Integral de Linha e Rotacional de um Campo Vetorial

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 INSTITUTO DE FÍSICA DA UFBA 
 DEPARTAMENTO DE FÍSICA DO ESTADO SÓLIDO 
 DISCIPLINA: FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL IV (FIS 124) 
 
 
INTEGRAL DE LINHA E ROTACIONAL DE UM CAMPO VETORIAL 
 
 
Seja um campo de velocidades v
r
 não uniforme em um meio homogêneo de 
densidade ρ. Suponha que coloquemos no interior deste campo um tubo constituido 
de trechos retilíneos, de seção reta constante o qual permite a passagem do fluido 
sem o menor atrito. Suponha ainda que as paredes deste tubo são extremamente 
porosas de modo que o fluido possa atravessá -las sem que sua velocidade seja 
alterada significativamente. 
Num determinado instante, por um processo que não nos interessa agora, as parede do tubo se fecham 
de modo a não permitir a entrada ou a saida de fluido. Assim, durante um certo instante, o fluido que 
estava no interior do tubo continua em movimento. A pergunta será: se não há atrito, haverá continuação 
do movimento? Em outros termos, haverá ou não circulação do fluido? 
Para respondermos a essa questão, devemos lembrar que este é um problema que envolve 
choques, isto é, a massa de fluido contido no lado 1 e que tem velocidade v
r
1 se choca com a massa de 
fluido do lado 2, e assim por diante. Para se estudar este tipo movimento escolhemos como ferramenta o 
momento linear. Assim, se a soma das quantidades de movimento 
p = m1 v1 + m2 v2+ m3 v3 cos θ3 - m4 v4 + m5 v5 cos θ5 ≠ 0, 
podemos afirmar que haverá circulação. Observe que nos lados 3 e 5 o vetor velocidade não é paralelo ao 
respectivo lado, de modo que somente a componente tangencial irá contribuir para a circulação. 
 Observe ainda que podemos reduzir mais ainda estes cálculos. Sabemos que mj = ρVj, onde mj 
e Vj são a massa e o volume do lado j. Se A é a seção reta (constante) do tubo e l j é o comprimento do 
lado j, então mj = ρA l j . Definiremos, então a grandeza p/ρA como : 
[circulação] = Γ = v1 l 1 + v2 l 2 + v3 l 3 cos θ3 - v4 l 4 + v5 l 5 cos θ5 
 Observe que podemos dispensar o recurso do tubo e trabalharmos apenas com os comprimentos, 
isto é ,com as linhas. Vamos generalizar mais ainda nossos cálculos. Suponha que agora o vetor velocidade 
forme um certo ângulo com cada lado. Neste caso, apenas a componente tangencial ( isto é, paralela ao 
lado) da velocidade irá contribuir para a circulação. Esta componente vale vj cos θj, onde θj é o ângulo 
formado entre o vetor jv
r
 e o vetor comprimento assim definido : 
 
 
1
2
3
4
5
 2
 jl
r
 =
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
=
)arbitrário(oantihoráriouhoráriotidosen
jladoaoparalelodireção
jladodoocomprimentmódulo
( 1 ) 
 
 
 
Na figura acima definimos, arbitráriamente, o sentido horário como sendo positivo. Dessa forma a 
circulação poder ser reescrita como 
Γ = ⋅1vr 1lr + ⋅2vr 2l
r
+ ⋅3vr 3l
r
+ ⋅4vr 4lr + ⋅5vr 5l
r
 
( É importante notar, na figura acima, como são definidos os ângulos θj. Note que θ1, θ2 e θ5 são agudos 
e os demais são maiores que 90o. Assim o termo ⋅jvr jl
r
 é positivo para os lados 1, 2 e 5 e negativo para os 
demais, uma vez que ⋅jvr jl
r
= vj jl cos θj torna-se negativo para 90o< θj < 270o. ) 
Se tivermos agora uma curva fechada, constituida de N trechos retilíneos, com o campo de 
velocidades assumindo um valor constante vj no trecho j, a circulação será definida como : 
∑
=
=Γ
N
j 1
⋅jvr jl
r
 
