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1 INCLINAÇÃO DE UMA RETA TANGENTE Quando iniciamos nosso estudo sobre funções, falamos da função polinomial do 1° grau, lembram-se? A função cujo gráfico é uma reta e que tem a forma geral ( ) . Para determinarmos a equação da função do 1° grau, vimos que era necessário conhecermos dois pontos da reta ou o seu coeficiente angular e um ponto pertencente a ela, como no exemplo a seguir: Ex1.) Determinar a equação da reta que passa pelos pontos ( ) e ( ). Para resolver esta questão, precisamos determinar o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos dados, ou seja, “descoberto” o coeficiente angular, fica “fácil” determinar a equação da reta que passa pelos pontos dados: Até aqui, nada de novidades, não é mesmo? Mas, como resolveríamos a seguinte questão: “Determinar a equação da reta tangente a uma curva no ponto de tangência.” Graficamente, a situação é esta: Para resolver este problema, partimos de uma situação que sabemos resolver que é o caso de encontrar a equação da reta que passa por dois pontos: Vejam que, neste caso, conhecemos apenas UM ponto da reta!!!!! Portanto, não temos como determinar o coeficiente angular desta reta !!!! Pelo menos, não da mesma maneira que utilizamos para resolver o exemplo anterior. Este é um dos problemas fundamentais do Cálculo, mais especificamente, do Cálculo Diferencial, que trata das derivadas de uma função. 𝑦 𝑥 8 2 Agora, imaginemos que o ponto seja “móvel” e possa se deslocar ao longo da curva ( ) em direção ao ponto , como no gráfico abaixo, Este conceito está intimamente ligado ao conceito de Taxa de Variação, como veremos a seguir. x y P Q ret a s eca nte xQ yQ xP yP xQ - xP yQ - yP x y P Q re ta ta ng en te ret a s eca nte 𝑎𝑠𝑒𝑐 𝑦𝑄 𝑦𝑃 𝑥𝑄 𝑥𝑃 𝑎𝑠𝑒𝑐 𝑓(𝑥𝑄) 𝑓(𝑥𝑃) 𝑥𝑄 𝑥𝑃 Como já vimos anteriormente, o coeficiente angular da reta que une os pontos 𝑃 e 𝑄 é dado pela fórmula, Ou, lembrando que 𝑦 𝑓(𝑥), (Eq. 1) 𝑎𝑡𝑔 lim 𝑥𝑄→𝑥𝑃 𝑓 𝑥𝑄 𝑓(𝑥𝑃) 𝑥𝑄 𝑥𝑃 Conforme sugere a figura, o ponto 𝑄 move-se ao longo da curva em direção a 𝑃 se e somente se 𝑥𝑄 tende a 𝑥𝑃. Assim, a inclinação da reta tangente em 𝑃 é (Eq. 2) 3 TAXA DE VARIAÇÃO O problema de se encontrar a declividade da reta tangente ao gráfico de uma função no ponto ( ) ( ( )) é matematicamente equivalente ao problema de se calcular a taxa de variação de em . Para ver isso, suponha que é uma função que descreve a relação de duas quantidades e , isto é, ( ). O número ( ) ( ) ( ) , onde deve-se entender que , mede a variação em que corresponde a uma variação em , observemos a figura abaixo, Em seguida, se considerarmos o limite do quociente de diferenças, Eq. 4, quando tende a zero, isto é, calculando lim → ( ) ( ) (Eq. 5) obtemos a taxa de variação instantânea de em relação a . E este limite também fornece o coeficiente angular da reta tangente à curva ( ) no ponto , assim como a Eq. 2. Na prática, por exemplo, se ( ) mede a posição de um carro no instante , então a Eq. 4 nos dá a velocidade média do carro no intervalo de tempo e a Eq. 5 nos dá a velocidade instantânea do carro no instante . Alguns outros exemplos: Se for a temperatura de um objeto e for o tempo em minutos, então a Eq. 4 nos dará a taxa de variação média da temperatura em relação ao tempo e a Eq. 5, a taxa de variação instantânea; Se for a altura de uma pessoa e for a sua idade, então a Eq. 4 fornecerá a taxa de variação média da altura em relação à idade desta pessoa em um determinado x y f(x+h) f(x) x x+h h f( x + h )- f( x ) P Q 𝑓(𝑥 ) 𝑓(𝑥) Assim o quociente de diferenças (Eq. 4) mede a taxa de variação média de 𝒚 em relação a 𝒙 no intervalo 𝑥 𝑥 . Este quociente, assim como o quociente da Eq. 1, fornece o coeficiente angular da reta secante que passa pelos pontos 𝑃 𝑒 Q. 4 período de tempo e a Eq. 5 fornecerá a taxa de variação instantânea da altura da pessoa em relação à sua idade. Exercícios: Nos exercícios abaixo, é dada uma função ( ) e os valores e . a) Ache a taxa de variação média de em relação a no intervalo . b) Ache a taxa de variação instantânea de em relação a no valor dado. c) Ache a taxa de variação instantânea de em relação a em um ponto genérico d) Esboce o gráfico de ( ) bem como as retas secante e tangente cujas inclinações são dadas pelos resultados das partes a) e b). No exercício abaixo, é dado uma função e um valor . a) Ache a inclinação da reta tangente ao gráfico de em um ponto genérico b) Use o resultado da parte a) para achar a inclinação da reta tangente no valor dado. 1. ( ) 5 Função Derivada Vimos que se o limite lim → ( ) Eq. (1) existe, então podemos interpretá-lo como a inclinação da reta tangente à curva ( ) no ponto . Esse limite