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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro AD1 – CA´LCULO I – 2017/1 Gabarito Questa˜o 1 [2 pontos] Calcule os seguintes limites de func¸o˜es: (a) lim x→−1 x3 − 4x2 − 5x −2 +√3− x (b) limx→2 |6− 5x− x2| − 8 x2 + x− 6 (c) lim x→0 cos(2 5 √ x)− 1 4 5 √ x2 (d) lim x→0 x sen(3x) 1− cos(3x) Soluc¸a˜o: (a) lim x→−1 x3 − 4x2 − 5x −2 +√3− x = limx→−1 [ x3 − 4x2 − 5x −2 +√3− x · −2−√3− x −2−√3− x ] = = lim x→−1 (x3 − 4x2 − 5x)(−2−√3− x) 4− (3− x) = limx→−1 x(x+ 1)(x− 5)(−2−√3− x) x+ 1 = = lim x→−1 x��� �(x+ 1)(x− 5)(−2−√3− x) ���x+ 1 = lim x→−1 x(x− 5)(−2−√3− x) = −24 (b) lim x→2 |6− 5x− x2| − 8 x2 + x− 6 = limx→2 (x2 + 5x− 6)− 8 x2 + x− 6 = limx→2 x2 + 5x− 14 x2 + x− 6 = = lim x→2 (x− 2)(x+ 7) (x− 2)(x+ 3) = limx→2 ��� �(x− 2)(x+ 7) ��� �(x− 2)(x+ 3) = limx→2 x+ 7 x+ 3 = 9 5 (c) lim x→0 cos(2 5 √ x)− 1 4 5 √ x2 = lim x→0 [ cos(2 5 √ x)− 1 4 5 √ x2 · cos(2 5 √ x) + 1 cos(2 5 √ x) + 1 ] = lim x→0 cos2 (2 5 √ x)− 1 (4 5 √ x2) [cos(2 5 √ x) + 1] = = lim x→0 − sen2 (2 5√x) (4 5 √ x2) [cos(2 5 √ x) + 1] = lim x→0 [ sen2 (2 5 √ x) (4 5 √ x2) · −1 cos (2 5 √ x) + 1 ] = = lim x→0 [ sen (2 5 √ x) 2 5 √ x · sen (2 5 √ x) 2 5 √ x · −1 cos (2 5 √ x) + 1 ] = = lim x→0 sen (2 5 √ x) 2 5 √ x · lim x→0 sen (2 5 √ x) 2 5 √ x · lim x→0 −1 cos (2 3 √ x) + 1 = −1 2 (d) lim x→0 x sen(3x) 1− cos(3x) = limx→0 [ x sen(3x) 1− cos(3x) · 1 + cos(3x) 1 + cos(3x) ] = lim x→0 [x sen(3x)] [1 + cos(3x)] 1− cos2(3x) = = lim x→0 [x sen(3x)] [1 + cos(3x)] sen2(3x) = lim x→0 [x��� ��sen(3x)] [1 + cos(3x)] sen�2(3x) = lim x→0 x [1 + cos(3x)] sen(3x) = CA´LCULO I Gabarito AD1 2 = lim x→0 3x [1 + cos(3x)] 3 sen(3x) = lim x→0 [ 3x sen(3x) · 1 + cos(3x) 3 ] = lim x→0 3x sen(3x) · lim x→0 1 + cos(3x) 3 = 2 3 Questa˜o 2 [2 pontos] Considere a func¸a˜o f definida por: f(x) = |10 + 3x− x2| 2 + x , se x < −2 1 + x3, se −2 ≤ x ≤ 1 x3 + 3x2 − 4x 1− |x| , se x > 1 (a) Calcule lim x→−2+ f(x) e lim x→−2− f(x). O que voceˆ pode concluir do lim x→−2 f(x)? (b) Calcule lim x→1+ f(x) e lim x→1− f(x). O que voceˆ pode concluir do lim x→1 f(x)? (c) Calcule lim x→0+ f(x) e lim x→0− f(x). O que voceˆ pode concluir do lim x→0 f(x)? (d) Calcule lim x→2+ f(x) e lim x→2− f(x). O que voceˆ pode concluir do lim x→2 f(x)? Soluc¸a˜o: Primeiramente, fazemos o estudo dos mo´dulos e observamos que |10 + 3x− x2| = x2− 3x− 10, se x < −2, e |x| = x, se x > 1. Da´ı, f(x) = x2 − 3x− 10 2 + x , se x < −2 1 + x3, se −2 ≤ x ≤ 1 x3 + 3x2 − 4x 1− x , se x > 1 Ainda, como x2 − 3x− 10 = (x+ 2)(x− 5) e x3 + 3x2 − 4x = x(x− 1)(x+ 4), temos que: x2 − 3x− 10 2 + x = ��� �(x+ 2)(x− 5) ���2 + x = x− 5, se x < −2 e x3 + 3x2 − 4x 1− x = x(x− 1)(x+ 4) −(x− 1) = x��� �(x− 1)(x+ 4) −����(x− 1) = −x 2 − 4x, se x > 1. Portanto, a func¸a˜o f e´ dada por: f(x) = x− 5, se x < −2 1 + x3, se −2 ≤ x ≤ 1 −x2 − 4x, se x > 1 Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ CA´LCULO I Gabarito AD1 3 (a) Temos que: lim x→−2+ f(x) = lim x→−2+ 1 + x3 = −7 e lim x→−2− f(x) = lim x→−2− x− 5 = −7. Como lim x→−2+ f(x) = lim x→−2− f(x) = −7, segue que lim x→−2 f(x) = −7. (b) Temos que: lim x→1+ f(x) = lim x→1+ −x2 − 4x = −5 e lim x→1− f(x) = lim x→1− 1 + x3 = 2. Como lim x→1+ f(x) 6= lim x→1− f(x), segue que na˜o existe lim x→1 f(x). (c) Temos que: lim x→0+ f(x) = lim x→0+ 1 + x3 = 1 e lim x→0− f(x) = lim x→0− 1 + x3 = 1. Como lim x→0+ f(x) = lim x→0− f(x) = 1, segue que lim x→0 f(x) = 1. (d) Temos que: lim x→2+ f(x) = lim x→2+ −x2 − 4x = −12 e lim x→2− f(x) = lim