BC0005_aula_04_Erros_e_Funcoes_2009-1c

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BC-0005
Bases Computacionais da
Ciência
Bases Computacionais da
Ciência
Aula 04
Elaboração de Gráficos, Erros e
Santo André, março de 2009
Equipe de Professores de Bases Computacionais
Elaboração de Gráficos, Erros e
Aproximações de Funções
Roteiro desta aula
PARTE I – Utilização do BrOffice para Elaboração de Gráficos
• Elaboração de Gráficos de Dispersão Bidimensionais• Elaboração de Gráficos de Dispersão Bidimensionais
• Linhas de tendência: regressão linear, logarítmica, 
exponencial e geométrica
• Equação da curva de ajuste e função de correlação
• Barras de erro: constante, percentual
• Mudanças de escala
PARTE II – Exercícios Propostos
2
Elaboração de Gráficos (revisão) 
Suponha que determinado processo tenha como resultado um 
aumento de temperatura da água (ºC) ao longo do tempo 
(horas). As medidas foram tabeladas, como mostrado a seguir
Tempo (horas) Temperatura (ºC) 
0 23
2 27
4 31
6 36
8 418 41
10 45
12 49
14 52
3
Gráfico de Dispersão
• Usando o BrOffice, selecione 
as colunas referentes aos 
dados de tempo e temperaturadados de tempo e temperatura
• Vá ao menu Inserir →
Gráfico → XY (Dispersão) 
• Série de dados em colunas e 
a primeira linha como rótulo
4
Elementos Gráficos
• Não exibir legenda. Colocar os rótulos (nomes) dos • Não exibir legenda. Colocar os rótulos (nomes) dos 
eixos x e y
• Exibir grades para os eixos x e y
5
Alteração das Dimensões
• As dimensões dos gráficos 
60
• As dimensões dos gráficos 
podem ser alteradas 
conforme a necessidade
• Para a alteração das 
dimensões, use o mouse, 
alterando o tamanho do 
eixo x, do eixo y ou de 
10
20
30
40
50
T
e
m
p
e
r
a
t
u
r
a
 
(
º
C
)
eixo x, do eixo y ou de 
ambos (diagonal) 
6
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0
Tempo (horas)
Estatística dos Dados
• Para analisar dados adquiridos em um experimento sempre é 
aconselhável usar estatística, para melhor entendimento dos 
resultadosresultados
• Com o gráfico selecionado, vá em Inserir → Linhas de 
Tendência
7
Linhas de Tendência
• As linhas de tendência procurarão ajustar uma curva analítica 
para a descrição dos dados (experimentais) da planilha
• As opções de linhas de tendência disponíveis no BrOffice são: • As opções de linhas de tendência disponíveis no BrOffice são: 
nenhuma (padrão: não mostra curva), linear, logarítmica, 
exponencial e geométrica
• Há também a opção de mostrar a equação de ajuste e o 
coeficiente R2
• O coeficiente R2 define quão 
boa é a curva de ajuste 
definida para os dados e varia 
boa é a curva de ajuste 
definida para os dados e varia 
de 0 a 1 
• Quanto mais próximo de 1 for 
o coeficiente, melhor será a 
curva de ajuste
8
Curva de Tendência Linear
Equação de 
50
60
O número de 
casas 
decimais Equação de 
ajuste e 
Coeficiente 
R2
10
20
30
40
f(x) = 2,14286x + 23,00000
R² = 0,99668
T
e
m
p
e
r
a
t
u
r
a
 
(
º
C
)
decimais 
mostrado pelo 
BrOffice e o 
tamanho da 
fonte podem 
ser ajustados 
nas 
propriedades!
9
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0
R² = 0,99668
Tempo (horas)
propriedades!
Curva de Tendência Logarítmica
50
60
Observe que 
haverá 
sempre um 
10
20
30
40
f(x) = 13,17043 ln(x) + 14,97380
R² = 0,94434
T
e
m
p
e
r
a
t
u
r
a
 