 
1. Integral de linha 
Considere uma curva fechada C dentro de um campo vetorial G
r
. Para definirmos a 
circulação seguiremos os seguintes passos : 
a. Dividimos a curva C em pequenos trechos de comprimento Δ l j de modo que ele 
seja aproximadamente retilineo e que o campo nesse trecho seja aproximadamente 
constante. 
b. Definimos o vetor Δ jl
r
 de acordo com a definição ( 1 ) acima. 
c. A circulação será aproximadamente ∑
=
≅Γ
N
j 1
⋅jG
r
Δ jl
r
 
d. Para encontrarmos o valor exato da circulação basta fazer o limite Δ jl
r → 0. Definimos assim a integral de 
linha: 
∫=Γ .Gv d lr = ∑→Δ N
j
jl
G
j
.lim
0
r
Δ jl
r
 
e. A integral de linha também é definida para curvas abertas. A definição é a mesma, com duas pequenas 
modificações. A primeira se refere à definição do sentido do vetor d l
r
: neste caso costuma-se definir o 
l 1
l 2
l 3
l5
l 4
θ5
θ1
θ2
θ3
θ4
v1
v2
v3
v4
v5
G
C
 3
sentido positivo ao sentido da trajetória. A segunda modificação se refere à notação. Assim, para uma 
trajetória sobre uma curva de extremidades A e B, a integral de linha será: 
 ∫=Γ .GAB r d lr 
 
2. O Rotacional 
O nosso problema agora, consiste em encontrar a propriedade da circulação num ponto e nas 
suas vizinhanças. Seja uma curva C dentro de um campo vetorial G
r
 e um ponto P onde desejamos 
encontrar a circulação. A primeira idéia que surge é a de fazermos a curva tender a zero e calcular a 
circulação. Contudo, neste caso a circulação tenderá a um valor nulo já que ela é, grosso modo, o 
campo vezes o comprimento da curva. O caminho correto é dividir a circulação pela área delimitada pela 
curva e em seguida fazer o limite. Entretanto, para fazermos uma definição correta, devemos levar em conta 
os seguintes aspectos : 
• A curva C não necessariamente repousa sobre um plano e assim é difícil imaginá-la 
"envolvendo" o ponto P. Na realidade, sobre ela se apoiam infinitas superfícies que contém o ponto P. 
Sendo assim, qual superfície devemos escolher para efetuar a razão ΔΓj /ΔA j (circulação dividida pela 
 área) ? 
• Geralmente caracterizamos a superfície ΔA j por um vetor jA
rΔ , pois a orientação desta superfície 
é bastante relevante. Esta orientação deverá ser levada em conta em nossa definição. 
• Corpos em rotação são melhor descritos por vetores (velocidade angular, momento angular, etc.) 
Como estamos trabalhando com caso semelhante - o rotacional - devemos encontrar, portanto, um vetor. 
Em vista destas considerações, definimos um vetor rotacional: 
 
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
Δ=
∫
→Δ j
l
A A
dG
nGrot
j
l
rr
r .
limˆ
0
 ( 2 ) 
onde nˆ é um vetor unitário perpendicular à superfície ΔA j que torna a razão ΔΓj /ΔA j máxima. O sentido 
de nˆ obedece, por definição, a regra da mão direita. 
Exemplo : Se a curva C repousa sobre um plano, é fácil ver que o vetor nˆ é 
perpendicular a este plano, já que a superfície que torna aquela razão máxima 
pertence a este plano (pois é mínima quando comparada com as infinitas 
superfícies que se apoiam sobre C). 
 
 
 
 
 
C
n
 4
a. Teorema de Stokes 
 Se dividirmos a superfície que se apoia sobre C em duas parte, obtemos 2 
contornos fechados C1 e C2. Se a circulação em C é ∫=Γ .Gv d lr , então Γ = Γ1 
+ Γ2, uma vez que os vetores d l
r
 no trecho seccionado são iguais em módulo 
e direção, mas tem sentidos opostos e se anulam mutuamente. 
Se dividirmos a curva C ( ou , em outros termos, a superfície que se apoia sobre C - e isto vale para 
qualquer superfície) em N partes, obtemos: 
∫ .Gr d lr =∑∫N
j
G.
r
d jl
r
= j
N
j j
j
A
A
dG
Δ
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
Δ∑ ∫ .. l
r
 ( 3 ) 
Se multiplicarmos a definição de rotacional ( 2 ) escalarmente por nˆ, obtemos: 
(rot G
r
). nˆ = ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
Δ
∫
→Δ
j
l
A A
dG
j
l.
lim
0
rr
 ( 4 ) 
Assim, se na expressão (3) fizermos o limite ΔA j→0 , a expressão entre o parênteses é justamente(rot G
r
). nˆ e a somatória, por definição, torna-se em integral de superfície. Sabendo-se que nˆ dA = Ad
r
, 
então: 
∫ .Gr d lr = ∫ AdGrot rr ).( 
 
