Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
34 ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR CAPÍTULO 4 BASE – DIMENSÃO - COORDENADAS 1 BASE Definição: Seja V um espaço vetorial finitamente gerado. Uma base de V é um subconjunto finito VB ⊂ satisfazendo: a) B gera V, ou seja, o subespaço gerado por B é igual a V. b) B é LI. Exemplo (1): Mostre que )}2,1,1(),2,1,0(),3,2,1{(B −= é base do ℜ3. Solução: Para verificar o item (a) da definição, vamos mostrar que qualquer vetor do ℜ3 se escreve como combinação linear de B. Seja 3)z,y,x(v ℜ∈= . Então, existem escalares a, b e c ∈ℜ tais que: )2,1,1(c)2,1,0(b)3,2,1(a)z,y,x(v −++== ⇒ ++= −+= += c2b2a3z cba2y cax . Resolvendo o sistema teremos: +− = +−− = −+ = 5 zy2x c 5 z3yx7b 5 zy2x4 a , mostrando que o sistema tem solução. Logo, B gera o ℜ3. Para mostrar o item (b), lembrando que no ℜ3, se três vetores não são coplanares, então eles são LI. Daí é só mostrar que o determinante 0 211 210 321 ≠ − . Portanto B é base do ℜ3. O espaço vetorial nulo V = {0} não possui base, pois o zero é LD. Todos os demais espaços vetoriais possuem infinitas bases. De todas estas infinitas bases, uma delas é considerada a mais simples e chamada de Base Canônica. A base canônica de todo espaço vetorial supõe-se 35 conhecida, elas, geralmente, não são dadas nos exercícios. Portanto, vamos listar as base canônicas do principais espaços vetoriais. São elas: • ℜ ⇒ }1{ • ℜ2 ⇒ )}1,0(),0,1{( • ℜ3 ⇒ )}1,0,0(),0,1,0(),0,0,1{( • ℜn ⇒ )}1,...,0,0(),...,0,...,1,0(),0,...,0,1{( • )(M 2x2 ℜ ⇒ 10 00 , 01 00 , 00 10 , 00 01 • )(Pn ℜ ⇒ { }n2 t,...,t,t,1 Teorema da Invariância: Seja V um espaço vetorial finitamente gerado. Então, qualquer uma de suas bases têm o mesmo número de vetores. ► Processo Prático para obter uma base de um subespaço do ℜℜℜℜn Este processo consiste em colocar os vetores candidatos a base do subespaço, dispostos como linhas de uma matriz e escaloná-la. Depois de escalonada, retirar todas as linhas nulas. As linhas restantes serão vetores LI e formarão a base procurada. Exemplo (2): Seja W um subespaço do ℜ4 que possui o seguinte sistema de geradores )]6,3,0,3(),4,1,1,0(),2,1,0,1(),0,1,1,2[( − . Determine uma base para W. Solução: Vamos aplicar o processo acima: 21 41 LL2 LL3 6303 4110 0112 2101 +− +− → − 32 LL1 0000 4110 4110 2101 + → − −− −− 0000 0000 4110 2101 . Retiradas as linhas nulas, temos que )}4,1,1,0(),2,1,0,1{(B −−= é base de W. Definição: Um conjunto de vetores V}v,...,v,v{ n21 ⊂ é dito LI-Maximal se: a) }v,...,v,v{ n21 é LI b) }w,v,...,v,v{ n21 é LD, Vw ∈∀ 36 Proposição (1): Seja V um espaço vetorial. Um conjunto de vetores }v,...,v,v{ n21 é base de V se for LI-Maximal. 2 DIMENSÃO Definição: Seja V um espaço vetorial finitamente gerado. Denomina-se Dimensão do espaço V, denotado por dim(V), a quantidade de vetores de qualquer uma de suas bases. OBS: Se o número de vetores de uma base de um espaço vetorial é finito, então dizemos que o espaço é de dimensão finita. Os espaços de dimensão infinita não serão objetivos do nossos estudos. Assim, analisando as bases canônicas anteriormente listadas, podemos concluir: • n)dim(;...,3)dim(;2)dim(;1)dim( n32 =ℜ=ℜ=ℜ=ℜ • 2x24)Mdim( 2x2 == • nm)Mdim( mxn ⋅= • 1n)Pdim( n += • 0})0dim({ = Teorema do Completamento: Em um espaço vetorial de dimensão finita, sempre