(
º
C
)
haverá 
sempre um 
ajuste do 
tipo de curva 
escolhida que 
melhor se 
ajusta aos 
dados!
10
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0
R² = 0,94434
Tempo (horas)
Curva de Tendência Exponencial
50
60
10
20
30
40
f(x) = 24,22593·1,06094 x^
R² = 0,97947
T
e
m
p
e
r
a
t
u
r
a
 
(
º
C
)
11
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0
R² = 0,97947
Tempo (horas)
Curva de Tendência Geométrica
50
60
10
20
30
40
f(x) = 20,09878 x 0^,34925
R² = 0,97499
T
e
m
p
e
r
a
t
u
r
a
 
(
º
C
)
12
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0
R² = 0,97499
Tempo (horas)
Barras de Erro
• Com o gráfico selecionado, vá em Inserir → Barras de Erro Y 
As opções mais comuns serão valor constante e valor percentual
13
Barra de Erro Constante
• Os erros aparecem sempre devido a imprecisões nas 
medidas dos dados. Pense, por exemplo, na medida de 
tempo, tomada com um cronômetro, que um objeto leva tempo, tomada com um cronômetro, que um objeto leva 
para percorrer determinada distância
• Nesse caso, a medida dependerá bastante da precisão 
com que o operador do cronômetro para o processo de 
contagem do tempo 
• O erro de um determinado instrumento é sempre suposto 
como sendo metade de sua menor divisão, para mais ou 
• O erro de um determinado instrumento é sempre suposto 
como sendo metade de sua menor divisão, para mais ou 
para menos. No caso do termômetro do exemplo ter 
divisões de 1 ºC, seu erro será de 0,5 ºC
14
Barras de Erro de 0,5 ºC
Observe se a 
curva 
ajustada se 
50
60
curva 
ajustada se 
encontra no 
intervalo 
definido pelas 
barras de 
erros!
10
20
30
40
f(x) = 2,14286x + 23,00000
R² = 0,99668
T
e
m
p
e
r
a
t
u
r
a
 
(
º
C
)
15
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0
R² = 0,99668
Tempo (horas)
Barras de Erro de 5 ºC
Nesse caso, 
as barras de 
50
60
Apenas 
para 
melhor 
as barras de 
5 ºC só 
fariam 
sentido se o 
termômetro 
tivesse 
precisão de 
10 ºC!!
10
20
30
40
f(x) = 2,14286x + 23,00000
R² = 0,99668
T
e
m
p
e
r
a
t
u
r
a
 
(
º
C
)
melhor 
visualizar 
as barras 
de erros, 
estas 
foram 
alteradas 
para 5 ºC!
10 ºC!!
16
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0
R² = 0,99668
Tempo (horas)
alteradas 
para 5 ºC!
Barra de Erro Percentual
• O erro percentual depende da grandeza que está sendo 
medida
O erro percentual depende da grandeza que está sendo 
medida
• Isso tende a causar erros grandes quanto maiores forem 
as leituras do equipamento, o que pode ser evidenciado pelo 
gráfico a seguir, onde são mostrados os dados do nosso 
termômetro de exemplo com erros de 5% (diferente de 
5ºC !) sobre a medida 5ºC !) sobre a medida 
17
Barra de Erro Percentual
Note que 
para valores 
50
60
para valores 
maiores de 
temperatura, 
as barras de 
erros são 
também 
maiores. 
10
20
30
40
f(x) = 2,14286x + 23,00000
R² = 0,99668
T
e
m
p
e
r
a
t
u
r
a
 
(
º
C
)
18
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0
R² = 0,99668
Tempo (horas)
Barra de Erro Padrão
• O erro padrão (parâmetro estatístico que será abordado em 
aula futura) também pode ser usado para a descrição dos 
erros no BrOffice, assim como o desvio padrão e a variância 
60
20
30
40
50
60
T
e
m
p
e
r
a
t
u
r
a
 
