j < k e 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−∑=
= p 
jk
)2(b p
jk
0p
jk . 
O traço de uma matriz quadrada (cjk) de ordem n 
x n é definido por n
pp 1p c=∑ . Quando n for ímpar, o 
traço de A + B é igual a 
a) n(n − 1)/3 
b) (n −1)(n + 1)/4 
c) (n2 − 3n +2)/(n − 2) 
d) 3(n − 1)/n 
e) n − 1)/(n − 2) 
 
25 - (UFU MG) Seja A uma matriz de ordem 3 
inversível tal que (A – 2I)2 = 0, em que I é a 
matriz identidade de ordem 3. Assim, pode-se 
afirmar que a matriz inversa A–1 é igual a 
a) AI 4
1−
 
b) 2 A 
c) 4I – A d) I2
1 
 
26 - (FGV ) O montante aplicado de R$ 50.000,00 
foi dividido em duas partes, x e y, uma tendo 
rendido 1% em um mês, e a outra 10% no 
mesmo período. O total dos rendimentos dessa 
aplicação foi de R$ 4.000,00. Sendo M, P e Q as 
matrizes ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
y
x
M , ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
4
50
P e ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
1,01
01,01
Q , a 
matriz M pode ser obtida pelo produto: 
a) 1 000 ⋅ (Pt ⋅ Q)–1 
b) Pt ⋅ Q ⋅ 1 000 
c) Q–1 ⋅ P ⋅ 1 000 
d) 1 000 ⋅ (Qt)–1 ⋅ P 
e) (Q–1)t ⋅ P ⋅ 1 000 
 
27 - (IME RJ) Considere uma matriz A, n x n, de 
coeficientes reais, e k um número real diferente 
de 1. Sabendo-se que A3 = k A, prove que a 
matriz A + I é invertível, onde I é a matriz 
identidade n x n. 
28 - (UEM PR) Sobre matrizes e determinantes, 
assinale a(s) alternativa(s) correta(s). 
01. Se o determinante de uma matriz quadrada A 
é 10 e se a segunda linha for multiplicada por 
4 e a quinta linha por 
2
1
, então o 
determinante da matriz resultante é 20. 
02. Uma matriz quadrada A de ordem 3 é tal que 
seus elementos satisfazem aij + aji = 0 para 
todo 1 ≤ i, j ≤ 3. Então, det(A) ≠ 0. 
04. Se uma matriz quadrada A de ordem n tem 
determinante satisfazendo a equação det(A2) 
+ 2det(A) + 1 = 4, então o det(A) é igual a 1 
ou – 3. 
08. Se A é a matriz dada por 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡ −
k0k
211
11k
, então o 
único valor de k que torna o determinante de 
A2 nulo é zero. 
16. A equação matricial Xt ⋅ A ⋅ X = 3 onde A é a 
matriz dada por ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
− 34
43
, tem como solução o 
conjunto das matrizes ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=× y
x
X 12 , tais que x
2 
+ y2 = 1. 
32. Se A = B ⋅ C, onde 
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=
11
01
001
B
3
4
3
1 e 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
400
0
423
C 3
2
3
1 , então o determinante de A é 
igual a – 4. 
 
29 - (UFAC) Considere a função 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−=∂→+=
→∂
xy
yx
)z(yixz
)R(MC: 2
 
 
que a cada número complexo em C associa uma 
matriz quadrada de ordem 2 em M2(R). A 
proposição errada dentre as dos itens abaixo é: 
a) Cz ∈∀=∂ ;z))z((Det 2 
b) Cwz, ∈∀∂∂=∂ );w().z()w.z( 
c) Cw z, ∈∀∂+∂=+∂ );w()z()wz( 
d) 
2x2
1 1))i1(( ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=−∂ −
1 1
1- 
 
e) 21)1( =∂ 
 
30 - (UFBA BA) Considerando-se a matriz 
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
+−
−+
=
vlogu0vlogu
020
vlogu0vlogu
B
22
w
22
, sendo u, w∈R e 
v∈R*+, é correto afirmar: 
01. A matriz B é simétrica, para quaisquer u, 
w∈R, v∈R*+. 
02. O determinante de B é negativo se e somente 
se 0u ≠ e 1v > . 
Exercícios Complementares 
 
 5
04. Se u = 6, e v = 0,0001, então existe um 
único w∈R tal que os elementos da diagonal 
principal de B são medidas de um triângulo 
eqüilátero. 
08. Se u = 0, existem v∈R*+ e w∈R tais que B2 é 
uma matriz nula. 
16. Para qualquer w∈R, o sistema de equações 
0BX = tem uma infinidade de soluções 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=
z
y
x
X se e somente se 1v = . 
 
31 - (UEM PR) Considere a equação matricial 
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
−
6
1
3
z
y
x
2a42
aa3
a2a
. 
 
a) Para qual(is) valor(es) de a a equação 
matricial possui uma única solução? 
Justifique. 
b) Determine a solução da equação matricial 
para 1a −= , justificando sua resposta. 
 
32 - (UFAL) Considere: 
• a matriz A = (aij)2x2, tal que aij = 2j − i; 
• que traço de uma matriz quadrada A é a 
soma dos elementos da diagonal principal de 
A; 
• o binômio 
n3
2
x
2x ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ + , em que n é um 
número natural. 
Use essas informações para concluir se as 
afirmaçõesseguintes são falsas ou verdadeiras. 
00. O traço da matriz inversa de A é 
2
3 . 
01. Se At é a matriz transposta de A, então 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⋅
2 3
3 5
AA t . 
02. Se n é o traço de A , então o 4o termo do 
desenvolvimento do binômio dado, segundo 
as potências decrescentes de x, é 168x9. 
03. Se n = 2, a soma dos coeficientes do binômio 
dado é 243. 
04. Se n = 3, então, no desenvolvimento do 
binômio dado, o termo independente de x é 
168. 
 
33 - (UEM PR) Considere os números naturais 
colocados ordenadamente em linhas da 
disposição triangular mostrada na figura e 
suponha que a distribuição continue, 
indefinidamente, obedecendo ao mesmo padrão. 
 
