gabarito_lista2

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA
FACULDADE DE MATEMÁTICA
Gabarito da Lista 2 -Volume de so´lidos,
comprimento de curvas, a´rea de superf´ıcies de
revoluc¸a˜o e integrais impro´prias
Disciplina: Ca´lculo Diferencial e Integral 2
Curso: Engenharias Aerona´utica e Mecatroˆnica
Professora: Ana Paula Tremura Galves
1. a) V =
pi
2
(e2 − 1)
b) V =
pi
2
c) V =
15
2
pi
d) V = 8pi
e) V =
pi
30
f) V =
3pi
10
g) V =
64
15
pi
h) V =
3
4
pi
i) V =
pi
6
j) V =
208
45
pi
l) V = 2pi
(
ln 3 +
1
3
)
m) V =
16
15
pi
n) V =
8pi
15
o) V =
29
30
pi
p) V =
76
3
pi
2. V =
16
3
r3
3. V = 24
4. V =
√
3
2
5. V = 2
6. V =
4
3
r3
7. a) L =
2
243
(82
√
82− 1)
b) L =
2
27
(55
√
55− 37
√
37)
c) L =
1261
240
d) L = 6 +
1
4
ln 2
e) L =
32
3
f) L =
53
6
8. a) L =
5
3
√
10
b) L = 7
c) L = e3 + 2
9. a) S =
pi
27
(145
√
145− 1)
b) S = 49pi
c) S =
21pi
2
10. a) S =
pi
27
(145
√
145− 10
√
10)
b) S =
pi
6
(5
√
5− 1)
c) S = pia2
11. a)
∫
∞
1
1
(3x+ 1)2
dx =
1
12
, logo a integral e´ convergente.
b) A integral e´ divergente.
c) A integral e´ divergente.
d)
∫
∞
0
x
(x2 + 2)2
dx =
1
4
, logo a integral e´ convergente.
e)
∫
∞
4
e−y/2dy = 2e−2, logo a integral e´ convergente.
f) A integral e´ divergente.
g) A integral e´ divergente.
h) A integral e´ divergente.
i)
∫
∞
−∞
xe−x
2
dx = 0, logo a integral e´ convergente.
j)
∫
3
0
1√
x
dx = 2
√
3, logo a integral e´ convergente.
l) A integral e´ divergente.
m) A integral e´ divergente.
n)
∫
9
1
1
3
√
x− 9
dx = −6, logo a integral e´ convergente.
o) A integral e´ divergente.
p)
∫
1
0
1√
1− x2
dx =
pi
2
, logo a integral e´ convergente.
q)
∫
33
0
(x− 1)− 15dx = 75
4
, logo a integral e´ convergente.
r) A integral e´ divergente.
12. a) A´rea = e
b) A´rea=
2pi
3
c) A´rea= 2
√
2
13. a) A integral e´ convergente.
b) A integral e´ convergente.
c) A integral e´ divergente.
d) A integral e´ convergente.
e) A integral e´ divergente.
f) A integral e´ convergente.
14. A integral converge se, e somente se, p < 1, e nesse caso, seu valor e´
1
1− p .
15. a) Para n = 0, o valor da integral e´ 1, para n = 1 seu valor e´ 1, para n = 2 e´ 2
e para n = 3 o valor da integral e´ 6.
b)
∫
∞
0
xne−xdx = n!
16. Demonstrac¸a˜o.
17. V = pi <∞.