Trigonometria-Lei-dos-Senos-e-Cossenos (2).pdf

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Lei dos Senos e dos Cossenos 
 
1. (G1 - cftrj 2014) Considerando que ABC é um triângulo tal que 
AC 4 cm, BC 13 cm 
 e 
Aˆ 60 , 
 calcule os possíveis valores para a medida do lado AB. 
 
2. (Ufpr 2014) Dois navios deixam um porto ao mesmo tempo. O primeiro viaja a uma 
velocidade de 16 km/h em um curso de 45° em relação ao norte, no sentido horário. O segundo 
viaja a uma velocidade 6 km/h em um curso de 105° em relação ao norte, também no sentido 
horário. Após uma hora de viagem, a que distância se encontrarão separados os navios, 
supondo que eles tenham mantido o mesmo curso e velocidade desde que deixaram o porto? 
a) 10 km. 
b) 14 km. 
c) 15 km. 
d) 17 km. 
e) 22 km. 
 
3. (G1 - ifsp 2014) A base de um triângulo isósceles mede 
3 3 cm
 e o ângulo oposto à base 
mede 120°. A medida dos lados congruentes desse triângulo, em centímetros, é 
a) 3. 
b) 2. 
c) 
3.
 
d) 
1 3.
 
e) 
2 3.
 
 
4. (Unicamp 2013) Na figura abaixo, ABC e BDE são triângulos isósceles semelhantes de 
bases 2a e a, respectivamente, e o ângulo 
ˆCAB 30 . 
 Portanto, o comprimento do segmento 
CE é: 
 
 
a) 
5
a
3
 
b) 
8
a
3
 
c) 
7
a
3
 
d) 
a 2
 
 
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5. (Ufsm 2013) A caminhada é uma das atividades físicas que, quando realizada com 
frequência, torna-se eficaz na prevenção de doenças crônicas e na melhora da qualidade de 
vida. 
Para a prática de uma caminhada, uma pessoa sai do ponto A, passa pelos pontos B e C e 
retorna ao ponto A, conforme trajeto indicado na figura. 
 
 
 
Quantos quilômetros ela terá caminhado, se percorrer todo o trajeto? 
a) 2,29. 
b) 2,33. 
c) 3,16. 
d) 3,50. 
e) 4,80. 
 
6. (Ufrgs 2013) Os lados de um losango medem 4 e um dos seus ângulos 30°. A medida da 
diagonal menor do losango é 
a) 
2 2 3.
 
b) 
2 3.
 
c) 
4 2 3.
 
d) 
2 2 3.
 
e) 
4 2 3.
 
 
7. (Epcar (Afa) 2013) Um triângulo é tal que as medidas de seus ângulos internos constituem 
uma progressão aritmética e as medidas de seus lados constituem uma progressão 
geométrica. 
Dessa maneira, esse triângulo NÃO é 
a) acutângulo. 
b) equilátero. 
c) obtusângulo. 
d) isósceles. 
 
8. (Unicamp 2013) Um satélite orbita a 6.400 km da superfície 
da Terra. A figura abaixo representa uma seção plana que inclui 
o satélite, o centro da Terra e o arco de circunferência AB. Nos 
pontos desse arco, o sinal do satélite pode ser captado. 
Responda às questões abaixo, considerando que o raio da 
Terra também mede 6.400 km. 
a) Qual o comprimento do arco AB indicado na figura? 
b) Suponha que o ponto C da figura seja tal que 
cos( ) 3 / 4.θ 
 
Determine a distância d entre o ponto C e o satélite. 
 
 
 
 
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9. (Unesp 2013) Um professor de geografia forneceu a seus alunos um mapa do estado de 
São Paulo, que informava que as distâncias aproximadas em linha reta entre os pontos que 
representam as cidades de São Paulo e Campinas e entre os pontos que representam as 
cidades de São Paulo e Guaratinguetá eram, respectivamente, 
80km
 e 
160km.
 Um dos 
alunos observou, então, que as distâncias em linha reta entre os pontos que representam as 
cidades de São Paulo, Campinas e Sorocaba formavam um triângulo equilátero. Já um outro 
aluno notou que as distâncias em linha reta entre os pontos que representam as cidades de 
São Paulo, Guaratinguetá e Campinas formavam um triângulo retângulo, conforme mostra o 
mapa. 
 