...........................
...............1110
98765
432
1
 
 
Sobre o exposto, é correto afirmar que: 
01. a coluna central não contém números 
compostos. 
02. a linha de ordem k contém (2k −1) números 
naturais, k =1,2, … 
04. a quantidade de números naturais escritos 
até o final da linha k é k2, k =1,2,… 
08. a soma de todos os números naturais escritos 
até o final da 20.ª linha é 80.200. 
16. o número natural 628 é o quarto número da 
26.ª linha. 
 
34 - (ITA SP) Sejam A e P matrizes reais quadradas 
de ordem n tais que A é assimétrica (isto é, A = 
At) e P é ortogonal (isto é, P . Pt = I = Pt . P), P 
diferente da matriz identidade. Se B = PtAP 
então: 
a) AB é simétrica 
b) BA é simétrica 
c) det A = det B 
d) BA = AB 
e) B é ortogonal 
 
35 - (ITA SP) Seja A uma matriz real quadrada de 
ordem n e B = I – A, onde I denota a matriz 
identidade de ordem n. Supondo que A é 
inversível e idempotente (isto é, A2 = A) 
considere as afirmações: 
 
1. B é idempotente 
2. AB = BA 
3. B é inversível 
4. A2 + B2 = I 
5. AB é simétrica 
 
Com respeito a estas afirmações temos: 
a) Todas são verdadeiras. 
b) Apenas uma é verdadeira. 
c) Apenas duas são verdadeiras. 
d) Apenas três são verdadeiras. 
e) Apenas quatro são verdadeiras. 
 
36 - (UFG GO) Após uma prova de 4 questões 
aplicada a 4 alunos, o professor construiu uma 
matriz (A) onde cada linha corresponde a um 
aluno e cada coluna às questões da prova, 
colocou 0 (zero) se o aluno errou a questão e 1 
(um) se acertou. Com base nesse enunciado 
podemos afirmar: 
01. Se cada aluno acertou apenas 1 questão a 
matriz pode ser a matriz identidade se as 
questões acertadas são distintas; 
02. Se um aluno tirou zero na prova o 
determinante da matriz é zero; 
04. A única situação em que A2 = 0 é se todos os 
alunos tirarem zero na prova; 
08. Se [ ] 4x4ijAA = onde ⎩⎨⎧ <≥= ji se 0 ji se 1aij , então um 
aluno acertou todas as questões 
16. Considere a função f definida em { aij, 1 ≤ i, j 
≤ 4}cuja lei de formação é f (aij) = aji Se A = 
I (identidade) a função f é a função nula; 
32. Se todos os alunos acertarem todas as 
questões da prova então de A ≠ 0. 
 
37 - (ITA SP) Sejam A e P matrizes nxn inversíveis 
e B = P–1 AP. Das afirmações: 
Matemática – Ney 
 
 
 
6 
I. BT é inversível e (BT)–1 = (B–1)T. 
II. Se A é simétrica, então B também o é. 
III. det(A – λI) = det(B – λI), ∀λ ∈ R. 
 
é (são) verdadeira(s): 
a) todas 
b) apenas I 
c) apenas I e II 
d) apenas I e III 
e) apenas II e III 
 
38 - (ITA SP) Se A é uma matriz real, considere as 
definições: 
I. Uma matriz quadrada A é ortogonal se e só 
se A for inversível e 1 TA A− = . 
II. Uma matriz quadrada A é diagonal se e só 
se 0i ja = , para todo , 1, ..., , comi j n i j= ≠ 
Determine as matrizes quadradas de ordem 3 
que são, simultaneamente, diagonais e 
ortogonais. 
 
39 - (ITA SP) Sejam A e B matrizes 2 x 2 tais que 
AB = BA e que satisfazem à equação matricial A2 
+ 2AB – B = 0. Se B é inversível, mostre que 
(a) AB–1 = B–1A e que (b) A é inversível 
 
40 - (ITA SP) Considere as matrizes 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=
201
020
102
A 
e 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
=
101
020
101
B . 
Sejam λ0, λ1 e λ2 as raízes da equação det(A - 
λI3) = 0 com o λ0 ≤ λ1 ≤ λ2. 
Considere as afirmações: 
I. B = A - λ0I3 
II. B = (A - λ1I3)A 
III. B = A(A - λ2I3) 
 
Então: 
a) todas as afirmções são falsas. 
b) todas as afirmações são verdadeiras 
c) apenas I é falsa 
d) apenas II é falsa 
e) apenas III é falsa 
 
41 - (UnB DF) Considere os sistema de coordenadas 
cartesianas no plano, cuja origem é denotada por 
O = (0,0). Sejam A e B pontos dessse plano, 
distintos da origem. O paralelogramo P, gerado 
pelos pontos A e B, é aquele que tem os 
segmentos OA e OB como arestas. A área 
desse paralelogramo é o determinante det M da 
matriz quadrada M, de ordem 2, cujas linhas são 
as coordenadas dos pontos A e B. 
Tendo em vista essa informações, julgue os itens 
que se seguem. 
00. Se det M = 0, então os segmentos OA e OB 
são colineares. 
01. Sejam 2A o ponto cuja coordenadas são duas 
vezes as coordenadas de A. Analogamente 
para o ponto 3B. Então, a área do 
paralelogramo gerado por 2A e 3B é igual a 5 
vezes a área de P. 
02. O produto da matriz M pela matriz 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
°°
°−°
30 cos30sen 
30sen 30 cos
 é uma matiz 2 x 2 cujas 
linhas são as coordenadas dos pontos C e D. 
Então, a área do paralelogramo gerado por C 
e D é igual à área de P. 
 
42 - (PUC SP) Seja a matriz A = (aij)3x3, tal que 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≠π
=π
 
 
jise
j
7sen
jise
i
7cos
aij 
O determinante da matriz A é igual a: 
a) 
2
3− 
b) 
2
1− 
c) – 1 
d) 
2
1
 
e) 
2
3
 
 
43 - (UFMS MS) Sejam ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=
50
15x
A e B = 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
− x31
03
 matrizes reais de ordem 2 e f : IR 
→ IR a função definida por f(x) = 3.det.(A.B) , 
onde det.(A.B) denota o determinante da matriz 
produto de A por B . Calcule o valor máximo da 
função f. 
 