b. O rotacional em coordenadas cartesianas 
A definição de rotacional foi feita sem fazer menção a qualquer 
sistema de coordenadas em particular. Veremos agora como 
esta grandeza pode ser expressa em termos de coordenadas 
cartesianas. Seja então a função vetorial: 
G
r
(x,y,z) = Gx(x,y,z) i
v
 + Gy(x,y,z) j
r
 + Gz(x,y,z) k
r
 
Para obtermos o rotacional dessa função, faremos uma 
integração através de, por exemplo, um retângulo de lados Δx 
e Δy como mostra a fugura ao lado. 
 Aplicando a regra da mão direita, veremos que o vetor nˆ , neste caso, coincide com o próprio vetor 
de base k
r
. A integral ∫ .Gr d lr pode ser calculada somando-se as contribuições de todos os lados, isto é: 
4321 Γ+Γ+Γ+Γ=Γ 
C c1
c2
n
x
y
z
 5
Por outro lado estamos supondo que as dimensões do retângulo sejam tão pequenas de modo que o 
campo em cada lado seja aproximadamente constante e igual ao valor calculado em seu centro. Assim 
podemos escrever iii l
rr Δ⋅=Γ G 
Os vetores il
rΔ serão escritos como: 
il 1
rr
xΔ=Δ jl 2
rr
yΔ=Δ il 3
rr
xΔ−=Δ jl 4
rr
yΔ−=Δ 
Assim 11 l1
rr Δ⋅=Γ )(G = x)(Gx Δ1 , onde Gx(1) é o valor da componente 
x do vetor G
r
no centro do lado (1). Mas 
22
y
y
G)z,yy,x(G)z,y,x(G xxx
∂
∂
∂=Δ−− 
 Observe que na expressão acima omitimos os termos de ordens superiores, uma vez que no limite 
de 0l →Δr eles serão nulos. Assim, usando a notacão )z,y,x(G)P(G ii = , então 
 xy
y
G)P(G xx Δ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ∂
∂
∂−=Γ
21
 
 yx
x
G
)P(Gy)(G yyy Δ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ Δ
∂
∂+=Δ=Γ
2
22 
 xy
y
G)P(Gx)(G xxx Δ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ Δ
∂
∂+−=Δ−=Γ
2
33 
 xx
x
G
)P(Gy)(G yyy Δ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ Δ
∂
∂−−=Δ−=Γ
2
44 
 
Somando-se todos os lados, obtemos 
∫ .Gr d lr = yxyGxG xy Δ⋅Δ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛ ∂∂−∂∂ . Usando yxA Δ⋅Δ=Δ 
então: ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂=Δ
⋅∫
y
G
x
GdG xy
A
l
rr
 
Para o limite 0→ΔA , teremos knˆ r= e 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂=⋅
y
G
x
G
k)Grot( xy
rr
, o que nos dá a componente no eixo z do vetor )Grot(
r
. Para 
encontrarmos as outras componentes, seguimos o mesmo raciocínio e encontraremos finalmente: 
)Grot(
r
 = k
y
G
x
G
j
x
G
z
Gi
z
G
y
G xyzxyz rrv ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂
 
 
x
y
(x,y,z)
1
24
3
 6
Podemos reescrever esse vetor através do operador nabla: 
k
z
j
y
i
x
rrrr
∂
∂+∂
∂+∂
∂=∇ 
 
rot G
r
= GX
rr∇ = 
zyx GGG
zyx
kji
∂
∂
∂
∂
∂
∂
rrr
= k
y
G
x
G
j
x
G
z
Gi
z
G
y
G xyzxyz rrv ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂
 
 
 
 BIBLIOGRAFIA 
1. Purcell E.M., Curso de Física de Berkeley - vol.2, Ed. Edgard Blucher, 1973, São Paulo 
2. Feynmam R., Lectures on Physics - vol. 2, Fondo Educativo Interamericano, 1972, Bogota 
3. Hsu, H.P., Análise vetorial, Livros Técnicos e Científicos, 1972, Rio de Janeiro.