 
 
Com essas informações, os alunos determinaram que a distância em linha reta entre os pontos 
que representam as cidades de Guaratinguetá e Sorocaba, em km, é próxima de 
a) 
80 2 5 3  
 
b) 
80 5 2 3  
 
c) 
80 6
 
d) 
80 5 3 2  
 
e) 
80 7 3 
 
 
10. (Uepb 2012) A diagonal menor de um paralelogramo divide um de seus ângulos internos 
em dois outros. Um 
β
 e o outro 
2 .β
 A razão entre o maior e o menor lado do paralelogramo é 
a) 
2senβ
 
b) 
1
2cosβ
 
c) 
2cosβ
 
d) 
1
2senβ
 
e) 
tgβ
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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11. (Uftm 2012) Na figura, AEFG é um quadrado, e 
BD
 divide o ângulo 
ˆABC
 ao meio. 
 
 
 
Sendo 
CD 2 3 cm,
 o lado do quadrado AEFG, em centímetros, mede 
a) 
3 1
.
2

 
b) 
3 1.
 
c) 
6( 3 1)
.
5

 
d) 
4( 3 1)
.
3

 
e) 
3( 3 1)
.
2

 
 
12. (Ufjf 2012) Uma praça circular de raio R foi construída a partir da planta a seguir: 
 
 
 
Os segmentos 
AB,
 
BC
 e 
CA
 simbolizam ciclovias construídas no interior da praça, sendo que 
AB 80 m.
De acordo com a planta e as informações dadas, é CORRETO afirmar que a 
medida de R é igual a: 
a) 
160 3
m
3
 
b) 
80 3
m
3
 
c) 
16 3
m
3
 
d) 
8 3
m
3
 
e) 
3
m
3
 
 
 
 
 
 
 
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13. (Ufg 2012) Observe a figura a seguir, em que estão indicadas as medidas dos lados do 
triângulo maior e alguns dos ângulos. 
 
 
 
O seno do ângulo indicado por 
α
 na figura vale: 
a) 
4 3 3
10

 
b) 
4 3
10

 
c) 
4 3 3
10

 
d) 
4 3 3
10

 
e) 
4 3 3
10

 
 
14. (Uem 2012) Sejam A, B e C os vértices de um triângulo retângulo, sendo  o ângulo reto e 
AC medindo o triplo de AB. Considerando agora os pontos D e E no segmento AC, de modo 
que AD = DE = EC, e F sendo o ponto médio do segmento BC, assinale o que for correto. 
01) cos(B) = 
10
10
. 
02) Os triângulos BDC e FEC são congruentes. 
04) sen(BDC) = 
2
2
. 
08) Os triângulos EDF e BDF são semelhantes. 
16) cos(EFC) = 
5
5
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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15. (Unesp 2012) No dia 11 de março de 2011, o Japão foi sacudido por terremoto com 
intensidade de 8,9 na Escala Richter, com o epicentro no Oceano Pacífico, a 360 km de 
Tóquio, seguido de tsunami. A cidade de Sendai, a 320 km a nordeste de Tóquio, foi atingida 
pela primeira onda do tsunami após 13 minutos. 
 
(O Estado de S.Paulo, 13.03.2011. Adaptado.) 
 
 
 
Baseando-se nos dados fornecidos e sabendo que 
cos 0,934 
, onde 

é o ângulo 
Epicentro-Tóquio-Sendai, e que 
8 22 3 93,4 215 100  
, a velocidade média, em km/h, com 
que a 1ª onda do tsunami atingiu até a cidade de Sendai foi de: 
a) 10. 
b) 50. 
c) 100. 
d) 250. 
e) 600. 
 
16. (Unicamp 2012) Um topógrafo deseja calcular a distância entre pontos situados à margem 
de um riacho, como mostra a figura a seguir. O topógrafo determinou as distâncias mostradas 
na figura, bem como os ângulos especificados na tabela abaixo, obtidos com a ajuda de um 
teodolito. 
 