(
º
C
)
19
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0
10 f(x) = 2,14286x + 23,00000
R² = 0,99668
Tempo (horas)
Linhas de Tendência com 
Gráfico de Barras
• O uso de linhas de tendência pode ser feito também com • O uso de linhas de tendência pode ser feito também com 
outros tipos de gráficos, como os gráficos de barras
6
8
10
12
14
16
Empresa A
Regressão 
linear de 
Empresa A
Empresa B
L
u
c
r
o
 
A
p
u
r
a
d
o
 
(
m
i
l
h
õ
e
s
 
d
e
 
R
$
)
6
8
10
12
14
16
Empresa A
Regressão 
logarítmica 
de Empresa 
A
L
u
c
r
o
 
A
p
u
r
a
d
o
 
(
m
i
l
h
õ
e
s
 
d
e
 
R
$
)2004 2005 2006 2007 2008
0
2
4
6 Empresa B
Regressão 
linear de 
Empresa B
Ano
L
u
c
r
o
 
A
p
u
r
a
d
o
 
(
m
i
l
h
õ
e
s
 
d
e
 
R
$
)
2004 2005 2006 2007 2008
0
2
4
6 Empresa B
Regressão 
logarítmica 
de Empresa 
B
Ano
L
u
c
r
o
 
A
p
u
r
a
d
o
 
(
m
i
l
h
õ
e
s
 
d
e
 
R
$
)
Regressão Linear Regressão Logarítmica 20
Problema com Escalas
• A tabela a seguir representa os resultados de 
probabilidade de Bloqueio em duas Redes de Comunicação 
• Esses dados são apresentados em um gráfico de linhasEsses dados são apresentados em um gráfico de linhas
Carga na 
Rede (%) 
Probabilidade de Bloqueio
Rede A Rede B
0.2 8,00E-002 7,63E-003
0.4 2,43E-001 8,00E-002
0.6 4,30E-001 2,83E-001
0.8 6,70E-001 4,58E-001 3,00E-001
4,00E-001
5,00E-001
6,00E-001
7,00E-001
8,00E-001
Rede A
Rede B
P
r
o
b
a
b
i
l
i
d
a
d
e
 
d
e
 
B
l
o
q
u
e
i
o
0.8 6,70E-001 4,58E-001
• Note que a escala linear 
não permite a visualização 
correta da significância de 
um dos dados!!
0.2 0.4 0.6 0.8
0,00E+000
1,00E-001
2,00E-001
3,00E-001 Rede B
Carga na Rede
P
r
o
b
a
b
i
l
i
d
a
d
e
 
d
e
 
B
l
o
q
u
e
i
o
21
Mudança de Escala
• A escala linear não é adequada para a apresentação de dados 
com ordens de grandeza muito diferentes 
• Nestes casos deve-se optar por uma mudança de escala
• Selecione o eixo para o qual a escala será alterada 
(Ex: Eixo Y – dê dois cliques sobre o Eixo Y) 
• Uma caixa de diálogo com todas as características do 
Eixo Y será apresentada 22
Escala Logarítmica
• Na aba Escala, selecione a opção Escala do logaritmo.
1,00E+000
1,00E-002
1,00E-001
1,00E+000
Rede A
Rede B
P
r
o
b
a
b
i
l
i
d
a
d
e
 
d
e
 
B
l
o
q
u
e
i
o
0.2 0.4 0.6 0.8
1,00E-003
Carga na Rede (%)
P
r
o
b
a
b
i
l
i
d
a
d
e
 
d
e
 
B
l
o
q
u
e
i
o
23
Comparação Escala Linear X 
Logarítmica
8,00E-001 1,00E+000
1,00E-001
2,00E-001
3,00E-001
4,00E-001
5,00E-001
6,00E-001
7,00E-001
Rede A
Rede B
P
r
o
b
a
b
i
l
i
d
a
d
e
 