44) Qualquer que seja x ∈R, tal que z)(k
2
kπx ∈≠ , o 
determinante 
xcotgxtgxcos
11xsen
xcossecxsec1
222
2
22
 é igual a: 
a) secx . cossecx 
b) 1 
c) –1 
d) zero 
e) n.d.a 
 
45 - (FEI SP) Calcule; 
csenccoscos2c
bsenbcoscos2b
asenacoscos2a
22
22
22
 
 
46 - (FEI SP) Seja M uma matriz quadrada de 3a 
ordem; constrói-se uma matriz N em que cada 
coluna é a soma das outras duas colunas da 
matriz M. Sendo A o determinante de M e B o 
determinante de N, tem-se: 
a) B = 0 
b) B = A 
Exercícios Complementares 
 
 7
c) B = 2A 
d) A = 2B 
e) n.d.a 
 
47 - (UnB DF) Seja f(x) = 
bxcxbc
cbx
111
 com a, b, c 
reais não-nulos e distintos. 
As raízes de f(x) = 0 são: 
00. x = a, x = b, x = c 
01. x = a, x = c 
02. x = b, x = c 
03. x = a, x = b 
 
48 - (PUC SP) Indica-se por det A o determinante 
de uma matriz quadrada A. Seja a matriz A = 
(aij), de ordem 2, em que 
.
j i se )],ji.(xsen[
j i se ,)ji.(
4
sen
aij ⎪⎩
⎪⎨
⎧
≠−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +π= 
quantos números reais x, tais que –2π < x < 2π, 
satisfazem a sentença 
4
1Adet = ? 
a) 10 
b) 8 
c) 6 
d) 4 
e) 2 
 
49 - (IME RJ) Calcule o determinante da matriz n x 
n em função de b, onde b é um número real tal 
que b2 ≠ 1, 
 
linhasn 
1bb0000
b1b0000
001bb00
00b1bb0
000b1bb
0000b1b
colunasn 
2
2
2
2
2
2
⎪⎪
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎪⎪
⎬
⎫
+
+
+
+
+
+
����������� 
����������� 	� …
…
…………………
…
…
…
…
 
 
50 - (UFBA BA) Considere a matriz simétrica A = 
(aij), 1 ≤ i ≤ 3, 1 ≤ j ≤ 3, que satisfaz as 
seguintes condições: 
 
I. Se j = i + 1 ou i = j + 1, então aij é a 
distância do ponto P ao ponto Q, sendo P e Q 
interseções da parábola y = x2 – 2x + 1 com 
a reta y = – x + 1. 
II. Se j = i + 2 ou i = j + 2, então aij é a área do 
triângulo PQR, sendo o ponto R o simétrico de 
Q em relação à origemdo sistema de 
coordenadas xOy. 
III. Se i = j, então aij é o valor máximo da função 
quadrática f(x) = – 2x2 + 4x. 
 
Assim sendo, escreva a matriz A e calcule o seu 
determinante. 
 
51 - (UFU MG) Sejam A, B e C matrizes reais 
quadradas de ordem 3. Considere as seguintes 
afirmações: 
 
I. Se A = At e B = Bt, então AB = (AB)t. 
II. det(A + B) = det A + det B. 
III. Se AB = CB, então A = C. 
IV. A2 – B2 = (A – B)(A + B). 
 
A respeito dessas afirmações, assinale a 
alternativa correta. 
a) Todas as afirmativas são falsas. 
b) Apenas a afirmação I é verdadeira. 
c) Apenas as afirmações I e III são verdadeiras. 
d) Apenas a afirmação II é falsa. 
e) Todas as afirmações são verdadeiras. 
 
52 - (ITA SP) Sejam A e I matrizes reais quadradas 
de ordem 2, sendo I a matriz identidade. Por T 
denotamos o traço de A, ou seja, T é a soma dos 
elementos da diagonal principal de A. Se T ≠ 0 e 
λ1, λ2 são raízes da equação det(A - λI) = det(A) 
– det(λI), então: 
a) λ1 e λ2 independem de T 
b) λ1 . λ2 = T 
c) λ1 . λ2 = 1 
d) 1 2
T
λ + λ
2
= 
e) λ1 + λ2 = T 
 
53 - (ITA SP) Considere a equação 
0
)]x(F[x4)]x(G[
)x(Fx2)x(G
222
det
222
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
 onde 
2
34
x
1xxx)x(F +−+= e x 1x
2
)x(G −= , com x ∈ R, x ≠ 0. 
Sobre as raízes reais dessa equação, temos: 
a) Duas delas são negativas. 
b) Uma delas é um número irracional. 
c) Uma delas é um número par. 
d) Uma delas é positiva e outra negativa. 
e) n.d.a. 
 
54 - (ITA SP) Seja C = {X ∈ M2x2; X2 + 2x = 0}. 
Dadas as afirmações: 
 
I. Para todo X ∈ C, (X + 2I) é inversível. 
II. Se X ∈ C e det (X + 2I) ≠ 0 então X não é 
inversível. 
III. Se X ∈ C e det X ≠ 0 então det X > 0. 
 
podemos dizer que: 
a) Todas são verdadeiras. 
b) Todas são falsas. 
c) Apenas (II) e (III) são verdadeiras. 
d) Apenas (I) é verdadeira. 
e) n.d.a. 
 
55 - (UnB DF) Para A e B matrizes quadradas 
quaisquer, de ordem 3, denote por A² o produto 
de A por si mesmo e por det A o derminante da 
matriz A. julgue os itens. 
 
00. (A + B) . (A – B) = A2 . B2. 
01. det (2A) = 2 det A 
Matemática – Ney 
 
 
 
8 
02. Somando-se 4 a todos os elementos da 
matriz 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
1a3
112
111
A , o determinate da nova 
matriz será 4det A 
03. Se (det A)2 = 1, então 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
100
010
001
A ou 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
100
010
001
A . 
04. Se 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+++
+++
++
=
222
222
222
8)(a6)(a4)(a
6)(a4)(a2)(a
4)(a2)(aa
A , o det A 
não dependerá do valor de a. 
 