 
 
 
Visada Ângulo 
^
ACB
 
6
π
 
^
BCD
 
3
π
 
^
ABC
 
6
π
 
 
a) Calcule a distância entre A e B. 
b) Calcule a distância entre B e D. 
 
 
 
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17. (Fgv 2012) a) Determine o perímetro do triângulo na forma decimal aproximada, até os 
décimos.Se quiser, use algum destes dados: 
235 1225 ;
 
236 1296 ;
 
237 1369 .
 
 
 
 
b) Um aluno tinha de fazer um cartaz triangular, em cartolina. Decidiu construir o triângulo com 
as seguintes medidas dos lados: 
6 cm ,
 
8 cm ,
 e 
16 cm .
 Ele conseguirá fazer o cartaz? Por 
quê? 
 
18. (Uftm 2012) Na figura estão posicionadas as cidades vizinhas A, B e C, que são ligadas 
por estradas em linha reta. Sabe-se que, seguindo por essas estradas, a distância entre A e C 
é de 24 km, e entre A e B é de 36 km. 
 
 
 
Nesse caso, pode-se concluir que a distância, em km, entre B e C é igual a 
a) 
8 17.
 
b) 
12 19.
 
c) 
12 23.
 
d) 
20 15.
 
e) 
20 13.
 
 
19. (Pucrj 2012) Seja um hexágono regular ABCDEF. A razão entre os comprimentos dos 
segmentos 
AC e AB
 é igual a: 
a) 
2
 
b) 
3
2
 
c) 
1 5
2

 
d) 
3
 
e) 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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20. (Ufsm 2011) A figura a seguir apresenta o delta do rio Jacuí, situado na região 
metropolitana de Porto Alegre. Nele se encontra o parque estadual Delta do Jacuí, importante 
parque de preservação ambiental. Sua proximidade com a região metropolitana torna-o 
suscetível aos impactos ambientais causados pela atividade humana. 
 
 
 
A distância do ponto B ao ponto C é de 8 km, o ângulo 
A
mede 45° e o ângulo
C
mede 75°. 
Uma maneira de estimar quanto do Delta do Jacuí está sob influência do meio urbano é dada 
pela distância do ponto A ao ponto C. Essa distância, em km, é 
a) 
8 6
3
 
b) 
4 6
 
c) 
8 2 3
 
d) 
8( 2 3)
 
e) 
2 6
3
 
 
21. (G1 - cftmg 2011) Um grupo de escoteiros pretende escalar uma montanha ate o topo, 
representado na figura abaixo pelo ponto D, visto sob ângulos de 40° do acampamento B e de 
60° do acampamento A. 
 
Dado: 
sen 20º 0,342
 
 
 
 
Considerando que o percurso de 160 m entre A e B e realizado segundo um angulo de 30° em 
relação a base da montanha, então, a distância entre B e D, em m, e de, aproximadamente, 
a) 190. 
b) 234. 
c) 260. 
d) 320. 
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22. (Unesp 2011) Uma pessoa se encontra no ponto A de uma planície, às margens de um rio 
e vê, do outro lado do rio, o topo do mastro de uma bandeira, ponto B. Com o objetivo de 
determinar a altura h do mastro, ela anda, em linha reta, 50 m para a direita do ponto em que 
se encontrava e marca o ponto C. Sendo D o pé do mastro, avalia que os ângulos BÂC e 
valem 30°, e o vale 105°, como mostra a figura: 
 
 
a) 12,5. 
b) 12,5
2
. 
c) 25,0. 
d) 25,0
2
. 
e) 35,0. 
 