x→2− −x2 − 4x = −12. Como lim x→2+ f(x) = lim x→2− f(x) = −12, segue que lim x→2 f(x) = −12. Questa˜o 3 [2 pontos] Considere a func¸a˜o f(x) = x+ 1√ x2 + x− 6 . (a) Determine o dom´ınio de f ; (b) Encontre as ass´ıntotas horizontais e as ass´ıntotas verticais, caso existam, do gra´fico de f , fazendo um estudo completo dos limites infinitos e no infinito; (c) Trace um esboc¸o do gra´fico de f , identificando suas ass´ıntotas. Soluc¸a˜o: (a)D(f) = {x ∈ R; x2 + x− 6 > 0} = {x ∈ R; (x+ 3)(x− 2) > 0} = {x ∈ R; x < −3 oux > 2}. (b) Temos que: (i) lim x→−3− x+ 1√ x2 + x− 6 = −∞, pois x+ 1→ −2 < 0 e √ x2 + x− 6→ 0+ quando x→ −3−; (ii) lim x→2+ x+ 1√ x2 + x− 6 = +∞, pois x+ 1→ 3 > 0 e √ x2 + x− 6→ 0+ quando x→ 2+; (iii) lim x→+∞ x+ 1√ x2 + x− 6 = limx→+∞ x√ x2 = lim x→+∞ x |x| = limx→+∞ x x = 1; Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ CA´LCULO I Gabarito AD1 4 (iv) lim x→−∞ x+ 1√ x2 + x− 6 = limx→−∞ x√ x2 = lim x→−∞ x |x| = limx→−∞ x −x = −1; De (i) e (ii), concluimos que as retas x = −3 e x = 2 sa˜o as ass´ıntotas verticais do gra´fico de f e, de (iii) e (iv), concluimos que as retas y = −1 e y = 1 sa˜o as ass´ıntotas horizontais do gra´fico de f . (c) Um esboc¸o do gra´fico de f e´: Questa˜o 4 [2 pontos] Utilize o Teorema do Valor Intermedia´rio para provar que os gra´ficos das func¸o˜es f(x) = 3x2017 + x e g(x) = x2016 + 1 se interceptam em pelo menos um ponto. Soluc¸a˜o: Queremos provar que existe xo ∈ R tal que f(xo) = g(xo), ou seja, que existe xo ∈ R tal que 3x2017o + xo = x 2016 o + 1 ⇔ 3x2017o − x2016o + xo − 1 = 0. Denotando h(x) = 3x2017 − x2016 + x − 1, vamos utilizar o Teorema do Valor Intermedia´rio para provar que a func¸a˜o h tem pelo menos uma raiz real: Como h e´ uma func¸a˜o polinomial e, portanto, cont´ınua, o Teorema do Valor Intermedia´rio garante que: se o intervalo [a, b] e´ tal que h(a) e h(b) tem sinais contra´rios (ou seja, um positivo e o outro negativo) enta˜o ele conte´m pelo menos uma raiz de h. Neste caso, basta encontrarmos um intervalo do tipo [a, b] de modo que h(a) e h(b) tenham sinais contra´rio (ou seja, um positivo e o outro negativo). Para isso, tomamos a = 0 e b = 1: h(a) = h(0) = −1 e h(b) = h(1) = 2. Observamos que h(0) = −1 < 0 e que h(1) = 2 > 0, ou seja, h(0) e h(1) tem sinais contra´rios. Logo, pelo Teorema do Valor Intermedia´rio, o intervalo [a, b] = [0, 1] conte´m pelo menos uma raiz de h, ou seja, existe xo ∈ [0, 1] tal que h(xo) = 0. Portanto, existe xo ∈ [0, 1] tal que 3x2017o + xo = x2016o + 1, ou seja, tal que f(xo) = g(xo). Questa˜o 5 [2 pontos] Considere a func¸a˜o f : [−5,+∞) → R definida abaixo: Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ CA´LCULO I Gabarito AD1 5 f(x) = x3 − 2x2 − 3x√ x+ 5− 2 , se x 6= −1 L, se x = −1 . Determine o valor de L para que f seja cont´ınua em todo seu dom´ınio. Soluc¸a˜o: Para que f seja cont´ınua em todo seu dom´ınio, e´ necessa´rio que f seja cont´ınua em -1, ou seja, devemos ter lim x→−1 f(x) = f(−1) = L. Assim, vamos calcular lim x→−1 f(x). Temos que: lim x→−1 f(x) = lim x→−1 x3 − 2x2 − 3x√ x+ 5− 2 = limx→−1 [ x3 − 2x2 − 3x√ x+ 5− 2 · √ x+ 5 + 2√ x+ 5 + 2 ] = = lim x→−1 (x3 − 2x2 − 3x)(√x2 + 5 + 2) (x+ 5)− 4 = limx→−1 (x3 − 2x2 − 3x)(√x2 + 5 + 2 x+ 1 = = lim x→−1 x(x+ 1)(x− 3)(√x+ 5 + 2) x+ 1 = lim x→−1 x��� �(x+ 1)(x− 3)(√x+ 5 + 2) ���x+ 1 = = lim x→−1 x(x− 3)(√x+ 5 + 2) = 16. Portanto, L = 16. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
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