Integrais Duplas

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INTEGRAIS DUPLAS 
 
1. CÁLCULO DE UMA INTEGRAL DUPLA POR INTEGRAIS ITERADAS 
1a. APRESENTAÇÃO 
Um subconjunto de R2 é dito conexo, se dois quaisquer de seus pontos podem ser 
l igados por uma poligonal inteiramente contida no próprio conjunto. Como 
exemplo de conjunto conexo, podemos tomar aquele formado pelos elementos (𝑥, 𝑦) 
que satisfazem a desigualdade 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1. Evidentemente não é conexo o conjunto 
Ω = { (𝑥, 𝑦) ∈ R2 / 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1 } ∪ { (𝑥, 𝑦) ∈ R2 / 4 ≤ 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 9 }. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sejam, então, D um conjunto conexo, fechado e l imitado em R2 e 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) uma 
função contínua em D . Se fizermos a descrição de D como o conjunto de pontos 
(𝑥, 𝑦) que satisfazem 
𝑦1(𝑥) ≤ 𝑦 ≤ 𝑦2(𝑥) , com 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 
onde 𝑦1(𝑥) e 𝑦2(𝑥) são funções contínuas no intervalo [𝑎, 𝑏], então escrevemos 
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ ( ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦
𝑦2(𝑥)
𝑦1(𝑥)
) 𝑑𝑥,
𝑏
𝑎𝐷
 
sendo 
∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦
𝑦2(𝑥)
𝑦1(𝑥)
 
a integral a ser calculada em primeiro lugar ( integral interna) , considerando-se 𝑥 
como uma constante. Dizemos que a integral dupla, nesse caso, está sendo 
resolvida na ordem 𝑑𝑦𝑑𝑥. 
Se, al ternativamente, optarmos pela descrição de D como o conjunto de pontos 
(𝑥, 𝑦) que satisfazem 
𝑥1(𝑦) ≤ 𝑥 ≤ 𝑥2(𝑦) , com 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑, 
onde 𝑥1(𝑦) e 𝑥2(𝑦) são funções contínuas no intervalo [𝑐, 𝑑], então escrevemos 
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ ( ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥
𝑥2(𝑦)
𝑥1(𝑦)
) 𝑑𝑦,
𝑑
𝑐𝐷
 
sendo 
∫ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥
𝑥2(𝑦)
𝑥1(𝑦)
 
a integral a ser calculada em primeiro lugar ( integral interna) , considerando-se 𝑦 
como uma constante. Agora dizemos que a integral dupla está sendo resolvida na 
ordem 𝑑𝑥𝑑𝑦. 
Os resultados acima, que estabelecem procedimentos para o cálculo da integral 
dupla de uma função 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) dentro das hipóteses apresentadas, correspondem 
à versão generalizada, ou forte, do Teorema de Fubini (a versão particular , ou 
fraca, desse teorema supõe que D seja um retângulo) . A razão desses 
procedimentos serem i terativos decorre do fato de o resultado da integral dupla 
ser obtido após o cálculo de duas integrais em sequência, sendo objeto de 
integração da segunda o resultado advindo da primeira . 
1b. ENCONTRANDO OS LIMITES DE INTEGRAÇÃO 
A maior dificuldade para a resolução de uma integral dupla reside, certamente, na 
determinação dos l imites de integração. Apresentamos, a seguir, uma orientação, 
que consideramos suficientemente abrangente, para estabelecimento desses 
l imites. 
a) Consideremos, inicialmente, o domínio de integração representado na forma 
𝐷 = { (𝑥, 𝑦) ∈ R2 / 𝑦1(𝑥) ≤ 𝑦 ≤ 𝑦2(𝑥), 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏}, ou seja, optemos por resolver 
primeiro a integral na variável 𝑦 para, depois, obtermos o valor numérico 
final da integral dupla resolvendo a segunda integral na variável 𝑥. 
Para compreensão do procedimento, f aça a lei tura do parágrafo aba ixo 
analisando a figura que o segue. 
A fim de determinarmos a variação de 𝑦, traçamos ao longo de toda a região 
D setas verticais que , apontando no sentido crescente do eixo Y , partem da 
curva que corresponde à fronteira inferior da região até atingirem a que 
corresponde a sua fronteira superior . A curva fronteira inferior será a função 
𝑦1(𝑥) e a superior será a função 𝑦2(𝑥). Conhecidas , por tanto, as expressões que 
definem essas funções , a variação de 𝑦 em D estará determinada . Os l imites de 
integração da variável 𝑥 na integral dupla correspondem às abscissas dos pontos 
que se si tuam nas extremidades horizontais da região D . 
 