23. (Ita 2011) Num triângulo AOB o ângulo AÔB mede 135° e os lados 
AB
 e 
OB
 medem 
2
cm e 
2 3cm
, respectivamente. A circunferência de centro em O e raio igual a medida 
de 
OB
intercepta 
AB
 no ponto C (≠ B). 
 
a) Mostre que mede 15°. 
b) Calcule o comprimento de 
AC
 
 
24. (G1 - epcar (Cpcar) 2011) Considere o octógono regular ABCDEFG inscrito numa 
circunferência 
λ
de raio R 
Se esse mesmo octógono circunscreve uma circunferência á de raio r, então a razão entre os 
quadrados dos comprimentos das circunferências 
λ
e 
α
 é, nessa ordem, igual a 
a) 
 2 2
 
b) 
 2 2 2
 
c) 
 2 2 2
 
d) 
2 2
 
 
25. (Fuvest 2011) No losango ABCD de lado 1, representado na figura, tem-se que M é o 
ponto médio de 
AB
, N é o ponto médio de 
BC
 e 
14MN
4

 .Então, DM é igual a 
 
 
a) 
2
4
 b) 
2
2
 c) 
2
 d) 
3 2
2
 e) 
5 2
2
 
 
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26. (G1 - ifal 2011) Num paralelogramo, cada ângulo agudo mede 30° e os lados que formam 
cada um desses ângulos medem 
3 3
 cm e 5 cm. Calcule a medida da menor das diagonais 
desse paralelogramo. 
a) 
6 cm
 
b) 
3 cm
 
c) 
3 3 cm
 
d) 
7 cm
 
e) 
15 3 cm
 
 
27. (Ufpb 2011) Para explorar o potencial turístico de uma cidade, conhecida por suas belas 
paisagens montanhosas, o governo pretende construir um teleférico, ligando o terminal de 
transportes coletivos ao pico de um morro, conforme a figura a seguir. 
 
 
 
Para a construção do teleférico, há duas possibilidades: 
• o ponto de partida ficar localizado no terminal de transportes coletivos (ponto A), com uma 
parada intermediária (ponto B), e o ponto de chegada localizado no pico do morro (ponto C); 
• o ponto de partida ficar localizado no ponto A e o de chegada localizado no ponto C, sem 
parada intermediária. 
 
Supondo que 
AB 300 3 m, BC 200 m,  
BÂP = 20º e 
ˆCBN 50 
, é correto afirmar que 
a distância entre os pontos A e C é de: 
a) 700 m 
b) 702 m 
c) 704 m 
d) 706 m 
e) 708 m 
 
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Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
 
 
 
Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo ABC, temos: 
 
2 2 2
2
2
13 4 x 2 4 x cos60
1
13 15 x 8x
2
x 4x 3 0
      
   
  
 
 
Resolvendo a equação do segundo grau, temos x = 1 ou x = 3. 
 
Resposta: 1 cm ou 3 cm. 
 
Resposta da questão 2: 
 [B] 
 
Depois de uma hora de viagem o navio 1 (N1) terá percorrido 16 km e o navio 2 (N2) terá 
percorrido 6 km. 
Temos, então, a seguinte figura: 
 
Sendo d a distância entre os navios, temos: 
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2 2 2
2
2
d 16 6 2 16 6 cos60
1
d 256 36 192
2
d 196
d 14km
     
 
     
 


 
 
Resposta da questão 3: 
 [A] 
 
 
 
Aplicando o teorema dos cossenos, temos: 
 
 
2 2 2
2 2
2
2
3 3 x x 2 x x cos120
1
27 2x 2x
2
27 3x
x 9
x 3
      
 
    
 


 
 
 
Logo, a medida dos lados congruentes desse triângulo, em centímetros, é 3 cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Resposta da questão 4: 
 [C] 
 
 
 
2 2 2
2 2
2
2
a 3 a 2a
No CMB : cos30° x
x 2 x 3
a
3 a a2No ENB : cos30° y
y 2 2y 3
ˆCBE 180 30 30 120
Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo CBE, temos:
CE x y 2.x.y.cos120
4a a 2a a 1
CE 2
3 3 23 3
5a
CE
Δ
Δ
    
    
       
   
 
       
 

2 2
2
2
2a
3 3
7a
CE
3
7
CE a.
3



 
 
Resposta da questão 5: 
 [D] 
 
Pela Lei dos Cossenos, obtemos: 
 
2 2 2
2 2
BC AC AB 2 AC AB cosBAC
(0,8) 1 2 0,8 1 cos150
3
0,64 1 2 0,8
2
1,64 0,8 1,7
3.
     