pode ser reescrito da seguinte maneira, lim → ( ) ( ) Eq. (2) Com esta nova notação, o exemplo a seguir pode ser assim resolvido: Determinar o coeficiente angular da reta tangente à curva ( ) num ponto genérico ( ). lim → ( ) ( ) lim → ( ) lim → lim → lim → ( ) lim → ( ) Vejam que, agora, podemos utilizar a fórmula geral para calcular o coeficiente angular da reta tangente em qualquer ponto da curva ( ) , simplesmente substituindo pelo valor apropriado. Por exemplo, se , então ; se , então . Para generalizar esta idéia, a inclinação da reta tangente ao gráfico de ( ) em um ponto geral pode ser obtida colocando-se na última fórmula, resultando numa “função que produz coeficiente angulares”, esta função é a chamada derivada de ( ). Definição: A função 𝑓′ definida pela fórmula 𝑓′(𝑥) lim → 𝑓(𝑥 ) 𝑓(𝑥) Eq. (3) É chamada de derivada de 𝑓 em relação a 𝑥. O domínio de 𝑓′ consiste de todo 𝑥 para o qual o limite existe. Duas interpretações da derivada A derivada 𝑓′ de uma função pode ser interpretada ou como uma função cujo valor em 𝑥 é a inclinação da reta tangente ao gráfico de 𝑦 𝑓(𝑥) em 𝑥, ou, alternativamente, como uma função cujo valor em 𝑥 é a taxa instantânea da variação de 𝑦 em relação a 𝑥 no ponto 𝑥. IMPORTANTE ! 6 Exemplo: 1) Ache a derivada em relação a de ( ) . 2) (a) Ache a derivada em relação a de ( ) √ . (b) Ache a inclinação da reta tangente a √ em . 7 DIFERENCIABILIDADE Lembre-se de que a derivadade uma função é definida naqueles pontos onde o limite da Eq. (3) existe. Esses pontos são chamados pontos de diferenciabilidade para , e os pontos onde este limite não existe são chamados pontos de não-diferenciabilidade para . Se é um ponto de diferenciabilidade de , dizemos que é diferenciável em ou que a derivada de existe em ; e se é um ponto de não-diferenciabilidade, dizemos que a derivada de não existe em . Se é diferenciável em todo intervalo aberto ( ), então dizemos que é diferenciável em ( ). Esta definição também se aplica para intervalos abertos infinitos da forma ( ), ( ) e ( ) ( neste último caso, dizemos que é diferenciável em todo lugar). Geometricamente, os pontos de diferenciabilidade de são aqueles onde a curva ( ) tem uma reta tangente, e os pontos de não-diferenciabilidade são aqueles onde a curva não tem reta tangente. De modo informal, os pontos de não-diferenciabilidade mais comumente encontrados podem ser classificados como: Picos Pontos de tangência vertical Pontos de descontinuidade Observemos as figuras a seguir; NOTAÇÃO PARA DERIVADA O processo de encontrar a derivada é chamado de diferenciação. Quando a variável independente for , a operação de diferenciação é frequentemente denotada por ( ) . Assim, as derivadas obtidas nos últimos exemplos podem ser representadas na seguinte maneira, [√ ] √ Para denotar o valor da derivada em um ponto específico , escrevemos ( ) | ′( ). Por exemplo, 8 | ( ) A notação acima é conveniente quando a variável dependente não está envolvida. Porém, casa haja uma variável dependente, digamos ( ), então podemos escrever a derivada como, ′( ) e | ′( ) Obs: quando outras letras que não sejam e são usadas para as variáveis independentes e dependentes, então as várias notações para as derivadas devem ser ajustadas de acordo. Por exemplo, se ( ), então a derivada de em relação a fica, ′( ) TÉCNICAS DE DIFERENCIAÇÃO Derivada de uma constante O gráfico de uma função constante ( ) é a reta horizontal , logo a reta tangente a este gráfico tem inclinação em todo ponto . Desta forma, devemos esperar que a derivada de uma constante seja para todo . Derivada de potência de Exemplo: Determine Derivada de uma constante vezes uma função Exemplo: Determine e 𝑑 𝑑𝑥 𝑐 Teorema: A derivada de uma função constante é 0, isto é, se 𝑐 for um número real qualquer, então, 𝑑 𝑑𝑥 𝑥𝑛 𝑛𝑥𝑛 Teorema: Se 𝑛 for um número inteiro positivo, então 𝑑 𝑑𝑥 𝑐𝑓(𝑥) 𝑐 𝑑 𝑑𝑥 𝑓(𝑥) Teorema: Se 𝑓 for diferenciável em 𝑥 e 𝑐 for um número real qualquer, então 𝑐𝑓 também é diferenciável em 𝑥 e 9 Derivadas de somas e diferenças Exemplo: Derivada de um produto Derivada de um quociente 𝑑 𝑑𝑥 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥) 𝑑 𝑑𝑥 𝑓(𝑥) ± 𝑑 𝑑𝑥 𝑔(𝑥) Teorema: Se 𝑓 e 𝑔 forem diferenciáveis em 𝑥, então 𝑓 𝑔 e 𝑓 𝑔 também o são e 𝑑 𝑑𝑥 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥) 𝑑 𝑑𝑥 𝑔(𝑥) 𝑔(𝑥) 𝑑 𝑑𝑥 𝑓(𝑥) Teorema: Se 𝑓 e 𝑔 forem diferenciáveis em 𝑥, então o produto 𝑓𝑔 também o é e 𝑑 𝑑𝑥 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) 𝑔(𝑥)𝑓′(𝑥) 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥) 𝑔(𝑥) Teorema: Se 𝑓 𝑒 g forem diferenciáveis em 𝑥 e 𝑔′(𝑥) ≠ , então 𝑓/𝑔 é diferenciável em 𝑥 e
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