56 - (MACK SP) A é uma matriz quadrada de ordem 
4 e det A = -6. o valor de x tal que det (2A) = x 
– 97 é: 
a) -12 
b) zero 
c) 1 
d) 97/2 
e) 194 
57 - (UNIP SP) Se 12
zyx
1296
321
−= , então 
321
432
zyx
 
vale: 
a) -4 
b) –4/3 
c) 4/3 
d) 4 
e) 12 
 
58 - (VUNESP SP) Considere as matrizes reais 3x3 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
111
zyx
cba
 e 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
111
zyx
pnm
. Se indicarmos por A e 
B, respectivamente, os determinantes dessas 
matrizes, o determinante da matriz 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛ ++++++
z2y2x2
111
1pc1nb1ma
 é igual a: 
a) – 2 A – 2 B 
b) 2 A + 2 B + 1 
c) 2 A + 2B 
d) – 2 A – 2 B – 1 
e) 2 A – 2 B – 1. 
 
59 - (UFU MG) Sejam A e B matrizes quadradas 
quaisquer de ordem dois. 
Indique qual das afirmações abaixo é verdadeira. 
a) (A + B) (A – B) = A2 – B2. 
b) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2. 
c) se AB é a matriz nula então A ou B são nulas. 
d) se A e B são inversíveis então A + B é 
inversível. 
e) se A e B são inversíveis então AB é inversível. 
60 - (UFU MG) Sejam A e B matrizes de elementos 
reais, quadradas de ordem 3, e represente por I 
a matriz identidade de ordem 3. Se A + B = 3 I e 
det(A – B) = 1, determine det(A2 + AB – BA – 
B2). 
 
61 - (ITA SP) Considere as afirmações dadas a 
seguir, em que A é uma matriz quadrada n n× , 
2n ≥ : 
I. O determinante de A é nulo se e somente se 
A possui uma linha ou uma coluna nula. 
II. Se ( )i jA a= é tal que 0i ja = para 
, com , 1,2,..., ,> =i j i j n então 
11 22...det n na aA a= . 
III. Se B for obtida de A , multiplicando-se a 
primeira coluna por 2 1+ e a segunda por 
2 1− , mantendo-se inalteradas as 
demais colunas, então det detB A= . 
Então, podemos afirmar que é (são) 
verdadeira(s): 
a) apenas II. 
b) apenas III. 
c) apenas I e II. 
d) apenas II e III. 
e) todas. 
 
62 - (UECE) Seja k32 M...MMMX ++++= , em que M 
é a matriz ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
1 0
1 1
 e k é um número natural. Se o 
determinante da matriz X é igual a 324, então o 
valor de 1k3k 2 −+ é: 
a) 207 
b) 237 
c) 269 
d) 377 
 
63 - (ITA SP) Sejam A e C matrizes n x n inversíveis 
tais que 3/1)ACIdet( 1 =+ − e 5A det = . Sabendo-se 
que ( )t11 CA3B −− += , então o determinante de B é 
igual a 
a) 3n b) 2
n
5
32 ⋅ 
c) 
5
1
 
d) 
5
3 1n− 
e) 1n35 −⋅ 
 
64 - (MACK SP) O menor valor positivo de α, para 
que o sistema 
⎩⎨
⎧
=+
=−
0α)y cos (4x
0y xα)(sen 
 tenha mais de 
uma solução, é igual a: 
a) 75° 
b) 105° 
c) 120° 
d) 165° 
e) 225° 
Exercícios Complementares 
 
 9
65 - (FUVEST SP) Dado um número real a, 
considere o seguinte problema: 
“Achar números reais x1, x2, …, x6, não todos 
nulos, que satisfaçam o sistema linear: 
(r – 2) (r – 3)xr – 1 + ((r – 1) (r – 3) (r – 4) (r – 
6)a + (-1)r)xr + (r – 3)xr + 1 = 0, para r = 1, 2, …, 
6, onde x0 = x7 = 0”. 
 
a) Escreva o sistema linear acima em forma 
matricial. 
b) Para que valores de a o problema cima tem 
solução? 
c) Existe, para algum valor de a, uma solução 
do problema com x1 = 1? Se existir, 
determine tal solução. 
 
66 - (ITA SP) A seqüência (a1, a2, a3, a4) é uma 
progressão geométrica de razão q ∈ R* com q ≠ 
1 e a1 ≠ 0. Com relação ao sistema ⎩⎨
⎧
=+
=+
dyaxa
cyaxa
43
21 
podemos afirmar que: 
 
a) é impossível para c, d ∈ [-1, 1] 
b) é possível e determinado somente se c = d. 
c) é indeterminado quaisquer que sejam c, d ∈ 
R. 
d) é impossível quaisquer que sejam c, d ∈ R*. 
e) é indeterminado somente se d = cq2 
 
67 - (ITA SP) O sistema abaixo, nas incógnitas x, y 
e z, 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=++
=+−
=+−
+−
++
1z3y3x
2z9y5x3
2z3y9x3
1a1a
1a1a
aaa
 
é possível e determinado quando o número a é 
diferente de: 
a) 2log3 e ( )5log12
1
2+− . 
b) 3log2 e 5log2
1
2 . 
c) 1log2 e 3log2
1
2 . 
d) ( )1log1
2
1
2+− e ( )3log12
1
2+− . 
e) 1log3 e ( )5log12
1
3+− . 
 
68 - (ITA SP) Sejam a, b, c, d números reais não 
nulos que estão nesta ordem em progressão 
aritmética. Sabendo que o sistema abaixo: 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=+
81.y9.3.x3
.2.y2.x4.2 
bd
b
3
2ca
 
é possível e indeterminado, podemos afirmar que 
a soma desta progressão aritmética é: 
a) 13 
b) 16 
c) 28 
d) 30 
e) n.d.a. 
 