      
 
      
 
  

 
 
Logo, 
BC 1,7
 e, portanto, o resultado é 
1 0,8 1,7 3,5.  
 
 
 
 
 
 
 
 
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Resposta da questão 6: 
 [C] 
 
Considere a figura. 
 
 
 
Como 
AB AD 4 u.c. 
 e 
BAD 30 , 
 pela Lei dos Cossenos, obtemos 
 
2 2 2
2 2
BD AB AD 2 AB AD cosBAD
3
4 4 2 4 4
2
2 16 16 3.
     
     
  
 
 
Portanto, 
 
BD 4 2 3 u.c. 
 
 
Resposta da questão 7: 
 [C] 
 
Os ângulos internosdeste triângulo poderão ser representados por x – r, x, x + r. 
 
Somando x – r + x + x + r = 180° 

 x = 60°. 
 
Escrevendo os lados em P.G., temos a seguinte figura: 
 
 
 
Aplicando, agora, o teorema dos cossenos no triângulo acima, temos: 
 
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 
2
22 a a 1a a q 2 a q
q q 2
 
       
 
 
 
Dividindo ambos os membros da equação por a
2
, temos: 
 
 
2 2
2
4 2
2
2
2
1
1 q 1 ( q )
q
q 2q 1 0
q 1 0
q 1 0
q 1
   
  
 
 

 
 
Logo, o triângulo é equilátero de lados a, a e a. E o triângulo equilátero jamais será 
obtusângulo. 
 
Resposta da questão 8: 
 a) No triângulo assinalado: 
R é a medida do raio da terra. 
R 1
cos 60
R R 2
α α    

 
Portanto, o arco AB mede 120° e seu comprimento será dado por: 
2 R 2 6400 12800
km.
3 3 3
π π π   
 
 
 
 
 
 b) Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo assinalado, temos: 
 
2 2 2
2 2 2
2
d R (2R) 2.R.2R.cos
d 5R 4.R .(3/4)
d 2.R
d R 2
d 6400. 2 km
θ  
 



 
 
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Resposta da questão 9: 
 [B] 
 
Sejam 
S,P,G
 e 
C,
 respectivamente, os pontos que representam as cidades de Sorocaba, São 
Paulo, Guaratinguetá e Campinas. 
 
Sabendo que 
SPC 60 
 e 
CPG 90 , 
 vem 
SPG 150 . 
 Logo, aplicando a Lei dos Cossenos 
no triângulo 
SPG,
 encontramos 
 
2 2 2
2 2
SG SP PG 2 SP PG cosSPG
80 160 2 80 160 cos150
3
6400 25600 2 12800
2
6400 (5 2 3)
     
      
 
      
 
 
   
 
 
Portanto, 
SG 80 5 2 3 km.   
 
 
Resposta da questão 10: 
 [C] 
 
Sejam 
x
 e 
y,
 respectivamente, as medidas do maior lado e do menor lado do paralelogramo. 
 
Desse modo, num dos triângulos determinado pela diagonal menor do paralelogramo, tem-se 
2β
 oposto a 
x
 e 
β
 oposto a 
y.
 Assim, aplicando a Lei dos Senos, obtemos 
 
x y x 2sen cos
sen2 sen y sen
x
2cos .
y
β β
β β β
β
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Resposta da questão 11: 
 [E] 
 
Seja o lado do quadrado. 
Como 
AEFG
 é um quadrado, segue que o triângulo 
ABC
 é retângulo. Logo, 
ˆABC 60 . 
 Além 
disso, sabemos que 
BD
 é bissetriz de 
ˆABC
 e, portanto, 
ˆ ˆABD CBD 30 .  
 Daí, segue que 
ˆBDC 120 . 
 