d
e
 
B
l
o
q
u
e
i
o
1,00E-002
1,00E-001
1,00E+000
Rede A
Rede B
P
r
o
b
a
b
i
l
i
d
a
d
e
 
d
e
 
B
l
o
q
u
e
i
o
0.2 0.4 0.6 0.8
0,00E+000
1,00E-001
Carga na Rede
P
r
o
b
a
b
i
l
i
d
a
d
e
 
d
e
 
B
l
o
q
u
e
i
o
0.2 0.4 0.6 0.8
1,00E-003
Carga na Rede (%)
P
r
o
b
a
b
i
l
i
d
a
d
e
 
d
e
 
B
l
o
q
u
e
i
o
Escala Linear Escala Logarítmica
24
Dados melhor visualizados em 
Escala Logarítmica, mas 
apresentados em Escala Linear
20000
30000
40000
50000
60000
y
10 100 1000 10000 100000
0
10000
x
Atenção especial para os valores dos dados!!!
Note que a Escala do Eixo X já é logarítmica. 25
Escala Log x Log
100000
10
100
1000
10000
y
10 100 1000 10000 100000
1
x
Melhor apresentação dos valores reais! 
26
Concluindo...
o Nesta aula discutimos alguns pontos importantes da 
visualização de dados usando gráficos. Estes pontos visualização de dados usando gráficos. Estes pontos 
são:
• Elementos (eixos e legendas) 
• Tamanho
• Aproximação de Funções
• Curvas de Erros
• Escalas• Escalas
27
Exercícios
Exercício de Sala de Aula: Dado um conjunto de dados que 
representam os resultados de exames de saúde obtidos de um 
grupo de 40 homens (Tabela 1):
1- Faça dois gráficos de dispersão do IMC x Peso, atribuindo erros
de 5 e 10% para o IMC
2- Para cada um dos gráficos trace linhas de tendência linear,
logarítmica, exponencial e geométrica
3- Discuta a equação da curva de ajuste e o coeficiente R2 para
todos os ajustes realizados
28
Exercício para casa: Dado o conjunto de dados que relaciona massa com 
diâmetro em um experimento de dimensão fractal (Método utilizado para
medir comprimentos, áreas e volumes fragmentados) (Tabela 2):
1- Faça um gráfico linear da massa (M) x diâmetro (D) 
2- Faça um gráfico (“loglog”) da massa (M) x diâmetro (D) 
3- Converta os dados da tabela em log(M) e log(D) e faça um gráfico
linear dos dados convertidos
3- Converta os dados da tabela em log(M) e log(D) e faça um gráfico
linear dos dados convertidos
4- Determine a dimensão fractal, dado pelo coeficiente angular da reta
do gráfico de logM x LogD
Obs.: A dimensão fractal é dada pela relação:
M ~ Ddf
onde M e D correspondem à massa e ao diâmetro medidos
respectivamente. Ao fazer um gráfico “loglog” da massa em função do D respectivamente. Ao fazer um gráfico “loglog” da massa em função do D 
temos que:
log (M) = df. log (D) 
Desta forma, se o gráfico “loglog” for uma reta descrita por uma equação
do tipo: y= A.x+ B, o valor da dimensão fractal será dado por A 29
Tabela 1
30
D (mm) M(g) 
2 10,56
4 111,43
5 237,96
8 1176,27
10 2511,89
12 4668,92
14 7885,61
Tabela 2
14 7885,61
16 12416,75
18 18532,18
20 26515,63
22 36663,77
24 49285,39
26 64700,76
28 83241,00
30 105247,62
32 131072,00
34 161075,07
31
34 161075,07
36 195626,87
38 235106,28
40 279900,69
42 330405,74
44 387025,07
46 450170,08
48 520259,73
50 597720,31