Funções

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA
FACULDADE DE MATEMÁTICA
2
a
Lista de Cálculo I - Funções
Prof: Rafael Antônio Rossato
1) Dê o domínio natural das seguintes funções:
a) f(x) = x+1x2+x
b) f(x) = 4
√
x
x+3
c) f(x) =
√
x(2− 3x)
d) f(x) =
√
x
3
√
x−1
e) f(x) =
√
x−√5− 2x
f) f(x) =
√
x−√x
g) f(x) = ln
(√
pix2−(1+pi2)x+pi
−2x2+3pix
)
2) Dê o conjunto de todos os valores de m para os quais a função
f(x) =
x2 + (2m+ 3)x+ (m2 + 3)√
x2 + (2m+ 3)x+ (m2 + 2)
,
está definida e é não negativa para todo x real.
3) Existe alguma simetria na representação geométrica do gráfico de uma função par? Qual? E da representação
do gráfico de uma função ímpar? Pense a respeito, tente descrever sua conclusão e dê exemplos.
4) Consideremos a função parte inteira de x: [[x]] = maior inteiro menor ou igual a x. Por exemplo [[2,45]] =
2, [[4/3]] = 1, [[−5/2]] = −3.
Encontre a representação geométrica do gráfico das funções:
a) f(x) = [[x]]
b) f(x) = x− [[x]]
5) Verifique quais das funções abaixo são periódicas e caso afirmativo encontrar o seu período:
a) f(x) = [[x]]
b) f(x) = sin(2x)
c) f(x) = sin(x) + sin(pix)
d) f(x) = 3 cos(x+ 2)
6) Quando uma função é injetora? Como caracterizar a injetividade de uma função analisando a representação
geométrica do seu gráfico?
7) Quando uma função é sobrejetora? Como caracterizar a sobrejetividade de uma função analisando a represen-
tação geométrica do seu gráfico?
8) Quando uma função é bijetora? Como caracterizar a bijetividade de uma função analisando a representação
geométrica do seu gráfico?
9) Em cada um dos casos abaixo, diga se a função é injetora, sobrejetora, bijetora:
a) f : R→ R, dada por f(x) = 5x+ 1, x ∈ R
b) f : R→ R, dada por f(x) = x2 + 4, x ∈ R
c) f :
[
0, 3pi2
]→ [−1,1], dada por f(x) = cos(x), x ∈ [0, 3pi2 ]
1
d) f : [0,+∞)→ [4,+∞), dada por f(x) = x2 + 4, x ∈ R
e) f :
(−pi2 , pi2 ), dada por f(x) = tan(x), x ∈ (−pi2 , pi2 )
f) f : [0,+∞)→ R, dada por f(x) = x2 + 4, x ∈ R
10) Quais as funções da questão anterior que admitem inversa? Para cada uma delas, encontre (se possível) a lei de
associação da função inversa.
11) Verifique se cada função abaixo é par, ímpar e, se puder, esboce o gráfico.
a) f(x) = [[x]]
b) f(x) = |2x+1|2x+1
c) f(x) = sin 1x
d) f(x) = x sin 1x
e) f(x) = x2 sin 1x
f) f(x) = x+ x|x|
g) f(x) = −√1− x
h) f(x) = |x+ 2|+ |2x− 1|
12) Mostre que dada uma função f : R → R, podemos encontrar uma função g : R → R, que é uma função par, e
uma função h : R→ R, que é uma função ímpar, tal que f(x) = g(x) + h(x), ∀x ∈ R.
13) Dadas as funções f e g, defina as funções compostas f ◦ g, g ◦ f , f ◦ f , g ◦ g e determine o domínio da função
resultante:
a) f(x) = x− 2; g(x) = x+ 7.
b) f(x) = x− 2; g(x) = 1x+7
c) f(x) =
√
x− 2; g(x) = x2 − 2
14) Seja ABCD um quadrado de lado l. Sabendo-se que K é a soma dos quadrados das distâncias de um ponto P
do plano definido por ABCD aos vértices de ABCD, determine:
a) O valor mínimo de K e a posição na qual ocorre este mínimo.
b) O lugar geométrico do ponto P , para K = 4l2.
(DICA: Mostre que K = 4[d(P,O)]2 + 2l2, onde O representa o centro do quadrado ABCD.)
15) No Exercício 8 da Lista 0, se o homem se aproximar do poste, o comprimento de sua sombra aproxima-se de
algum valor? Qual valor?
16) No Exercício 9 da Lista 0, se a profundidade da camada da água tende a metade da altura do tanque, o volume
de água no tanque aproxima-se de algum valor? Qual valor?
17) No Exercício 10 da Lista 0, se o tempo que eles caminham aproxima-se de uma hora e meia, a distância entre
eles aproxima-se de algum valor? Qual valor?
18) No Exercício 12 da Lista 0, se o comprimento x aproxima-se do valor 5,5 cm, a área da região sombreada
aproxima-se de algum valor? Qual valor?
19) Um objeto é lançado, verticalmente, e sabe-se que no instante t segundos, sua altura é dada por h(t) = 4t− t2
Km, para t ∈ [0,4].
a) Encontre a representação geométrica do gráfico da função h = h(t).
b) Qual a altura máxima atingida pelo objeto? Em que instante essa altura é atingida?
c) Se o tempo que o objeto foi lançado tende a 4 minutos, a altura atingida aproxima-se de algum valor?
Qual valor?
2