Aplicando a Lei dos Senos no triângulo 
BCD,
 obtemos 
 
BC CD BC 2 3
BC 6cm.
ˆ ˆ 1senBDC senCBD 3
22
    
 
 
Assim, no triângulo 
ABC,
 temos que 
 
ABˆcosABC AB 6 cos60 3cm.
BC
     
 
 
Por conseguinte, do triângulo 
BGF,
 vem 
 
GF 3 3( 3 1)ˆtgABD cm.
3 3 2BG

    

 
 
Resposta da questão 12: 
 [B] 
 
Pela Lei dos Senos, segue que: 
 
AB 80 80 3 80 3
2R 2R R m.
sen60 33 3 3
2
      

 
 
Resposta da questão 13: 
 [A] 
 
Considere a figura, na qual 
AB 6, AC 10 
 e 
BC 8.
 
 
 
 
Do triângulo retângulo 
ABD,
 obtemos 
 
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BD
tgBAD BD AB tg30
AB
3
BD 6
3
BD 2 3.
    
  
 
 
 
Além disso, pelo Teorema do Ângulo Externo, segue que 
ADC DAB ABD
30 90
120 .
 
   
 
 
 
Portanto, pela Lei dos Senos, vem 
CD AC 8 2 3 10
sen sen120senDAC senADC
4 3
sen sen60
5
4 3 3
sen
5 2
4 3 3
sen .
10

  
 

    

   

  
 
 
Resposta da questão 14: 
 01 + 04 = 05. 
 
Dados Iniciais 
 
 
 
(01) Verdadeiro. 
           
2 2
2 2 2 2BC (AC) (AB) BC (3x) (x) BC 10 x
 
Logo, 
 
x 10
cosB
1010x
 
 
(02) Falso. Dois triângulos são denominados congruentes quando têm a mesma forma e as 
mesmas dimensões. Logo, os triângulos BDC e FEC não são congruentes, pois não 
possuem o mesmo tamanho. 
 
(04) Verdadeiro. 
 
 
  
  
  
   
2
2 2
2
2 2
2 2 2 2
BC (BD) (DC) 2(BD)(DC)cos(BDC)
10x (x 2) (2x) 2(x 2)(2x)cos(BDC)
10x 2x 4x 4 2x cos(BDC)
2 2
cosBDC senBDC
2 2
 
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(08) Falso. Dois triângulos são denominados semelhantes se possuem seus três ângulos 
congruentes e seus lados proporcionais. Logo, os triângulos EDF e BDF não são 
semelhantes, 
 
(16) Falso. 
 
 
  
      
              
      
  

2
2 2
2 2
2
2 2
2 2
EC (EF) (FC) 2(EF)(FC)cos(EFC)
x 2 x 10 x 2 x 10
x 2 cos(EFC)
2 2 2 2
x 5x
1x x 5 cos(EFC)
2 2
2 5
cosEFC
5
 
 
Resposta da questão 15: 
 [E] 
 
Considere a figura. 
 
Sabendo que 
ET 360km,
 
ST 320km,
 
cos 0,934 
 e que 
8 22 3 93,4 215100,  
 pela Lei 
dos Cossenos, vem 
 
2 2 2
2 2 2
2 2 2 5
2 8 2
2
ES ET ST 2 ET ST cos
ES 360 320 2 360 320 0,934
ES 129600 102400 2 2 3 2 93,4
ES 232000 2 3 93,4
ES 232000 215100
ES 16900 ES 130km.
       
      
       
    
  
  
 
 
Portanto, como 
13
13min h,
60

 temos que a velocidade média pedida é dada por 
130
600km h.
13
60

 
 
 
 
 
 
 
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Resposta da questão 16: 
 a) 
 
 
 
No triângulo ABC assinalado, temos: 
2 2 2
2 2
2
2
15 x x 2 x x cos120
1
225 2x 2x
2
225 3x
x 75
x 5 3m
      
 
   
 



 
 
b) 
 
 
 
No triângulo BDC, temos: 
2 2 2
2
y 15 10 2 15 10 cos60
y 225 100 150
y 175
y 5 7m
      
  


 
 
 
 
 
 
 
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Resposta da questão 17: 
 a) Calculando a medida x do lado que falta temos: 
 
x
2
 = 6
2
 + 8
2
 – 2

6

8

cos60° 
 
x = 
52
 
x = 
2 13
 
x 
2 3,6
 (de acordo com as aproximações dadas) 
x 7,2 
 
Portanto, o perímetro das figuras será dado por P = 6 + 8 + 7,2 = 21,2. 
 
b) Não, pois 16 > 6 + 8 (a medida do lado de um triângulo deve ser menor que a medida dos 
outros dois). 
 
