Simulado para 1ºTVC Álgebra Linear, Prof Magno

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A´lgebra Linear - 2017.1 - Prof. Magno
Simulado para a P1
07/04/2017
JUSTIFIQUE TODAS AS RESPOSTAS !
1. Seja (V,+, ·) um espac¸o vetorial. Resolva os itens abaixo:
(a) (1, 0) Sejam u, v ∈ V . Simplifique a expressa˜o
[3(2u− 4v) + 5u+ 7v] ,
detalhando, em cada passagem, a propriedade da soma + ou do produto por
escalar · que esta´ sendo utilizada.
(b) (1, 0) Se o e´ o seu elemento neutro com relac¸a˜o a` soma + e se λ e´ um nu´mero
real arbitra´rio, mostre que λ · o = o.
2. Em R3, considere os vetores
u1 = (1, 1, 1), u2 = (1, 2, 3), u3 = (2,−1, 1).
Resolva os itens abaixo:
(a) (1, 0) Mostre que u1, u2 e u3 sa˜o linearmente independentes.
(b) (1, 0) Escreva o vetor u = (1,−2, 5) como combinac¸a˜o linear de u1, u2 e u3.
3. (2, 0) Em R4, considere subespac¸o vetorial W , conjunto-soluc¸a˜o do sistema linear
homogeˆneo {
x+ y + z + w = 0
x− y + z − w = 0.
Determine uma base para W .
4. Em M2×2(R), considere o subconjunto
W = {
[
a 0
0 b
]
: a, b ∈ R}.
Resolva os itens abaixo:
(a) (1, 0) Mostre que W e´ subespac¸o vetorial de M2×2(R).
(b) (1, 0) Determine a dimensa˜o de W .
5. (2, 0) Suponha que S seja um subconjunto linearmente dependente do espac¸o vetorial
(V,+, ·). Mostre que se S ⊂ S ′ ⊂ V enta˜o S ′ tambe´m e´ um subconjunto linearmente
dependente de V .