69 - (ITA SP) Considere o sistema linear 
homogêneo nas incógnitas x1, x2, ..., xn dado 
por: ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−+++++
=−+++++
=−+++++
0x1na...x1axa
...............................................................
0x1na...x1axa
0x1na...x1axa
nn2n1n
n22212
n12111
 
Onde a1, a2, ..., an são números reais dados. 
Sobre a solução deste sistema podemos afirmar 
que: 
a) Se ai > 0, i = 1, 2, ..., n o sistema possui 
uma única solução. 
b) Se ai < 0, i = 1, 2, ..., n o sistema possui 
uma única solução. 
c) Se ai > 0, i = 1, 2, ..., n o sistema é 
impossível. 
d) Se ai < 0, i = 1, 2, ..., n o sistema é 
impossível. 
e) O sistema possui infinitas soluções quaisquer 
que sejam os valores dos números a1, ..., an 
dados.70 - (FUVEST SP) Discutir o sistema de equações: 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
++=+
=+
=+
1bayx
0aybx
0byax
2222
 
 
71 - (UnB DF) Sendo um número real qualquer, 
considere o sistema de equações: 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
+=+−
=++
mmz-y23x
m2zy2x
m-13zyx
:S 
Analise os itens a seguir: 
00. O sistema S é sempre possível e determinado 
01. O sistema S, sempre que possível, é também 
determinado 
02. Se m = 0 então a única solução de S é tal 
que x = 10/22 
03. Se m torna possível uma solução de de S, 
então qualquer tal soluação satisfaz a 
equação 2y – (4+m) z = m – 3 
04. Exixtema pelo menos 2 valores de m para os 
quais S é impossível 
 
72 - (UFU MG) Considere a matriz ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−
−=
01
10
A . 
Determine quantas soluções tem o sistema linear 
( ) ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+++ 00yxAAAA 33322232 . 
 
73 - (ITA SP) Considere o sistema Ax = b, em que 
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
=
3-k 3 1-
6k 2 
3 2- 1 
A , R k e 
0
6
1
b ∈
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
= . 
Sendo T a soma de todos os valores de k que 
tornam o sistema impossível e sendo S a soma 
de todos os valores de k que tornam o sistema 
possível e indeterminado, então o valor de T– S é 
a) −4 b) −3 c) 0 
d) 1 e) 4 
Matemática – Ney 
 
 
 
10 
74 - (UFOP MG) Considerando que um sistema de 
equações lineares homogêneo 3x3, nas 
incógnitas x, y e z , com coeficientes reais, é 
possível e indeterminado, assinale a alternativa 
que não representa uma solução geral desse 
sistema. 
a) { }R t,t3 z t,y ,t2x ∈−=== 
b) ⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ ∈=−== R t,t z t, y ,
2
tx 
c) { }R t,t z 1, ty ,t2x ∈=+== 
d) { }R t,t z t,y ,tx ∈=== 
 
75 - (UFPR) Disponho de certa quantia para fazer 
compras. Para comprar um par de tênis, uma 
camisa e uma calça, faltarão R$ 30,00. Se eu 
comprar a calça e a camisa, sobrarão R$ 90,00; e 
se eu comprar a calça e o par de tênis, sobrarão 
R$ 10,00. Nessas condições, é correto afirmar: 
01. Se eu comprar só a calça, sobrarão R$ 
130,00. 
02. Se eu comprar o par de tênis e a camisa, 
gastarei R$ 160,00. 
03. O par de tênis custa R$ 110,00. 
04. A camisa custa R$ 50,00. 
 
76 - (FUVEST SP) Um casal tem filhos e filhas. Cada 
filho tem o número de irmãos igual ao número 
de irmãs. Cada filha tem o número de irmãos 
igual ao dobro do número de irmãs. Qual é o total 
de filhos e filhas do casal? 
a) 3 
b) 4 
c) 5 
d) 6 
e) 7 
 
77 - (UnB DF) A distância entre duas cidades, A e 
B, é de 156 km. De A para B, a extensão das 
descidas e 0,7 vezes a extensão das subidas. 
Um ciclista pedala a 25 km/h, nas partes planas 
da estrada, a 15 km/h, nas subidas, e a 30 km/h, 
nas descidas. A diferença entre o tempo de ida e 
o tempo de volta do ciclista é de 48 minutos. 
Calcule, em quilômetros, a extensão da parte 
plana do trajeto, desconsiderando a parte 
fracionária de seu resultado, caso exista. 
 
78 - (UnB DF) Em uma corrida de motocross, os 
competidores devem seguir um percurso de um 
ponto A até um outro ponto B e, em seguida, 
retornar ao ponto A pela mesma trilha. Um dos 
motociclistas desenvolve uma velocidade 
constante de 12km/h em trechos de subida, 
30km/h em trechos planos e 60km/h em trechos 
de descida. Um segundo motociclista desenvolve 
uma velocidade de 10km/h em trechos de subida, 
40km/h em trechos planos e 80km/h em trechos 
de descida. O primeiro gasta 1h para ir de A até 
B e 1h e 10 min para ir de B até A, enquanto o 
segundo gasta 1h e 3min para ir de A até B. 
Calcule, em quilômetros, a distância que, no 
sentido de A para B, corresponde ao trecho de 
subida. Despreze a parte fracionária de seu 
resultado, caso exista. 
 
79 - (UERJ) Observe a tabela de compras realizadas 
por Mariana: 
Loja Produto Preço/unid.(R$) Despesa(R$)
A
caneta
lapiseira
3,00
50,00
5,00
B caderno
corretor
4,00
2,00
44,00
 
Sabendo que ela adquiriu a mesma quantidade 
de canetas e cadernos, além do maior número 
possível de lapiseiras, o número de corretores 
comprados foi igual a: 
a) 11 
b) 12 
c) 13 
d) 14 
 
80 - (UERJ) Um comerciante gastou R$250,00, 
adquirindo as mercadorias A e B para revender. 
Observando a tabela abaixo, calculou e comprou 
o número de unidades de A e B para obter o lucro 
máximo. 
Mercadoria
Preço por unidade(R$)
de custo de venda
máximo de unidades libe
rado para o comerciante
A
B
1,00
2,00
2,50
3,00 200
100
 
Com a venda de todas unidades compradas, o 
lucro máximo, em reais, foi: 
a) 225 
b) 250 
c) 275 
d) 325 
 
81 - (UFF RJ) Em um restaurante existem mesas de 
3, 4 e 6 cadeiras, num total de 16 
mesas.Ocupando todos os lugares nas mesas de 
3 e 4 cadeiras, 36 pessoas ficam perfeitamente 
acomodadas. Sabendo-se que o restaurante 
acomoda, no máximo, 72 pessoas, quantas 
mesas de cada tipo existem? 
 