Resposta da questão 18: 
 [B] 
 
Aplicando a Lei dos Cossenos, obtemos 
 2 2 2
2 2 2
2
BC AB AC 2 AB AC cosBAC
1
BC 36 24 2 36 24
2
BC 1296 576 864
BC 2736 12 19 km.
      
 
        
 
   
 
 
 
Resposta da questão 19: 
 [D] 
 
 
 
2 2 2AC a a 2 a a cos120 AC a 3        
 
Logo, 
AC a 3
3.
AB a
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Resposta da questão 20: 
 [B] 
 
 
 
α=
o o o o180 75 45 60  
 
 
Aplicando o teorema dos senos, temos: 
 
o o
AC 8
sen60 sen45
2 3
AC. 8.
2 2
AC 4 6



 
 
Resposta da questão 21: 
 [B] 
 
 
Aplicando o teorema dos senos no triângulo assinalado, temos: 
o
o
x 160
0,342sen150
0,342.x 160.sen150
0,342x 80
x 233,9




 
 
Aproximadamente 234m. 
 
Resposta da questão 22: 
 [B]No triângulo ABC 
oABC 45
, aplicando o teorema dos senos, temos: 
o o
50 BC
BC. 2 50 BC 25 2
sen45 sen30
     
No triângulo BDC, temos: 
o h 1 hsen30 h 12,5 2
225 2 25 2
    
 
 
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Resposta da questão 23: 
 a) Utilizando o teorema dos senos, temos: 
 
 
o
2 3 2 2 3
sen
sen 2sen135

 
  
 
 Sabendo que 
2
32
4
32
15
4
26
15
2
2 









 
 oo sensen
, concluímos então que: 
 = 15
o
 
b) O triângulo ACB é isósceles logo AC = AB = 
2 3cm
. 
 
 
 
Resposta da questão 24: 
 [C] 
 
A razão entre os quadrados dos comprimentos das circunferências é igual a razão entre os 
quadrados dos raios. 
Observe a figura. 
 
 
 
Na figura, temos: 
No 
Δ
OMB temos: 2 2x R r  
 
Aplicando agora o teorema dos cossenos no 
Δ
OAB: 
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 
2 2 2 o
2 2 2 2
2 2
2
2
2
2
2x R R 2.R.R.cos 45
4(R r ) 2.R R . 2
R (2 2) 4.r
R 4
2 2r
R
2.(2 2)
r
  
  
 


 
 
 
Resposta da questão 25: 
 [B] 
 
 
 
Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo BMN, temos: 
2 2 2
14 1 1 1 1
2. . .cos
4 2 2 2 2
     
              
 
 
Resolvendo, temos 
3
cos
4
  
 e que cos
o3 ( 180 )
4
    
 
 
Aplicando novamente o teorema dos cossenos no triângulo ADM, temos: 
 
 
2
22
2
22
1 1
(AD) 1 2. .1.cos
2 2
1 1 3
(AD) 1 2. .1.
2 2 4
 
    
 
   
      
   
 
AD = 
1 3
1
4 4
 
 
AD = 
2
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Resposta da questão 26: 
 [D] 
 
Aplicando o teorema dos cossenos, temos: 
d
2 
 = 5
2
 + (
3 3
)
2
 – 2.5. 
3 3
.cos30o 
d
2
 = 25 + 27 -30
3
3.
2
 
d
2
 = 52 – 45 
d = 
7
 
 
 
Resposta da questão 27: 
 [A] 
 
 
 
Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo assinalado, temos:  
2
2 2
2
3
AC 300 3 200 2.300 3.200.
2
AC 270000 40000 180000
AC 490000
AC 700m
 
     
 
  