 
 
 
 
b) Se considerarmos o mesmo domínio de integração representado na forma 
contrária, isto é, 𝐷 = { (𝑥, 𝑦) ∈ R2 / 𝑥1(𝑦) ≤ 𝑥 ≤ 𝑥2(𝑦), 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑}, vamos 
determinar a variação de 𝑥 traçando ao longo de todo o domínio D setas 
horizontais que , apontando no sentido crescente do eixo X , vão percorrendo 
a região desde a curva que corresponde a sua fronteira esquerda até a que 
corresponde a sua fronteira direita . A curva fronteira esquerda será a função 
𝑥1(𝑦) e a direita será a função 𝑥2(𝑦). Os l imites de integração da variável 𝑦 na 
integral dupla correspondem às ordenadas dos pontos que se si tua m nas 
extremidades verticais da região D . 
Analise a figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1c. DUAS OBSERVAÇÕES 
Existem casos em que somos obrigados a seccionar o domínio D para podermos 
obter os l imites de integração. A figura abaixo nos traz uma situação desse 
t ipo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se optamos por resolver a integral dupla na ordem 𝑑𝑦𝑑𝑥, vemos, facilmente, 
que não é possível es tabelecer duas únicas funções 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥) de modo a 
expressarmos a variação de 𝑦 em D , pois se 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, temos 𝑦1(𝑥) ≤ 𝑦 ≤ 𝑦2(𝑥), 
mas para 𝑏 ≤ 𝑥 ≤ 𝑐 passamos a ter 𝑦3(𝑥) ≤ 𝑦 ≤ 𝑦4(𝑥). Note que mesmo sendo 
invertida a ordem de integração , o problema persiste. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quando isso acontece, seccionamos o domínio de integração, respeitando as 
mudanças de variação de 𝑥 e de 𝑦 em D . Com relação à região apresentada nas 
figuras anteriores, escrevemos, respectivamente , 
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ ( ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦
𝑦2(𝑥)
𝑦1(𝑥)
) 𝑑𝑥 +
𝑏
𝑎
 ∫ ( ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦
𝑦4(𝑥)
𝑦3(𝑥)
) 𝑑𝑥,
𝑐
𝑏𝐷
 
e 
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ ( ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥
𝑥2(𝑦)
𝑥1(𝑦)
) 𝑑𝑦 + 
𝑒
𝑑
∫ ( ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥
𝑥4(𝑦)
𝑥3(𝑦)
) 𝑑𝑦.
𝑓
𝑒𝐷
 
 
É importante observar , também, que apesar de havermos apresentado os l imites 
de integração da integral interna como funções da variável 𝑥 ou da variável 𝑦, 
dependendo da ordem de integração escolhida, há si tuações em que esses 
l imites devem ser expressos através de valores numéricos . Nessas si tuações, 
tais valores representam, nada mais, que uma espécie de função esp ecial: a das 
funções constantes . Graficamente, vemos que i sso ocorre quando algum setor 
da fronteira da região de integração D corresponde à seção de um dos eixos, 
ou a segmento de reta paralela a um dos eixos. 
As regiões esboçadas nas figuras abaixo auxil iam na compreensão dessa 
observação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se em uma integral dupla todos os l imites de integração são valores numéricos, 
ou seja, se 𝐷 = { (𝑥, 𝑦) ∈ R2 / a ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑}, então, desde que 
consigamos escrever 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑔(𝑥). ℎ(𝑦), vamos poder concluir (prove isto!) que 
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
. ∫ ℎ(𝑦)𝑑𝑦
𝑑
𝑐
. 
𝐷
 
No caso da região retangular apresentada acima, escrevemos, portanto, 
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
0
. ∫ ℎ(𝑦)𝑑𝑦
𝑏
0
.
𝐷
 
EXEMPLOS 
1. Resolução da integral dupla da função 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 2𝑦, sobre a região D 
determinada pelas curvas 𝑦 = 2𝑥 e 𝑦 = 𝑥2. 
 