82 - (UFF RJ) Um biscoito é composto por açúcar, 
farinha de trigo e manteiga, sendo a quantidade 
de farinha o dobro da quantidade de açúcar. Os 
preços por quilograma do açúcar, da farinha e da 
manteiga são, respectivamente, R$ 0,50, R$ 0,80 
e R$ 5,00. O custo por quilograma de massa do 
biscoito, considerando apenas esses ingredientes, 
é R$ 2,42. 
Calcule a quantidade, em gramas, de cada 
ingrediente presente em 1 kg de massa do 
biscoito. 
 
83 - (UNICAMP SP) Uma empresa deve enlatar 
uma mistura de amendoim, castanha de caju e 
castanha-do-pará. Sabe-se que o quilo de 
amendoim custa R$5,00, o quilo da castanha de 
caju, R$20,00 e o quilo de castanha-do-pará, 
R$16,00. Cada lata deve conter meio quilo da 
mistura e o custo total dos ingredientes de cada 
lata deve ser de R$5,75. Além disso, a 
quantidade de castanha de caju em cada lata 
deve ser igual a um terço da soma das outras 
duas. 
Exercícios Complementares 
 
 11
a) Escreva o sistema linear que representa a 
situação descrita acima. 
b) Resolva o referido sistema, determinando as 
quantidades, em gramas, de cada ingrediente 
por lata 
 
84 - (UFV MG) Em uma urna vazia são colocadas 20 
bolas nas cores vermelha e branca. Se 
acrescentássemos uma bola vermelha à urna, o 
número de bolas brancas passaria a ser igual à 
metade do número de bolas vermelha. 
Quantas bolas vermelhas e quantas bolas brancas 
existem na urna? 
 
85 - (UNIFOR CE) Um grupo de amigos comprou 
um presente por R$ 6.300,00. Pretendiam dividir 
essa quantia entre si, em partes iguais. Como 2 
membros do grupo não puderam cumprir o 
compromisso, cada um dos restantes teve sua 
parcela aumentada de R$ 360,00. O número de 
pessoas do grupo era, inicialmente, 
a) 11 b) 10 c) 9 
d) 8 e) 7 
 
86 - (UNICAMP SP) O IBGE contratou um certo 
número de entrevistadores para realizar o 
recenseamento em uma cidade. Se cada um 
deles recenseasse 100 residências, 60 delas não 
seriam visitadas. Como, no entanto, todas as 
residências foram visitadas e cada recenseador 
visitou 102, quantas residências tem a cidade? 
 
87 - (INTEGRADO RJ) Num concurso, a prova de 
Matemática apresentava 20 questões. Para cada 
questão responda corretamente, o candidato 
ganhava 3 pontos e, para cada questão 
respondida erradamente ou não respondida, 
perdia 1 ponto. Sabendo-se que para ser 
aprovado deveria totalizar, nessa prova, um 
mínimo de 28 pontos, o menor número de 
questões respondidas corretamente para que o 
candidato fosse aprovado era de: 
a) 12 
b) 13 
c) 14 
d) 15 
e) 16 
 
88 - (FGV ) “Um galo custa 5 moedas; uma galinha, 
3 moedas e 3 frangos custam 1 moeda. Com 100 
moedas, compram-se 100 dessas aves. 
Quantos galos, galinhas e frangos são?” 
Esse é o problema chinês do Cento de Aves, que 
foi enunciado pela primeira vez no livro Manual 
Matemático, de Zhang Quijian, editadono século 
V. O problema ficou famoso e apareceu, mais 
tarde, em diversos textos matemáticos na Índia, 
no mundo islâmico e na Europa. 
a) Expresse o enunciado do problema chinês 
mediante um sistema de equações. 
b) Dê a solução geral do sistema. 
c) Nessa época, o zero não era considerado um 
número e, por isso, não entrava na solução 
dos problemas. Então, quais as prováveis 
respostas que o matemático chinês deve ter 
encontrado para o problema do Cento de 
Aves? 
89 - (FUVEST SP) Considere o sistema de equações 
lineares 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=−+
=−−
−=++
5m3z2yx2
m2z2yx
m2zyx
 
a) Para cada valor de m, determine a solução 
(xm, ym, zm) do sistema. 
b) Determine todos os valores de m, reais ou 
complexos, para os quais o produto xmymzm é 
igual a 32. 
 
90 - (ITA SP) Sejam a, b, c ∈ R* com a2 = b2 + c2. 
Se x, y e z satisfazem o sistema 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=+
=+
c y cos a x cos b
b z cos a x cos c
a z cos b y cos c
 então cos x + cos y + cos z é 
igual a: 
a) 
c
ba −
. b) 
c
ba +
. 
c) 
a
cb+
. d) 
b
ac+
 
e) 
a
cb 22 +
 
 
91 - (ITA SP) Se (x, y, z, t) é solução do sistema 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−−−
=+++
=−+−
05tzyx
0t3zy3x
0t2zyx
 qual das alternativas abaixo é 
verdadeira? 
a) x + y + z + t e x tem o mesmo sinal. 
b) x + y + z + t e t tem o mesmo sinal. 
c) x + y + z + t e y tem o mesmo sinal. 
d) x + y + z + t e z tem sinais contrários. 
e) n.d.a. 
 
92 - (PUC RJ) Resolva o sistema 
⎩⎨
⎧
=+
=+
0zy-x
0z-yx
. 
Descreva geometricamente o seu conjunto de 
soluções. 
 
