Controle Moderno: Controlabilidade e Observabilidade

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EA 012: Sistemas de Controle Digital
Aula 2 – Controle Moderno –
Controlabilidade e Observabilidade
Prof.: Egidio Raimundo Neto
Santa Rita do Sapucaí
1° Semestre de 2017
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Introdução aos Sistemas de Controle Moderno
Equações Diferenciais
Funções de Transferência
Transformada de Laplace
Transformada Inversa de Laplace
Diagrama de Fluxo
Formas 
Canônicas
Sistema descrito por variáveis de estado
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Introdução aos Sistemas de Controle Moderno
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Introdução aos Sistemas de Controle Moderno
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Introdução aos Sistemas de Controle Moderno
1.6. Utilizando o Matlab para modelar sistemas na representação do
espaço de estados
O software Matlab pode ser utilizado para trabalhar com sistemas dinâmicos
no espaço e estados e também auxiliar na conversão entre as formas matricial e
funções de transferência de um sistema. A seguir são apresentados alguns
comando utilizados.
Conversão de Espaço de Estados para função de transferência:
[num,den] = ss2tf(A,B,C,D) onde, A, B, C e D são fornecidas pelo usuário.
Conversão de função de transferência para Espaço de Estados:
[A,B,C,D] = tf2ss (num,den) onde os coeficientes da função de
transferência são fornecidos pelo usuário.
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Introdução aos Sistemas de Controle Moderno
1.7. Observações importantes
Vale ressaltar que existem diversas maneiras de se representar as
formas canônicas controlável e observável de sistemas de controla. Por
este motivo, algumas representações apresentam as matrizes de
controlabilidade e observabilidade de forma “invertida”.
Pode-se destacar por exemplo o software Matlab, onde as forma os 
comandos utilizados apresentam os sistemas nas formas controlável e 
observável de maneira diferente da abordada em sala de aula. Porém as 
condições de controlabilidade e observabilidade continuam as mesmas.
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Introdução aos Sistemas de Controle Moderno
Exemplo: Para o circuito RLC série apresentado abaixo temos que:
Portanto, podemos modelar este circuito no espaço de estados por meio das 
seguintes equações:
𝑉𝑅 = 𝑅. 𝐼𝐿 
 
𝑉𝐿 = 𝐿. 𝐼 𝐿 
 
𝐼𝑐 = 𝐶.𝑉 𝑐 
 
𝐼𝐿 
𝑉 𝐶
 = 
−𝑅/𝐿 −1/𝐿
1/𝐶 0
 . 
𝐼𝐿
𝑉𝐶
 + 
1/𝐿
0
 𝑒(𝑡) 
 
𝑦 𝑡 = 
1 0
0 1
 . 𝑥 𝑡 + 
0
0
 . 𝑒(𝑡) 
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Introdução aos Sistemas de Controle Moderno
Exemplo (Continuação):
Para R=1Ω, L=0,5H e C= 2F faça o que se pede.
a)Determine as matrizes A, B, C e D do sistema.
b)Determine as funções de transferência que representam as variáveis de estado
do sistema utilizando o Matlab.
c)Determine a matriz de controlabilidade do sistema utilizando o Matlab. O sistema
é controlável?
d)Determine a matriz de observabilidade do sistema utilizando o Matlab. O sistema
é observável.
e)Modele este sistema no Simulink utilizando a representação no espaço de
estados (State-Space) e utilizando funções de transferência (Transfer Fcn).
Compare os resultados obtidos.