 
Com base na figura ao lado, vemos que 
∬(𝑥 + 2𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫( ∫ (𝑥 + 2𝑦) 𝑑𝑦) 𝑑𝑥
2𝑥
𝑥2
2
0𝐷
. 
 
 
 
 
 
Por outro lado, analisando a figura abaixo, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
escrevemos 
∬(𝑥 + 2𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫( ∫ (𝑥 + 2𝑦) 𝑑𝑥) 𝑑𝑦
√𝑦
𝑦/2
4
0𝐷
. 
 
Optando, então, por resolver a integral duplana ordem 𝑑𝑦𝑑𝑥, temos 
∫ (𝑥 + 2𝑦)𝑑𝑦
2𝑥
𝑥2
= ∫ 𝑥𝑑𝑦
2𝑥
𝑥2
 + ∫ 2𝑦𝑑𝑦
2𝑥
𝑥2
 = 𝑥 ∫ 𝑑𝑦
2𝑥
𝑥2
 + 2 ∫ 𝑦𝑑𝑦
2𝑥
𝑥2
 
= 𝑥. 𝑦|𝑥2
2𝑥 + 2.
𝑦2
2
 |𝑥2
2𝑥 = 𝑥(2𝑥 − 𝑥2) + (2𝑥)2 − (𝑥2)2 = 2𝑥2 − 𝑥3 + 4𝑥2 − 𝑥4 
= 6𝑥2 − 𝑥3 − 𝑥4. 
Assim, 
∬(𝑥 + 2𝑦) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = ∫(6𝑥2 − 𝑥3 − 𝑥4) 𝑑𝑥 = 
28
5
2
0
.
𝐷
 
 
2. Resolução da integral dupla da função 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥2𝑦, sobre a região do 
primeiro quadrante definida pelas desigualdades 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1. 
 
Considerando-se que as desigualdades 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1 definem o 
quadrado de vértices nos pontos (0, 0), (1, 0), (1, 1) e (0, 1), podemos uti l izar 
os resultados contidos na segunda das observações apresentadas em 1c. e, 
dessa forma, escrever 
 
∬ 3𝑥2𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫(∫ 3𝑥2𝑦 𝑑𝑥) 𝑑𝑦
1
0
1
0
 = ∫(∫ 3𝑥2𝑦 𝑑𝑦) 𝑑𝑥
1
0
= 3 ∫ 𝑥2𝑑𝑥
1
0
. ∫ 𝑦 𝑑𝑦
1
0
=
1
2
.
1
0𝐷
 
 
Veja a figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Resolução da integral dupla da função 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑐𝑜𝑠 (
𝜋𝑦2
2
), sobre a região 
triangular determinada pelas retas 𝑥 = 0, 𝑦 = 1 e 𝑦 = 𝑥 . 
 
De acordo com a região apresentada ( analise a f igura a seguir ) , para a 
resolução da integral proposta, podemos escolher entre as integrais duplas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐼1 = ∫ ( ∫ 𝑐𝑜𝑠 (
𝜋𝑦2
2
)
1
𝑥
𝑑𝑦) 𝑑𝑥
1
0
 e 𝐼2 = ∫ ( ∫ 𝑐𝑜𝑠 (
𝜋𝑦2
2
)
𝑦
0
𝑑𝑥) 𝑑𝑦
1
0
. 
Agora, devemos notar que: 
1. Em 𝐼1 vamos precisar determinar uma primitiva para a função 
 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑐𝑜𝑠 (
𝜋𝑦2
2
) e essa, certamente, não é uma tarefa fácil de ser 
cumprida. Em 𝐼2 a mesma função é uma constante na integral interna. 
2. Resolvida a integral interna em 𝐼2, restará, para a conclusão do 
problema, obter a solução da integral 
∫ 𝑦
1
0
𝑐𝑜𝑠 (
𝜋𝑦2
2
) 𝑑𝑦, 
o que não chega a ser complicado, considerando -se a uti l ização da 
substi tuição 
𝑢 = 
𝜋𝑦2
2
 . 
Vamos, então, resolver a questão proposta através do cálculo de 𝐼2. Ficamos, 
assim, com 
∬ 𝑐𝑜𝑠 (
𝜋𝑦2
2
) 𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ ( ∫ 𝑐𝑜𝑠 (
𝜋𝑦2
2
)
𝑦
0
𝑑𝑥) 𝑑𝑦 
1
0
=
𝐷
∫ 𝑐𝑜𝑠 (
𝜋𝑦2
2
)
1
0
 (∫ 𝑑𝑥
𝑦
0
) 𝑑𝑦 
= ∫ 𝑦
1
0
𝑐𝑜𝑠 (
𝜋𝑦2
2
) 𝑑𝑦 = 
1
𝜋
 ∫ 𝑐𝑜𝑠 (
𝜋𝑦2
2
) 𝜋𝑦𝑑𝑦
1
0
, 
onde o produto de 
∫ 𝑦
1
0
𝑐𝑜𝑠 (
𝜋𝑦2
2
) 𝑑𝑦 
por 𝜋 e 1/𝜋 foi efetuado, a fim de que o termo 𝜋𝑦𝑑𝑦 passasse a constar do 
integrando correspondente. Dessa forma, 𝑢 = 
𝜋𝑦2
2
 ⇒ 𝑑𝑢 = 𝜋𝑦𝑑𝑦 e, além 
disso, 𝑦 = 0 ⇒ 𝑢 = 0 e 𝑦 = 1 ⇒ 𝑢 = 𝜋/2 . 
Portanto, 
∬ 𝑐𝑜𝑠 (
𝜋𝑦2
2
) 𝑑𝑥𝑑𝑦 =
𝐷
 