93 - (UFMA) Sendo (a, b, c) solução do sistema 
⎩⎨
⎧
=+
=+−
53Zy
12Zyx
 tal que ab = 2c, então um valor de 
a é: 
a) –3 b) –4 c) 2 
d) 3 e) 4 
 
94 - (FUVEST SP) João, Maria e Antônia tinham, 
juntos, R$ 100.000,00. Cada um deles investiu 
sua parte por um ano, com juros de 10% ao ano. 
Depois de creditados seus juros no final desse 
ano, Antônia passou a ter R$ 11.000,00 mais o 
dobro do novo capital de João. No ano seguinte, 
os três reinvestiram seus capitais, ainda com 
juros de 10% ao ano. Depois de creditados os 
juros de cada um no final desse segundo ano, o 
novo capital de Antônia era igual à soma dos 
novos capitais de Maria e João. Qual era o capital 
inicial de João? 
Matemática – Ney 
 
 
 
12 
a) R$ 20.000,00 
b) R$ 22.000,00 
c) R$ 24.000,00 
d) R$ 26.000,00 
e) R$ 28.000,00 
 
95 - (UNICAMP SP) Encontre o valor de a para que 
o sistema: 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++
=−+
=+−
133z4y7x
3z2yx
a3zy2x
seja possível. Para o valor 
encontrado de a ache a solução geral do sistema, 
isto é, ache expressões que representem todas as 
soluções do sistema. Explicite duas dessas 
soluções. 
 
96 - (UNICAMP SP) Considere o sistema: 
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
=++
=++
=++
p)yx(
2
1z
p)zx(
2
1y
p)zy(
2
1x
 
a) Mostre que se tal sistema tem solução (x, y, 
z) com x, y e z inteiros, então o parâmetro p 
é múltiplo inteiro de 17. 
b) Reciprocamente, mostre que se o parâmetro 
p for múltiplo inteiro de 17, então este 
sistema tem solução (x, y, z) com x, y e z 
inteiros. 
 
97 - (MACK SP) As soluções do sistema
⎩⎨
⎧
=
=++
32y-2x
28zyx
 
onde x > 0, y > 0 e z > 0 obedecem às seguintes 
restrições: 
a) 2 < x < 8 e 2 < y < 8 
b) 16 < x < 20 e 0 < y < 8 
c) 10 < x < 20 e 2 < y < 10 
d) 1 < x < 3 e 8 < y < 12 
e) 7 < x < 15 e 9 < y < 11 
 
98 - (FUVEST SP) 
São dados três números naturais a, b e c, com a 
< b < c. Sabe–se que o maior deles é a soma dos 
outros dois e o menor é um quarto do maior. Se 
a – b + c = 30 então o valor de a + b + c será: 
a) 45 
b) 60 
c) 900 
d) 120 
e) 150 
 
99 - (ITA SP) Sendo x, y, z e w números reais, 
encontre o conjunto solução do sistema 
log[(x + 2y)(w − 3z)−1] = 0, 
2x+3z − 8 . 2y−3z+w = 0, 
02w2z6yx23 =−−++ 
 
100 - (UNICAMP SP) Seja dado o sistema linear: 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=
=+−
2 x x 
2 x - 2x
2 2x 
21
21
21x
 
a) Mostre graficamente que esse sistema não 
tem solução. Justifique. 
b) Para determinar uma solução aproximada de 
um sistema linear Ax = b impossível, utiliza-
se o método dos quadrados mínimos, que 
consiste em resolver o sistema ATAx = ATb. 
Usando esse método, encontre uma solução 
aproximada para o sistema dado acima. 
Lembre-se de que as linhas de MT (a 
transposta de uma matriz M) são iguais às 
colunas de M. 
 
101 - (UFAC) Os números reais positivos a e b, 
ambos diferentes de 1, soluções do sistema de 
equações 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
balog
16
1a
2
1
b
, quando multiplicados, têm 
como produto o número: 
a) 2 
b) 4 
c) 
2
1 
d) 
4
1 
e) 8 
 
102 - (FGV ) a. Mostre que existem infinitas triplas 
ordenadas (x, y, z) de números que satisfazem a 
equação matricial: 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
⋅+
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⋅+
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
⋅
0
0
0
7
10
1
z
1
0
2
y
1
2
1
x 
b) Resolva o sistema linear abaixo, nas 
incógnitas x e y, usando o conceito de matriz 
inversa: 
⎩⎨
⎧
=+
=+
by3x5
ayx2
 
Use o fato de que a inversa da matriz 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
35
12
A é ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−=−
25
13
A 1 
 
103 - (UFC CE) Sejam x e y os números reais 
positivos que satisfazem o sistema de equações: 
 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=+
+=+
2log3ylogxlog
2log3ylogxlog
333
33/13 . 
 
Assinale a alternativa na qual consta o valor 
numérico de yx + . 
a) 12 
b) 18 
c) 24 
d) 30 
e) 36 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios Complementares 
 
 13
Gabarito 
 
01 a 
02 2x ≠ 
03 a 
04 e 
05 
11
2− 
06 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
b-1- b 
b b-1
 ,
1- 0 
0 1-
 ,
1 0
0 1 2
 e 
1b1- com 
b-1
b
 
b
b1
2
2 ≤≤⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −− . 
07 a) 
3
2a = ; 
3
1b −= 
b) 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
− 4
1
1
 
08 a 
09 b 
10 CEC 
11 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
10
20a1
 
12 a) -1 +1 –1 +1 ...(-1)0 
⎩⎨
⎧
−= impar én se1,
par én se0,
 
b) n = 11 
13 c 
14 a 
15 c 
16 a 
17 1. =+++=+ I)I).(AI).(A(AI)³(A
=+++ I)I).(A2A(A² =++++ IA2A3A²A³ IA + , 
como A³ + 3A² + 2A + A = 0, temos que: 0 + A 
+ I = A + I, ou seja, A + I = A + I 
2. ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
1-0
10
B e ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
1-0
0-1
C e o sistema 
apresentado admite solução (x, y) ≠ (0, 0) 
18 d 
19 não há valores de k que solucionem o problema 
com o código. 
20 b 
21 e 
22 d 
23 VFFVVF 
24 c 
25 a 
26 DE 
27 IA
k1
1A
k1
1 2 +−−− é a inversa de A + I 
28 53 
29 d 
30 05 
31 
32 VFFFF 
33 14 
34 c 
35 e 
36 VVFVFF 
37 d 
38 As matrizes de ordem 3 que são, 
simultaneamente, diagonais e ortogonais são da 
forma 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
c00
0b0
00a
 tais que a, b, c ∈ {–1, 1} 
39 a) 1)Se B é inversível, então existe B–1, tal que 
B ⋅ B–1 = I . 
2) Sendo AB = BA, temos: 
A = A ⇔ A ⋅ I = A ⇔ A ⋅ B ⋅ B–1 = A ⇔ 
⇔ B ⋅ A ⋅ B–1 = A ⇔ B–1 ⋅ B ⋅ A ⋅ B–1 = B–1 ⋅ A 
⇔ I ⋅ A ⋅ B–1 = B–1 ⋅ A ⇔ �A ⋅ B–1 = B–1 ⋅ A 
b) A2 + 2AB – B = 0 ⇔ B = A2 + 2AB ⇔ 
⇔ B = A ⋅ (A + 2B) ⇔ 
det B = det [A ⋅ (A + 2B)] = det A ⋅ det (A + 
2B) ≠ 0, 
pois B é inversível. 
Se det A ⋅ det (A + 2B) ≠ 0, então det A ≠ 0 e, 
portanto, 
A é inversível. 
40 e 
41 00-C; 01-E; 02-C. 
42 a 
43 45 
44 d 
45 zero 
46 c 
47 00-F; 01-F; 02-V; 03-F 
48 b 
49 
1b
1bD 2
2n2
n −
−=
+
 
