Lista_6.2_-_Teorema_da_Funcao_Implicita

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Faculdade de Economia da Universidade Nova de Lisboa 
Apontamentos Cálculo II 
 
1 
 
 
Lista 6.2 – Teorema da Função Implícita 
 
1.
n n n
S: ൝
f1ሺx1, … ,xnሻ ൌ b1
…
fmሺx1, … ,xnሻ ൌ bm
 
2. 
n
S: ൝
f1ሺx1, … ,xnሻ ൌ b1
…
fmሺx1, … ,xnሻ ൌ bm
 
CSS ൌ ሼሺa1, … ,anሻ א Թn: f1ሺa1, … ,anሻ ൌ b1 ר … ר fmሺa1, … ,an ሽ
3. n m
n
m
f: Df ك Թn ՜ Թm
f൫x1, … ,xn൯ ൌ ቀf1൫x1, … ,xn൯,… ,fm൫x1, … ,x ቁ
4. 
൝
f1ሺx1, … ,xnሻ ൌ b1
…
fmሺx1, … ,xnሻ ൌ bm
֞ ൝
f1ሺx1, … ,xnሻ െ b1 ൌ 0
…
fmሺx1, … ,xnሻ െ bm ൌ 0
֞ Fሺx1, … ,xnሻ ൌ ሺ0, … ,0ሻ
F: Df1 ת … ת Dfm ك Թ
n ՜ Թm
Fሺx1, … ,xnሻ ൌ ൫F1ሺx1, … ,xnሻ, … , Fmሺx1, … ,xnሻ൯ ൌ ሺf1ሺx1, … ,xnሻ െ b1, … , fmሺx1, … ,x ሻ
5.
 Sistema de m equações e n variáveis reais (S): 
Conjunto de m  condições  lógicas, que podem  ser  respeitadas por um número  infinito de 
pontos de Թ , um número finito de pontos de Թ , ou por nenhum ponto de Թ . 
 
Conjunto solução de um sistema de m equações e n variáveis reais: 
Conjunto de pontos de Թ  que respeitam todas as condições do sistema de equações. 
ሻ ൌ bm  
 
Função de Թ em Թ : 
Aplicação que faz corresponder aos pontos de Թ  que pertencem ao seu domínio um e um 
só ponto de Թ .  
 
n൯  
 
Sistemas de equações e funções: 
A definição do conjunto solução de um sistema de equações é equivalente à definição do 
conjunto de zeros  (objectos cujas  imagens são o vector nulo) de uma  função associada ao 
sistema. 
  
 
nሻ െ bm  
 
 Teorema da Função Implícita aplicado a uma equação de 2 variáveis reais: 
Se: 
 2F: DF ك Թ ՜ Թ 
 S: F x yሻ ൌ 0 ሺ ,
 aሺa,bሻ א CSS ֞ Fሺ ,bሻ ൌ 0 
Apontamentos Cálculo II 
Lista 6.2 – Teorema da Função Implícita 
 
2 
 
 
  F א , k  ׌ Vሺa,bሻ ك DF: Ck൫Vሺa,bሻ൯ ൒ 1
 aFyᇱ ሺ ,bሻ ് 0 
Então: 
  ׌ Va,Vb ك Թ: ׌ f: F൫x,fሺxሻ൯ ൌ 0
f: Va ك Թ ՜ Թ; CD b
fሺx ሺ ሻ
f ൌ V  
ሻ ൌ y x  
  f א Ck
 xfᇱሺxሻ ൌ െ F ሺ ൯
Fy൫x fሺ ሻ൯
ᇲ൫x,f xሻ
ᇲ , x
 
 
6. Teorema da Função Implícita: 
Se: 
 mF: DF ك Թn൅ ՜ Թm 
 S: F x,yሻ ൌ 0; x ൯ א Թm ሺ ൌ ሺx1, … ,xnሻ א Թn; y ൌ ൫y1, … ,ym  
 ,ሺa,bሻ א CSS ֞ Fሺa,bሻ ൌ Fሺa1, … ,an, b1, … ,bmሻ ൌ ሺ0, … ,0 ,0ሻ0, …  
  F א , k  ׌ Vሺa,bሻ ك DF: Ck൫Vሺa,bሻ൯ ൒ 1
 mหJFሺa,bሻห ൌ หJFሺa1, … ,an, b1, … ,b ห ്ሻ 0 
Então: 
  ׌ Va ك Թn,Vb ك Թm: ׌ f: F൫x,fሺxሻ൯ ൌ 0
f: Va ك Թn ՜ Թm; CD ൌ b
fሺx1, … ,xnሻ ൌ ቀy1ሺx1, … ,xnሻ, … ,ymሺx1 … ,xn ቁ
f V  
, ሻ  
  f א Ck
 xJfሺxሻ ൌ െൣJyF൫x,fሺxሻ൯൧
ି1
. J f ൯
7. 
F൫x, ሺxሻ  
 
Suficiência e Necessidade das condições do Teorema da Função Implícita: 
Se as condições do Teorema da Função  Implícita se verificarem, a existência  local de uma 
função  definida  implicitamente  é  garantida,  mas  se  não  se  verificarem,  nada  se  pode 
concluir  sobre  a  existência  local  de  uma  função  definida  implicitamente  com  base  no 
Teorema da Função Implícita, podendo ocorrer ou não. Por isso, a verificação das condições 
do Teorema da Função Implícita é suficiente, mas não necessária, para a existência local de 
uma função definida implicitamente a partir de um sistema de equações.