1
𝜋
 ∫ 𝑐𝑜𝑠 (
𝜋𝑦2
2
) 𝜋𝑦𝑑𝑦
1
0
 = 
1
𝜋
 ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑢 𝑑𝑢
𝜋/2
0
 = 
1
𝜋
 𝑠𝑒𝑛 𝑢 |0
𝜋/2
 
= 
1
𝜋
 . 
4. Resolução da integral dupla da função 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥, sobre a região D, do 
primeiro quadrante, dada por D = { (𝑥, 𝑦) ∈ R2 / 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 4 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑦 } . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A figura acima e a primeira das observações apresentadas em 1c. nos dizem 
que 
∬ 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦
𝐷
= ∫ ( ∫ 𝑥 𝑑𝑦
√4 − 𝑥2
𝑥
) 𝑑𝑥
√2
0
 = ∫ (∫ 𝑥 𝑑𝑥
𝑦
0
) 𝑑𝑦
√2
0
 + ∫ ( ∫ 𝑥 𝑑𝑥
√4 − 𝑦2
0
) 𝑑𝑦
2
√2
 . 
Resolvendo, então, a integral dupla proposta na ordem dydx , temos 
 
∫ ( ∫ 𝑥 𝑑𝑦
√4 − 𝑥2
𝑥
) 𝑑𝑥
√2
0
 = ∫ 𝑥 ( ∫ 𝑑𝑦
√4 − 𝑥2
𝑥
) 𝑑𝑥
√2
0
 = ∫ 𝑥 (√4 − 𝑥2 − 𝑥) 𝑑𝑥
√2
0
 
 
= ∫ (𝑥√4 − 𝑥2 − 𝑥2)𝑑𝑥
√2
0
 = ∫ 𝑥√4 − 𝑥2 𝑑𝑥 − ∫ 𝑥2
√2
0
𝑑𝑥
√2
0
 
 
= ∫ 𝑥√4 − 𝑥2 𝑑𝑥 − 
𝑥3
3
|0
√2
√2
0
= ∫ 𝑥√4 − 𝑥2 𝑑𝑥 − 
2√2
3
√2
0
 . 
Agora, fazendo 𝑢 = 4 − 𝑥2 na integral restante, concluímos que 
∫ 𝑥√4 − 𝑥2 𝑑𝑥
√2
0
 = − 
1
2
 ∫ √4 − 𝑥2 . −2𝑥 𝑑𝑥
√2
0
= − 
1
2
 ∫ √𝑢 𝑑𝑢
2
4
= 
1
2
 ∫ √𝑢
4
2
𝑑𝑢 
= 
1
2
.
2
3
 𝑢√𝑢 |2
4 = 
1
3
 ( 8 − 2√2 ). 
Logo, 
∫ ( ∫ 𝑥 𝑑𝑦
√4 − 𝑥2
𝑥
) 𝑑𝑥
√2
0
= 
1
3
 ( 8 − 2√2 ) − 
2√2
3
= 
8
3
− 
4
3
 √2 . 
 
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