50 Sendo A = (aij) uma matriz simétrica tem-se que 
aij = aij. 
• Da condição I, obtém-se os elementos a12, a21, 
a23 e a32 cujos valores correspondem à distância 
dos pontos P e Q, intersecções da parábola y = x2 
− 2x + 1 com a reta y = −x + 1Resolvendo-se o sistema ⎪⎩
⎪⎨⎧ +−=
+−=
1xy
1x2xy 2 , obtem−se 
x = 0 ou x = 1. 
 Para x = 0 encontra-se y = 1 e para x = 1 
encontra-se y = 0, assim P(0,1) e Q(1,0) ou P(1, 
0) e Q(0, 1) e a distância entre P e Q é 2 
Logo, a12 = a21= a23 = a32 = 2 
 
• Da condição II. obtém-se os elementos a13 e a31 
cujos valores correspondem à área do triângulo 
PQR, sendo R o simétrico de Q em relação à 
origem e portanto R(−1, 0) se Q (1, 0) ou R (0, 
−1) se Q (0,1) 
A área do triângulo PQR em qualquer caso é igual 
a 1. 
Logo, a13 = a31 = 1. 
 
• Da condição III, obtém-se os elementos da 
diagonal a11, a22 e a33. cujos valores 
correspondem ao valor máximo da função 
quadrática f(x) = −2x2 + 4x. 
A função quadrática tem valor máximo que ocorre 
para 1
)2(2
4x =−
−= . Logo, o valor máximo é f(1) = 
2 e a11 = a22 = a33 = 2. 
 
Matemática – Ney 
 
 
 
14 
A matriz é 
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
2 2 1
2 2 2
1 2 2
 e o determinante 
2 2 1 
2 2 2
1 2 2
 = 8 + 2 + 2 − 2 − 4 − 4 = 2 
51 a 
52 d 
53 e 
54 c 
55 EEEEC 
56 c 
57 d 
58 a 
59 e 
60 det(A2 + AB – BA – B2) = 27 
61 d 
62 d 
63 d 
64 b 
65 a)
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=
−−
−
−+−
−−
0
0
0
0
0
0
6x
5x
4x
3x
2x
1x
1120000
2)1a8(6000
011200
000100
0001)1a8(0
000021
 
; 
b) a = 8
1 ou a = 8
31− ; 
c) (1, -1/2, 0, 0, 0, 0) 
66 e 
67 e 
68 e 
69 e 
70 SPI0ba →== 
SPD0ba →≠±= 
SIba e ba →−≠+≠ 
71 FVVVF 
72 
73 a 
74 c 
75 VVFF 
76 e 
77 46 
78 08 
79 b 
80 a 
81 4 mesas de 3 lugares 
6 mesas de 4 lugares 
6 mesas de 6 lugares 
82 Açúcar 200g, Farinha 400g, Manteiga 400g 
83 a) 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=
=+
=++
3
z)(xy
17,2568z5x
0,5zyx
 
b) 250g de amendoim, 125g de castanha de 
caju e 125g de castanha-do-pará. 
84 13 vermelha e 7 brancas 
85 e 
86 3060 residências 
87 a 
88 a) Sejam x o número de galos, y o número de 
galinhas e z o número de ternos de frangos 
comprados. Então: 
1003zyx
100z3y 5x 
 
 100z3yx
100z1y3x5
=++
=++⇔=++
=⋅+⋅+⋅
 
E, supondo que a moeda não tenha 
subdivisões, temos 3NU = . 
b) 
z7200y
z4100x
z3100yx
z100y3x5
100z3yx
100zy3x5
−=
+−=⇔−=+
−=+⇔=++
=++
 
c) 4 galos; 18 galinhas; 3 . 26 = 78 frangos; 
8 galos; 11 galinhas; 3 . 27 = 81 frangos; 
12 galos; 4 galinhas; 3 . 28 = 84 frangos. 
89 a) (-m – 1, m + 3, -2m – 2); 
b) 1, -3 –2i e –3 + 2i 
90 c 
91 c 
92 x = 0, y = z. O conjunto solução é a reta y = z 
no plano x = 0. 
93 b 
94 a 
95 a = 2 ( ){ }Z,Z57,Z57/Z −+−ℜ∈ 
96 a) A proposição é falsa 
b) A proposição é falsa 
97 b 
98 d 
99 { }
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ ∈⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+= 5- - R t.q.ww;
3
5;
3
8- ;w
3
31V 
100 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Cada equação pode ser representada por uma reta no plan
b) x1 = 4/3, x2 = 4/3 
101 c 
102 a) ⇔
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
⋅+
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⋅+
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
⋅
0
0
0
7
10
1
z
1
0
2
y
1
2
1
x 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++−
=−
=−+
⇔
0z7yx
0z10 x2
0zy2x
 
Como no sistema linear homogêneo da 
página anterior, 
0
711
1002
121
D =
−
−
−
= , conclui-se que o sistema 
possível e indeterminado e, portanto, infinitas 
triplas ordenadas (x, y, z) de números 
satisfazem a equação matricial dada. 
b) V = {(3a – b; – 5a + 2b)} 
103 c 
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