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GAAL- lista 5 6 de Outubro de 2014 1. Quais dos seguintes conjuntos de R3 sa˜o subespac¸os vetoriais: a) O conjunto de vetores (x1, x2, x3) tais que x3 = x1 + x2. b) O conjunto de vetores (x1, x2, x3) tais que x 2 3 = x 2 1 − x2. c) O conjunto de vetores (x1, x2, x3) tais que x1 ≥ 0 d) O conjunto de vetores (a, b, c) tais que b = a+ c+ 1. e) O conjunto de vetores da forma (a, 0, 0.) f) O conjunto de vetores (x1, x2, x3) tais que x 2 1 = x 2 2. 2. Determine o valor de a tal que os vetores v1 = (0,−2, 2), v2 = (1, 3,−1) e v3 = (a,−1, 5) sejam linearmente dependentes (L.D.). 3. Usando v1, v2 e v3 do item anterior, verifique se v4 = (−4, 6,−13, 4) esta´ no espac¸o gerado por v1, v2, v3 e caso esteja escreva v4 como combinac¸a˜o linear de v1, v2 e v3. 4. Mostre que os vetores v1 = (−1, 1, 0,−3), v2 = (−3, 3, 2,−1), v3 = (0, 1, 0, 0) e v4 = (0, 0, 0, 1) sa˜o linearmente independentes (L.I.). 5. Verifique se os vetores v1 = (2, 1, 0, 3), v2 = (3,−2, 5, 0), v3 = (−1, 0, 3, 1) sa˜o L.I. ou L.D. 6. Considere os vetores v1 = (2, 1, 0, 3), v2 = (3,−1, 5, 2) e v3 = (−1, 0, 2, 1). Escreva, se for poss´ıvel, cada um dos vetores (2, 3,−7, 3) e (1, 1, 1, 1) como combinac¸a˜o linear dos vetores v1, v2 e v3. 7. Determine os valores de λ para os quais a) Os vetores v1 = (1 − λ, 0, 2), v2 = (2, 1 − λ, 1) e v3 = (3, 0, 2 − λ) sa˜o linearmente dependentes. b) Os vetores v1 = (3, 1, 0) e v2 = (λ 2 + 2, 2, 0) sa˜o linearmente dependentes. b) Os vetores v1 = (λ,−12 ,−12), v2 = (−12 , λ,−12) e v3 = (−12 ,−12 , λ) sa˜o linearmente dependentes. 8. Mostre que os vetores v1 = (−1,−1, 2, 1, 0), v2 = (1, 1, 1, 1, 3) e v3 = (1, 0,−1, 1, 2) sa˜o linearmente independentes. Encontre os valores de a, b ∈ R tal que v4 = (1,−1, 3, a, b) esteja no espac¸o gerado por v1, v2 e v3 . Neste caso, encontre λ1, λ2 e λ3 tal que v4 = λ1v1 + λ2v2 + λ3v3. 9. Encontre um conjunto de geradores para o espac¸o soluc¸a˜o do sistema homogeˆneo AX = 0, onde A = 1 0 1 01 2 3 1 2 1 3 1 . 10. Diga se cada afirmac¸a˜o abaixo e´ verdadeira ou falsa, justificando sua resposta. (a) Se os vetores v1, v2 e v3 sa˜o vetores de Rn linearmente independentes, enta˜o w1 = v1+v2, w2 = v1 + v3 e w3 = v2 + v3 sa˜o L.I. (b) Se A uma matriz n× n, as colunas de A sa˜o L.I se e somente se, det(A) 6= 0. (c) O plano x+ y + 2z + 2 = 0 e´ um subespac¸o de R3. Justifique sua (d) A reta y = 2x e´ um subespac¸o de R2 (e) A unia˜o de dois subespac¸os de um espac¸o vetorial V e´ tambe´m um subespac¸o de V (f) Se o conjunto gerado pelo conjunto S1 e´ igual ao conjunto gerado por S2 enta˜o os S1 = S2. (g) Qualquer conjunto com um u´nico vetor e´ L.I. (h) O conjunto de matrizes 2 × 2 com determinante igual a zero forma um sub-espac¸o vetorial de R4. (i) O conjunto de matrizes 3 × 3 triangulares superiores formam um sub-espac¸o vetorial de R9 (j) Dada a matriz A = ( 3 2 7 1 ) , o conjunto de vetores X = (x, y) tal que XAX t = 0 formam um espac¸o vetorial. (k) Dada a matriz A = ( 3 2 7 1 ) , o conjunto de matrizes X = ( x y z w ) tal que AXAt = 0 formam um espac¸o vetorial. 11. Um conjunto de vetores e´ dito ortonormal se os vetores sa˜o ortogonais dois a dois e a norma de cada um dos vetores do conjunto e´ 1. Para que valores de a e b o conjunto de vetores u = ( 1√ 2 , 0, 1√ 2 ) e v = (a, 0, b) sa˜o ortonormais.
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