Cap. 4 - FUNÇÕES - parte 1

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Elementos de Cálculo I 
Professor Wallace Nascimento Pinto Jr 
 
Capítulo 4 – Funções - parte 1 
 
Definições 
 
Definição de Função – Dados dois conjuntos X e Y , não vazios, uma função de :f X Y→ é uma 
relação que associa a cada elemento x X∈ um único elemento ( )f x y Y= ∈ . 
• O conjunto X é chamado domínio da função (notação: ( )D f ). 
• O conjunto Y é chamado contradomínio da função (notação: ( )CD f ) 
Uma das formas de ver a função é como um diagrama de flechas. Cada flecha deve conectar um 
elemento de X com um elemento de Y . Vejamos, com o auxílio de diagrama de flechas, quando 
é que uma relação f de X e Y não constitui uma função: 
1) Se existir um elemento de X do qual 
não parta flecha alguma. 
 
 
 
 
2) Se existir um elemento de X do qual 
partam duas ou mais flechas. 
 
 
Definição de Imagem – Dada uma função :f X Y→ , sua imagem é o conjunto 
{ }Im( ) ( ) |f f x x X Y= ∈ ⊂ 
Ou seja, é o conjunto de todos os elementos de Y que estão relacionados com elementos 
X através de f . 
 
As funções que vamos trabalhar neste curso são conjuntos de pares ordenados. Geralmente (mas 
nem sempre), a função f tem uma fórmula (ou lei de correspondência) ( )y f x= . 
 
� Exemplo 1: Consideremos a função :[ 2,4]f − → ℝ , dada por ( ) 2f x x= . 
• O domínio de f é o intervalo { }[ 2, 4] | 2 4x x− = ∈ − ≤ ≤ℝ . O contradomínio de f é ℝ . 
• A imagem de f é o conjunto [ ]{ } [ ]Im( ) 2 | 2,4 4,8f x x= ∈ − = − . 
 
 
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• A imagem dos elementos 
12, 0, e 4
2
− são, respectivamente, ( 2) 4f − = − , (0) 0f = , 
1
 1
2
f   = 
 
 e (4) 8f = . 
� Exemplo 2: Consideremos a função :g →ℝ ℝ , dada por 2y x= . 
• O domínio de g é ℝ . O contradomínio também é ℝ . 
• A imagem de g é o conjunto 
{ } { }2Im( ) | | 0g x x y y += ∈ = ∈ ≥ =ℝ ℝ ℝ (reais não negativos) 
 
 Observações 
1) Quando uma função é dada pela regra y = f(x) é comum referir-se à variável y como variável 
dependente e à variável x como variável independente. É usual dizer que y é função de x. 
2) Duas funções :f A B→ e :g C D→ são iguais se, e somente se, A C= , B D= e 
( ) ( ), f x g x x A= ∀ ∈ . Ou seja, duas funções são iguais quando tem o mesmo domínio, o 
mesmo contradomínio e a mesma lei de correspondência. 
3) Daqui em diante, se uma função for dada por uma fórmula e o domínio não for definido 
explicitamente, convenciona-se que o domínio é o maior subconjunto de ℝ no qual a 
fórmula tem sentido. 
Para o contradomínio, convenciona-se que é ℝ . 
 
� Exemplo 3: Encontre o domínio de ( ) 2f x x= − . 
 
 
 
 
 
� Exemplo 4: Encontre o domínio de 2
1y
x x
=
−
. 
 
 
 
 
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Representações de Funções 
 
É possível representar uma função de quatro maneiras: 
� Verbalmente (descrevendo-a com palavras) 
� Numericamente (por meio de uma tabela de valores) 
� Visualmente (através de um gráfico) 
� Algebricamente (utilizando-se uma fórmula explícita) 
 
Se uma função puder ser representada das quatro maneiras, em geral é útil ir de uma 
representação para a outra, a fim de ganhar um entendimento adicional da função. Porém, certas 
funções são descritas mais naturalmente por um método que por outro. 
 
