Determinantes de Matrizes Quadradas

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Determinantes 
 
 A toda matriz quadrada podemos associar um número real específico chamado 
determinante da matriz. 
 
 Determinante de 1ª ordem 
 
Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem M = [ a11 ], o seu determinante é o número 
real a11: 
 
det M = | a11 | = a11 
Por exemplo, 
 
 M = [ 5 ] det M = 5 ou | 5 | = 5 
 M = [ -3 ] det M = -3 ou | -3 | = -3 
 
 Obs: Representamos o determinante de uma matriz entre duas barras verticais, 
que não têm significado de módulo. 
 
 
 Determinante de 2ª ordem 
 
Dada a matriz 







2221
1211
aa
aa
M
, de ordem 2, por definição o determinante associado a 
M, determinante de 2ª ordem, é dado por: 
 
det
2221
1211
aa
aa
M
 
 
 Portanto, o determinante de uma matriz de ordem 2 é dado pela diferença entre 
o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal 
secundária. 
 Por exemplo, sendo 







54
32
M
, temos: 
 
 det M = 
54
32
 = 2.5 – 4.3 = 10 – 12 det M = – 2 
 
 
 
 
 Determinante de 3ª ordem 
 Regra de Sarrus 
 
O cálculo do determinante de 3ª ordem pode ser feito por meio de um dispositivo, 
denominado regra de Sarrus. 
 Vejamos como aplicamos essa regra para 











333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D
 
 
1º passo: Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira: 
 
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
 
3231
2221
1211
aa
aa
aa
 
 
 
2º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal principal com 
os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa 
diagonal (a soma deve ser precedida do sinal positivo): 
 
 
 
 + + + 
 
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
3231
2221
1211
aa
aa
aa
 = 
 322113312312332211 aaaaaaaaa 
 
 paralelas 
 diagonal principal 
 
3º passo: Encontramos a soma dos elementos da diagonal secundária com os dois 
produtos obtidos pelos elementos das paralelas a essa diagonal (a soma deve ser 
precedida do sinal negativo): 
 
 - - - 
 
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
 
3231
2221
1211
aa
aa
aa
 = 
 332112322311312213 aaaaaaaaa 
 
 paralelas 
 diagonal secundária 
 
 
 
Assim: 
 
 + + + - - - 
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
3231
2221
1211
aa
aa
aa
 =
 322113312312332211 aaaaaaaaa   332112322311312213 aaaaaaaaa 
 
 
 
Por exemplo, vamos calcular o determinante de 









 

412
503
121
A
 
 + + + - - - 
det A = 
412
503
121 
 
12
03
21 
 = + ( 0 –20 +3 ) – ( 0 +5 – 24) = 0 –20 + 3 – 0 – 5 + 24 = 2 
 0 5 -24 0 -20 3 
 
 Determinantes de ordem n  3 
 
 Se no determinante de 3ª ordem da matriz A, desenvolvido pela regra de Sarrus, 
 
det A = 
 322113312312332211 aaaaaaaaa   332112322311312213 aaaaaaaaa 
 
 
agruparmos os termos que tem 
11a
, 
12a
 e 
13a
, isto é, os elementos da 1ª linha, e os colocarmos 
em evidência temos: 
 
det A = 
     312232211331233321123223332211 aaaaaaaaaaaaaaa 
 
ou, 
det A = 
11a
 
3332
2322
aa
aa
 – 
12a
 
3331
2321
aa
aa
 +
13a
 
3231
2221
aa
aa
 
 
 A11 A12 A13 
 
onde podemos observar que: 
 
A11 é o determinante da matriz que se obtém eliminando, em A, a 1ª linha e a 1ª coluna ; 
A12 é o determinante da matriz que se obtém eliminando, em A, a 1ª linha e a 2ª coluna ; 
A13 é o determinante da matriz que se obtém eliminando, em A, a 1ª linha e a 3ª coluna ; 
 
 Assim, de modo geral, o determinante da matriz quadrada de ordem n: 

















nnnnn
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa





321
3333231
2232221
1131211
A
 
 
é o número 
 
det A = 
11a
A11– 
12a
 A12 +
13a
 A13 – ...+ 
  ..1 1
1
n
n
a


A1n 
 
onde A11, A12 , A13, ..., A1n são os determinantes das matrizes obtidas eliminando em A, junto 
com a 1ª linha , respectivamente as colunas 1, 2, 3, ..., n. 
 Assim, podemos utilizar essas fórmulas para calcular o determinante de uma matriz de 
ordem 
3n
, tomando como referência qualquer linha ou coluna da matriz A. Logo, 
 
 Se fixarmos a linha i 
det A = 
1ia
Ai1– 
2ia
 Ai2 +
3ia
 Ai3 – ...+ 
  ..1 in
ni
a


Ain 
 
 Se fixarmos a coluna j 
det A = 
ja1
A1j– 
ja2
 A2j +
ja3
 A3j – ...+ 
  ..1 nj
jn
a


Anj 
 
 Este método para calcular o determinante de uma matriz de ordem 
3n
 é conhecido 
como Teorema de Laplace. 
Exemplo 4 : Calcule o determinante de B












754
403
312 pelo Teorema de Laplace. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Propriedades dos Determinantes 
 
1. Se 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗]𝑛×𝑛 é uma matriz triangular superior (inferior), então det(𝐴) = 𝑎11. 𝑎22. 𝑎33…𝑎𝑛𝑛; 
2. det(𝐴) = 0, quando 𝐴 possui uma linha ou coluna nula; 
3. det(𝐴) = 0, quando 𝐴 possui duas linhas ou duas colunas múltiplas uma da outra; 
4. det(𝐴𝐵) = det(𝐴) . det⁡(𝐵); 
5. det(𝐴) = det⁡(𝐴𝑡) 
6. Se 𝐵 é obtida de 𝐴 pela troca de duas linhas ou duas colunas, então det(𝐵) = −det⁡(𝐴); 
7. Se 𝐵 é obtida de 𝐴 pela multiplicação de uma linha (ou coluna) de 𝐴 por 𝑘, então det(𝐵) =
𝑘. 𝑑𝑒𝑡(𝐴); 
8. det(𝑘. 𝐴) = 𝑘𝑛det⁡(𝐴). 
 
Exercícios: 
 
1. Calcule o valor do determinante das seguintes matrizes: 
 
a) 







56
322
A
 b) B = 











 32
14
43
21
 c) C = 












123
214
132
 
 
2. Calcule o valor de x , nas igualdades: 
 
a) 
0
3
2
2
13
3 

x
x b) 
0
10
13
102

xx
xx
x
 c) 
x
x
x
xx
1
42
20
4
311

 
 
3. Calcule o valor numérico da expressão ( x2 + y2)2, sabendo que x = 
143
201
432
 e y = 
215
321
111
 
 
4. Calcule o valor de (x+y)2 , sabendo que: 
 
21
122
431
10
 e 18
853
251
310





 yx
x
x
y
 
 
5. Resolva em , a seguinte inequação: 23
111
31
02
xxx
x

 
6. Dada a matriz 











531
020
101
A
, calcule: 
a) det At b) det (4A) c) det (-A) d) det (AAt) 
 
 
7. Sejam 𝐴 e 𝐵 matrizes quadradas de ordem 2. Se det(𝐴) = 5 e 𝐵 = (2 −1
4 3
), então o det⁡(𝐵) 
é igual a?