podemos completar um conjunto LI de maneira a obter uma base. Proposição (2): Seja VW ⊆ um subespaço de V. Se )Vdim()Wdim( = então VW = . Proposição (3): Seja V um espaço vetorial e }v,...,v,v{B n21= uma de suas bases. Então, todo elemento de V se escreve de maneira única como combinação linear dos vetores da base B. Teorema (1): Sejam U e W subespaços de um espaço vetorial V. Então: )WUdim()Wdim()Udim()WUdim( ∩−+=+ . Teorema (2): Seja V um espaço vetorial tal que n)Vdim( = . Então: a) Qualquer conjunto com n+1 ou mais vetores é LD. 37 b) Qualquer conjunto LI com n vetores é base de V Exemplo (3): Seja }0ty2x/)t,z,y,x{(W 4 =+−ℜ∈= . Determine a dimensão de W. Solução: Para determinar a dimensão de W é necessário determinar uma de suas bases. De W temos que: ty2x0ty2x −=⇒=+− . Então todo vetor de W é da forma ℜ∈∀− t,z,y),t,z,y,ty2( . Determinando um sistema de geradores para W: )1,0,0,1(t)0,1,0,0(z)0,0,1,2(y)t,z,y,ty2( −++=− . O conjunto formado pelos vetores )}1,0,0,1(),0,1,0,0(),0,0,1,2{(S −= é um sistema de geradores de W. Aplicando o processo prático de obtenção de base teremos: − → − + 0100 2010 1001 0100 0012 1001 21 LL2 . A matriz está escalonada e não apresenta nenhuma linha nula. Logo, os vetores são LI e constituem uma base de W, ou seja, S é base de W. Portanto, 3)Wdim( = . OBS: Um erro muito comum entre os alunos é confundir a quantidade de coordenadas de um vetor, com a quantidade de vetores de uma base. Veja o exemplo (3). A base de W é )}1,0,0,1(),0,1,0,0(),0,0,1,2{(S −= , cujos vetores têm 4 coordenadas, mas 3)Wdim( = , porque na base S temos 3 vetores. Exemplo (4): Seja ]ttt62,tt1,ttt2,t21[U 323232 +−−−+−+−= . Qual é a dimensão de U? Solução: O enunciado diz que o subespaço )(PU 3 ℜ⊂ é gerado pelos vetores dados. Para determinar uma base de U, podemos usar o processo prático, escrevendo uma matriz com os coeficientes dos polinômios dados. Então: − − → −− − − − → −− − − − +− + +− +− 0000 0000 1120 0021 1120 1120 1120 0021 1162 1101 1120 0021 32 42 31 41 LL1 LL1 LL1 LL2 Retiradas as linhas nulas, os polinômios restantes forma uma base de U, ou seja, }tt2,t21{B 32 −+−= é base de U. Portanto, 2)Udim( = . 38 Exemplo (5): Sejam U e W, subespaços do ℜ3, onde }0zy2x/)z,y,x{(U 3 =+−ℜ∈= e }0zy2x3/)z,y,x{(W 3 =++ℜ∈= . Determine uma base e a dimensão para WU + e WU ∩ . O WU3 ⊕=ℜ ? Solução: Primeiro, vamos determinar uma base e a dimensão para U e W. Podemos escrever: }z,y),z,y,zy2{(U ℜ∈∀−= ⇒ )1,0,1(z)0,1,2(y)z,y,zy2( −+=− ⇒ )}1,0,1(),0,1,2{(BU −= é base de U ⇒ 2)Udim( = }y,x),y2x3,y,x{(W ℜ∈∀−−= ⇒ )2,1,0(y)3,0,1(x)y2x3,y,x( −+−=−− ⇒ )}2,1,0(),3,0,1{(BW −−= é base de W ⇒ 2)Wdim( = a) Para determinar uma base de U+W, devemos obter um sistema de geradores fazendo a união da base de U com a base de W e usar o processo prático de obtenção de base. Então, seja )}2,1,0(),3,0,1(),1,0,1(),0,1,2{(BBS WU −−−=∪= o sistema de geradores de U+W. Aplicando o processo teremos: − − − → − − − → − − − → − − − ++−+ +− 000 200 210 301 800 200 210 301 610 200 210 301 012 101 210 301 434231 41 LL4LL1LL1 LL2 . )}2,0,0(),2,1,0(),3,0,1{(B WU −−−=+ é base de U+W ⇒ 3)WUdim( =+ . b) Pelo Teorema (1): )WUdim()Wdim()Udim()WUdim( ∩−+=+ ⇒ )WUdim(223 ∩−+= ⇒ 1)WUdim( =∩ . Portanto,sua base tem que conter apenas um vetor comum a U e a W. Para determinar estes vetor, que está na