� Exemplo 1: A mais útil dentre as representações da área de um círculo em função de seu raio é 
provavelmente a fórmula ( ) 2A r rpi= , apesar de ser possível elaborar uma tabela de valores, 
bem como esboçar um gráfico (meia parábola). 
Como o raio do círculo é positivo ou nulo, o domínio da função é { } [ )| 0 0,r r∈ ≥ = +∞ℝ e a 
imagem também é [ )0, +∞ . 
 
� Exemplo 2: O custo ( )C p de enviar uma carta pelo correio depende de seu peso p . No Brasil, 
em 2011, o serviço postal para cartas não comerciais seguia esta regra: o custo é R$ 0,75 até 20 
g, R$ 1,15 para pesos entre 20 e 50 g (inclusive), e assim por diante. A tabela de valores mostrada 
abaixo é a representação mais conveniente dessa função, embora seja possível esboçar seu 
gráfico (veremos mais tarde no curso). 
 
( ) p gramas ( ) ( ) C p reais 
0 20p< ≤ R$ 0,75 
20 50p< ≤ R$ 1,15 
50 100p< ≤ R$ 1,60 
100 150p< ≤ R$ 2,00 
150 200p< ≤ R$ 2,45 
⋮ ⋮ 
 
� Exemplo 3: Considere a seguinte tabela: 
Ano População (milhões) Ano População (milhões) 
1900 1650 1960 3040 
1910 1750 1970 3710 
1920 1860 1980 4450 
1930 2070 1990 5280 
1940 2300 2000 6080 
1950 2560 
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Podemos descrever esta função em palavras: ( )P t é a população humana mundial no instante 
t . A tabela de valores acima nos fornece uma representação conveniente dessa função. Se 
marcarmos esses valores no plano cartesiano, vamos obter o gráfico da figura abaixo (chamado 
diagrama de dispersão). 
 
 
 
Ele também é uma representação útil, já que nos possibilita absorver todos os dados de uma vez. 
E o que dizer sobre uma fórmula para a função? Naturalmente, é impossível dar uma fórmula 
explícita para a população humana exata ( )P t em qualquer momento t . Porém, é possível 
encontrar uma expressão aproximada para ela, usando métodos matemáticos: 
( ) ( ) ( ) ( )0,008079266 1,013731 tP t f t≈ = ⋅ 
A figura abaixo mostra que o “ajuste” é bem razoável. A função f é chamada modelo 
matemático do crescimento populacional. 
 
 
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Gráfico de uma função 
 
O método mais comum de visualizar uma função consiste em fazer seu gráfico. Se f for uma 
função com domínio X , então seu gráfico será o conjunto de pares ordenados 
( )( ){ }, x f x x X∈ 
O gráfico de uma função nos dá uma imagem útil de seu comportamento ou da sua “história de 
vida”. O gráfico também nos permite visualizar o domínio sobre o eixo x e a imagem sobre o eixo 
y , como na figura abaixo. 
 
 
� Exemplo 4: O gráfico de uma função f está na figura abaixo. 
 
 
a) Encontre os valores de ( )1f e ( )5f . 
 
 
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b) Quais são o domínio e a imagem de f ? 
 
 
� Exemplo 5: Esboce o gráfico e encontre o domínio e a imagem de cada função. 
a) ( ) 2 1g x x= − 
 
 
 
 
 
 
 
b) ( ) 2q x x= 
 
 
 
� Exemplo 6: Se ( ) 22 5 1f x x x= − + e 0h ≠ , determine ( ) ( )f a h f a
h
+ −
. 
 
 
 
 
 
 
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Como vimos, o gráfico das funções que estamos estudando é uma curva no plano cartesiano. Então, surge 
uma pergunta: quais curvas no plano cartesiano são gráficos de funções? Essa pergunta será respondida 
por meio do teste a seguir. 
 
TESTE DA RETA VERTICAL 
Uma curva no plano cartesiano é o gráfico de uma função de x se e somente se nenhuma reta 
vertical cortar a curva mais de uma vez. 
 
� Exemplo 7: Verifique se as curvas abaixo representam o gráfico de uma função. Caso represente, 
escreva o domínio da função.