Cap. 7 - DERIVADAS - parte 5

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Elementos de Cálculo I 
Professor Wallace Nascimento Pinto Jr 
 
Capítulo 7 – Derivadas – parte 5 
 
Derivadas de Ordem Superior 
 
 
 
� Exemplo 31: Determine as derivadas de ordem 2 e 3 da função ( ) 4 22f x x x= + . 
 
 
 
 
 
 
 
� Exemplo 32: Determine as derivadas de ordem 2 e 3 da função ( ) ( )2 3 1f x x x= + . 
 
 
 
 
 
Definição: 
Se f for uma função diferenciável, então sua derivada /f é também uma função. Logo, 
( )// / /f f= . Essa nova função / /f é chamada derivada segunda de f (ou derivada de ordem 2), 
pois é a derivada da derivada de f . 
Usando a notação de Leibniz, escrevemos a derivada segunda de ( )y f x= como 
2
2
d dy d y
dx dx dx
 
= 
 
 
O processo pode ser continuado: 
/ / /f é a derivada terceira de f , ( )4f é a derivada quarta, e assim 
sucessivamente. Em geral, a derivada n-ésima de f é denotada por ( )nf ou 
n
n
d y
dx
 e é obtida de f 
diferenciando n vezes. 
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OBS: Antes de calcular a derivada segunda, simplifique a derivada primeira tanto quanto possível. 
Assim, você terá menos trabalho nos cálculos. 
 
� Exemplo 33: Encontre 
( )27f para ( )( ) cosf x x= . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
� Exemplo 34: A figura mostra os gráficos de f , /f e / /f . Identifique cada curva e explique suas 
escolhas. 
 
 
 
 
Derivação Implícita 
 
As funções encontradas até agora podem ser descritas expressando-se uma variável 
explicitamente em termos de outra, por exemplo, 
2 1y x= + ou ( )cosy x x= 
ou, em geral, ( )y f x= . 
Entretanto, algumas funções são definidas implicitamente por uma relação entre x e y , tal como 
2 2 1x y+ = ou 3 32 3 5x y xy+ = 
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Considerando a primeira equação, esta representa uma circunferência de raio 1 e centro na 
origem. Note que a circunferência não é o gráfico de nenhuma função! (Lembre-se: se uma curva 
é o gráfico de alguma função, então qualquer reta vertical tocará esta curva no máximo em um 
ponto!) 
Então, se quisermos determinar a equação da reta tangente a esta circunferência num ponto 
usando derivadas, devemos olhar esta circunferência como gráfico de uma função, de forma a 
determinar o coeficiente angular da tangente. 
Mas, qual função usar? Neste caso, podemos isolar y na equação acima, obtendo as funções 
21y x= − e 21y x= − − 
 
Por outro lado, considerando a segunda equação, 
3 32 3 5x y xy+ = , não é fácil escrevê-la 
explicitamente como uma função de x . Neste caso, o mais indicado é usar o procedimento 
denominado derivação implícita (ou diferenciação implícita). Este processo consiste em derivar 
os dois lados da equação em relação a x , considerando y como uma função de x sem isolá-lo. 
Vejamos como fazê-lo. 
� Exemplo 35: a) Se 
2 2 1x y+ = , encontre dy
dx
. 
(b) Encontre uma equação da reta tangente ao círculo 
2 2 1x y+ = no ponto 2 2,
2 2
 
  
 
 
Solução 1 (Usando a derivação implícita) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Solução 2 (Sem usar a derivação implícita) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBS: A expressão 
dy x
dx y
= − na Solução 1 dá a derivada em termos de x e y . Isso está correto 
independentemente de qual função y fique determinada pela equação dada. Por exemplo, para 
21y x= − , temos 
21
dy x x
dx y x
= − = −
−
 
enquanto que para 
21y x= − − , temos 
2 21 1
dy x x x
dx y x x
= − = − =
− − −
 
 
� Exemplo 36: (a) Se 
3 32 3 5x y xy+ = , encontre /y . 
(b) Determine a equação da reta tangente a esta curva no ponto ( )1,1P . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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� Exemplo 37: A função arco seno é a função inversa da função seno, definida como: 
( ) ( )arcsen seny x y x= ⇔ = , onde 
2 2
ypi pi− ≤ ≤ 
Usando a derivação implícita e a relação trigonométrica fundamental, mostre que 
( )
2
1
arcsen
1
d
x
dx x
  = 
−
.