interseção, fazemos: )2,1,0()3,0,1()1,0,1(b)0,1,2(a)z,y,x( −β+−α=−+= ⇒ β−α−= β= α=− 23b a ba2 ⇒ substituindo a 1ª e a 2ª equações na 3ª, teremos: a2)ba2(3b −−−= ⇒ a4b = . Então: )4,1,2(a)1,0,1(a4)0,1,2(a)z,y,x( −=−+= ⇒ )}4,1,2{(B WU −=∩ é base de WU ∩ . c) O ℜ3 não é soma direta de U com W porque 01)WUdim( ≠=∩ ⇒ }0{WU ≠∩ 39 Exemplo (6): Determine uma base e a dimensão para o espaço das soluções do sistema linear =− =++ =−−− 0tz 0tyx2 0tzyx :L Solução: Como o sistema L é SPI, ele possui infinitas soluções do tipo }t,z,y,x),t,z,y,x{(S ℜ∈∀= . Este conjunto de soluções forma um espaço vetorial. Vamos achar a solução geral do sistema L. Resolvendo o sistema, teremos: }x),x3,x3,x5,x{(S ℜ∈∀−= . Então: )}3,3,5,1{(B −= é base de S ⇒ 1)Sdim( = . 3 COORDENADAS DE UM VETOR A partir de agora, trabalharemos, sempre, com bases ordenadas. Uma base ordenada é aquela em que as posições dos vetores estão fixadas, ou seja, dada uma base qualquer }v,...,v,v{B n21= , então, v1 sempre será o primeiro vetor, v2 sempre será o segundo, assim por diante até o último que sempre será vn. Definição: Sejam V um espaço vetorial e }v,...,v,v{B n21= uma de suas bases ordenadas. Qualquer vetor Vv ∈ se escreve, de maneira única, como combinação linear da base B. Existem escalares Ka,...,a,a n21 ∈ , tais que nn2211 va...vavav +++= . Assim, os escalares n21 a,...,a,a são chamados de coordenadas do vetor v em relação a base B, denotado por: = n 2 1 B a ... a a ]v[ Exemplo (7): Determine as coordenadas do vetor )8,5,1(v −−= em relação: a) Base canônica b) )}1,1,2(),01,2(),0,1,1{(B −= Solução: a) A base canônica do ℜ3 é )}1,0,0(),0,1,0(),0,0,1{(C = . Então: 40 )1,0,0(c)0,1,0(b)0,0,1(a)8,5,1(v ++=−−= ⇒ −= = −= 8c 5b 1a ⇒ − − = 8 5 1 ]v[ C b) Escrevendo v como combinação da base B teremos: )1,1,2(c)1,0,2(b)0,1,1(a)8,5,1(v −++=−−= ⇒ −=+ =− −=++ 8cb 5ca 1c2b2a ⇒ −= 10 18 15 ]v[ B OBS: Note que, as coordenadas de qualquer vetor (de qualquer espaço vetorial) em relação à base canônica do espaço é ele mesmo (ver exemplo (7), item (a)) . Portanto, se nada for dito, as coordenadas de um vetor, vêm sempre dadas em relação à base canônica do espaço. Exemplo (8): Determine as coordenadas do vetor 2tt42)t(p ++= em relação a base }t3t21,t1,2{B 2−+−−= Solução: Vamos escrever p(t) com combinação linear dos vetores da base B. Então: )t3t21(c)t1(b)2(att42)t(p 22 −++−+−=++= ⇒ 22 t)c3(t)c2b()cba2(tt42 −++−+++−=++ ⇒ −= +−= ++−= c31 c2b4 cba22 ⇒ − − − = 3 1 3 14 2 7 B)]t(p[ Exercícios Propostos 41 1) Seja }a4aaea5a2a/)(Ptatataa{W 32132o333221o −=−=ℜ∈+++= . Deter- mine uma base e a dimensão de W. Resp: 2)Wdim(}tt45,tt2{B 32 =⇒+−−++= 2) Determine uma base e a dimensão para W+U e W∩U, onde: }t3ze0y2x/)t,z,y,x{(W 4 −==−ℜ∈= }0tz2yx2/)t,z,y,x{(U 4 =−+−ℜ∈= Resp: 4)UWdim()}3,0,0,0(),1,3,0,0(),1,0,1,0(),0,0,2,1{(B UW =+⇒−−−=+ 1)UWdim(1,3, 3 7 , 3 14B UW =∩⇒ −=∩ 3) Seja −==ℜ∈ = cdeb2a/)(M dc ba W 2x2 . Determine uma base e a dimensão de W e estenda a base de W para obter uma base de )(M 2x2 ℜ . Resp: − = 11 00 , 00 12 BW e − = 10 00 , 00 01 , 11 00 , 00 12 B 2x2M 4) Determine um base e a dimensão do espaço das soluções do sistema =++ =+++− =+−+− =+++ 0t7z5y6 0t3zy4x2 0tzy3x3 0t2z2yx Resp: 2)Sdim(e)}6,0,7,5(),0,6,5,7{(B =−−−−= 5) Mostre que o 3ℜ é soma direta do 0z5y2x:)( =+−pi com a reta z 1 y 2 x :)r( = − = .
Compartilhar