LISTA DE DERIVADAS Calculo II.pdf

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FICHA DE EXERCÍCIOS – DERIVADAS PARCIAIS PROFª: Maria Alice 
 
 Nos exercícios de 1 até 10, calcular as derivadas parciais de primeira ordem: 
1) Z = 5xy – x2 
 
2) f(x, y) = x2 + y2 -10 
 
 
3) z = 2x + 5y -3 
 
4) z = 𝑥𝑦 
 
5) f(x, y) = x2 y + 3y2 
 
6) f(x, y) = 𝑒x
2𝑦 
 
 
11) encontrar as derivadas parciais de segunda ordem: 
a) z = x
2
 – 3y3 + 4x2 y2 b) z = x2y2 – xy 
 
c) z = lnxy d) z = 𝑒𝑥𝑦 
 
 
12) Encontrar as derivadas parciais de terceira ordem de : z = x + y + x
3
 - x
2
 – y2 
 
13) Dada a função z = = x cos xy, encontre 𝜕
2𝑧
𝜕𝑥2
 ;𝜕
2𝑧
𝜕𝑥𝜕𝑦 ; 
𝜕2𝑧
𝜕𝑦𝜕𝑥 
 14) Sabendo que uma função é harmônica se atende à equação de Laplace 
: ∂²f/∂x²+∂²f/∂y²+∂²f/∂z²=0.Verifique se a função f(x,y,z) = x.cosy + y.senx + z.senx.cosy é harmônica. 
 
 
15) Determinar dz/dt, usando a regra da cadeia: 
a) z = tg (x
2
 + y), x = 2t, y = t
2
 b) z = e
x
 ( cos x + cos y), x = t
3
, y = t
2 
 
c) z = 
𝑥
𝑦
, x = e
-t
 , y = ln t d) z = xy, x = 2t
2
 + 1, y = sen t 
 
16) Determinar as derivadas parciais 
𝜕𝑧
𝜕𝑥
 𝑒
𝜕𝑧
𝜕𝑦
 . 
a) z = l
2
 + m
2
 , l = cos xy , m = senxy b) z = u
2
 + v
2
 , u = x
2
 – y2 , v = e2xy 
 
c) z = uv
2
 + v ln u , u = 2x – y , v = 2x + y 
 
17) Utilizando a regra da cadeia, encontre a derivada parcial ∂w/∂r quando w=(x+y+z)²; x= rs ; 
y=cos(r+s); z=sen(r+s) se r=1 e s=-1. 
18) Determine a equação do plano tangente à superfície z=f(x,y)=3.x.y²-10x² no ponto P(1,2,2). 
19) Encontre um vetor tangente unitário da curva r(t) = (6 sen 2t) 𝑖 + (6 cos 2t) 𝑗 + 5t 𝑘 para t pertencente 
ao intervalo [0,] 
20) Considere a função F(x,y,z) = ( x
3
 y
(1/2)
 ) / z. Calcular o gradiente da função F(x,y,z) 
 
 
 
7) f(x, y) = x cos (y – x) 
 
8) f(x,y,z) = xy + yz + xz 
 
 
9) f(x, y,z) = yzln (xy) 
 
10) f(x,y,z) = 𝑒−(𝑥
2+ 𝑦2+𝑧2) 
 
21) Apresente a expressão do operador divergente do campo vetorial:𝑉 = (ex+z.cosy)𝑖 +(x2.z -
e
y
) 𝑗 +(x.y2+z2seny)𝑘 
22) Apresente a expressão do operador rotacional do campo vetorial: 
 𝑉 =(ex+z.cosy)𝑖 + (x.z -ey)𝑗 +(x.y+z2)𝑘 no ponto P(0,0,1). 
 
 
 
 
 
RESPOSTAS 
1) 5y -2x ; 5x 2) 2x ; 2y 3) 2 ; 5 4) 
𝑦
2 𝑥𝑦
 ; 
𝑥
2 𝑥𝑦
 5) 2xy ; x
2
 + 6y 
6)2𝑥𝑦𝑒𝑥
2𝑦 ; x
2𝑒𝑥
2𝑦 7) xsen (y – x) + cos (y – x) ; -x sen (y – x) 
8) y + z x; x + z; y + x9) 
𝑦𝑧
𝑥
; z ln( xy) + z; y ln(xy) 10) – 2x 𝑒−(𝑥
2+ 𝑦2+𝑧2);- 2y 
𝑒−(𝑥
2+ 𝑦2+𝑧2); -2z 𝑒−(𝑥
2+ 𝑦2+𝑧2) 
11) a) 2 + 8 y
2
 ; 16xy ; -18y + 8x
2
 ; 16xy b) 2y
2
 ; 4xy -1 ; 2x
2
 ; 4xy -1 
 c)
−1
𝑥2
 ; 0 ; 
−1
𝑦2
 ; 0 d) y
2
e
xy
 ; e
xy
 ( 1 + xy) ; x
2
e
xy
 ; e
xy
 ( 1 + xy) 
12) 6 , as demais derivadas são nulas 13) – 2y sem xy – xy2cos xy ; -2x senxy – x2y cos xy 
14) não é harmônica. 15) a) 10t sec
2
 (5t
2
) b) t𝑒𝑡
3
( 3t cos t
3
 + 3t cos t
2
 – 3t sen t3 – 2 sen2t) 
 c) 
− 𝑒−𝑡
ln 𝑡
− 
𝑒−𝑡
𝑡 𝑙𝑛 2𝑡 
 d) 4t sen t + (2t
2
 +1) cos t 
 
16) a) 0,0 b) 4x(x
2 – y2) + 4y e4xy , - 4y(x2 – y2) + 4x e4xy 
c) 2(2x + y)
2
 + 2(
2𝑥+𝑦
2𝑥−𝑦
) + 2(4x2 – y2) + 2 ln(2x – y) , - 2(2x + y)2 - 2(
2𝑥+𝑦
2𝑥−𝑦
) + 2(4x2 – y2) + ln(2x – y) 
17) 12 18) z=-8x+12y -14 19) (12 cos 2t)𝑖 + (-12 sen 2t)𝑗 + 5𝑘 
20)(3x
2
y
½
 / z)𝑖 + (x3 / 2zy1/2) 𝑗 21) - (x3y1/2 /z2) 𝑘 21) ex – ey + 2zseny 22) 𝑗 + 𝑘