4ª Lista de Exercícios - 2016.2 - SI

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ÁLGEBRA VETORIAL E LINEAR PARA COMPUTAÇÃO
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA - UFRPE
4a LISTA DE EXERCÍCIOS - 2016.2
DATA DE ENTREGA: 13/02/2017
Profo. Gilson Simões
Exercício 0.1. Julgue verdadeiro ou falso os itens a seguir. Justifique!
a) O conjunto D = {(x, y) ∈ R2/x2 + y2 ≤ 1} é um subespaço vetorial de R2.
b) O conjunto S = {(x, y, z) /z = 2x− y} é um subespaço vetorial de R3.
c) O conjunto S = {(x, y, z) /x = z2} não é um subespaço vetorial de R3.
d) O conjunto S = {(x, y, z) /x = 0 e y = |z|} é um subespaço de R3.
Exercício 0.2. Sejam U e V subespaços vetoriais de R4, definidos por:
U = {(x, y, z, t) ∈ R4; x+ 2y − z = 0 e t = 0},
V = [(−1, 2, 3, 0), (3, 1, 4, 0)].
a) Determine uma base para U e indique a dim U.
b) Determine uma base para U ∩ V e indique dim U ∩ V.
c) Determine uma base para U +W. Diga se U +W é soma direta.
Exercício 0.3. Mostre que α =

 1 0
0 1
 ,
 2 0
0 0
 ,
 0 −1
1 0
 ,
 1 0
3 1
 é uma base
para o espaço vetorial M2×2(R).
Exercício 0.4. Considere o espaço vetorial V = R4.
a) Mostre que α = {(1, 0, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 1), (0, 1, 1, 1)} é uma base de R4.
b) Seja β = {(0, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1), (0, 0, 1, 0)} a base canônica do R4. Cons-
trua as matrizes mudança de base [I]βα e [I]αβ .
Exercício 0.5. Considere a base α do Exercício 0.3 e β =

 1 0
0 0
 ,
 0 1
0 0
 ,
 0 0
1 0
 ,
 0 0
0 1

base canônica de M2×2(R).
a) Determine a matriz mudança de base [I]αβ .
b) Determine a matriz mudança de base [I]βα .
Exercício 0.6. Considere o espaço vetorial V = R3.
a) Mostre que α = {(1, 1,−1), (2,−1, 0), (3, 2, 0)} é uma base do R3.
b) Sabendo que [I]αβ =

1 1 0
0 −1 1
1 0 −1
 determine a base β.
c) Determine [v]β onde [v]α =

−1
2
3
 e [v]α onde [v]β =

−1
2
3
 .
Exercício 0.7. Seja P2(R) o espaço vetorial dos polinômios de grau ≤ 2.
a) Mostre que α = {1− x+2x2, x− x2, x2} e β = {2, 1− x, 1+ x2} são bases de P2(R).
b) Determine [I]αβ .
c) Seja P (x) ∈ P2(R) cujas coordenadas na base β são [p(x)]β =

0
−1
1
 . Determine
[p(x)]α.