apo12

Prévia do material em texto

UFRGS – Universidade federal do rio grande do sul
Escola de engenharia
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
ENG 01111
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I
Prof. Virgínia Maria Rosito d’Avila Bessa
vichy@ufrgs.br
sala 308a
BIBLIOGRAFIA
- NBR 6118/03 - Projeto de estruturas de concreto - Procedimento
- NBR 7480/96 – Barras e fios de aço destinados a armaduras para concreto armado
- NBR 8681 - Ações e segurança nas estruturas
- Montoya, Meseguer e Morán : Hormigón Armado
- Leonhardt e Mönning : Construções de Concreto vol. 1 a 6 - Interciências
- Péricles B. Fusco : Estruturas de Concreto, solicitações normais
- Péricles B. Fusco – Técnica de armar as estruturas de concreto
- Carvalho e Figueiredo Filho – Cálculo e Detalhamento de Estruturas Usuais de Concreto
 Armado Segundo a NBR6118:2003
- José Milton de Araújo – Curso de Concreto Armado vol. 1 a 4
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 1
I - FUNDAMENTOS DO CONCRETO ARMADO
1- INTRODUÇÃO
O concreto armado é um material composto, constituído por concreto simples e
barras de aço. Os dois materiais constituintes (concreto e aço) devem agir solidariamente
para resistir aos esforços a que forem submetidos e devem ser dispostos de maneira a
utilizar econômica e racionalmente as resistências próprias de cada um deles.
O emprego de materiais com propriedades adesivas e coesivas, que
apresentassem resistência às interpéries e pudessem ser utilizados como material de
construção é muito antigo: os antigos egípcios usavam gesso impuro calcinado e os
gregos e romanos utilizavam uma mistura de cal, água, pedras e areia. A seguir,
encontram-se alguns fatos importantes relacionados com o desenvolvimento do concreto
armado:
- Império Romano: Emprego de um material de origem vulcânica parecido com o cimento
pozolânico. O termo cimento vem do termo latino coementum, que designava na velha
Roma uma espécie de pedra natural de rochedos.
- 1824: O inglês Aspdin consegue calcinar argila e pedra calcárea, obtendo um material
que, após moído até obter um pó fino, é conhecido hoje como Cimento Portland.
- 1848: O francês Lambot constrói barcos de argamassa de cimento reforçada com ferro.
- 1861: O francês Monier fabrica vaso de flores de concreto com armadura de arame.
- 1902: O alemão Mörsch formula uma Teoria Científica sobre o dimensionamento de
peças de concreto armado. Os conceitos desenvolvidos por Mörsch são válidos ainda
hoje.
Simplificadamente, para a composição do concreto armado, pode-se indicar
esquematicamente:
- cimento + água = pasta
- pasta + agregado miúdo = argamassa
- argamassa + agregado graúdo = concreto
- concreto + barras de aço = concreto armado
O material concreto armado possui as seguintes propriedades:
- Elevada resistência à compressão do concreto e elevada resistência tanto à tração
quanto à compressão do aço.
- Trabalho conjunto do concreto e do aço, assegurado pela aderência entre os dois
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 2
materiais.
- Coeficiente de dilatação térmica quase iguais para os dois materiais (α = 10-5/°C).
Praticamente não existem tensões internas entre o aço e o concreto.
- O concreto protege a armadura de oxidação, garantindo a durabilidade da estrutura. O
concreto proporciona às barras de aço da armadura proteção física (cobrimento) e
química (ambiente alcalino).
Já que o concreto possui alta resistência à compressão porém pequena resistência
à tração, as barras da armadura devem absorver os esforços de tração que surgem nas
peças de concreto armado. Portanto, necessariamente, deve ser colocada armadura na
zona de tração das peças.
Devido à aderência entre o concreto e o aço, as deformações das barras de aço e
a do concreto que as envolve devem ser iguais. Tendo em vista que o concreto
tracionado não pode acompanhar as grandes deformações do aço, o concreto fissura-se
na zona de tração; os esforços de tração são, então, absorvidos apenas pelo aço.
O concreto armado é um material largamente empregado na construção civil por
apresentar as seguintes vantagens:
- grande moldabilidade, adaptando-se a qualquer tipo de forma.
- quando moldado in loco, resulta estruturas monolíticas, hiperestáticas, que favorecem a
segurança.
Como desvantagens do emprego do concreto armado pode-se salientar:
- Peso próprio alto: 2,5t/m3 = 25KN/m3
- Dificuldade de reformas e demolições.
2- PROPRIEDADE DOS MATERIAIS
2.1- CONCRETO
O concreto é um aglomerado constituído de agregados e cimento como
aglutinante; é, portanto, uma rocha artificial. As propriedades do concreto que interessam
ao estudo do concreto armado são a resistência à ruptura e à deformabilidade, quer sob
a ação de variações das condições ambientes, quer sob a ação de cargas externas.
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 3
2.1.1 Resistência à compressão - fc
A resistência à compressão simples é a característica mecânica mais importante
de um concreto. Geralmente sua determinação se efetua mediante o ensaio de corpos de
prova, executado segundo procedimentos operatórios normalizados.
A resistência do concreto não é uma grandeza determinística, mas está sujeita a
dispersões cujas causas principais são variações aleatórias da composição, das
condições de fabricação e da cura. Além destes fatores aleatórios, existem também
influências sistemáticas como: influência atmosférica (verão/inverno), mudança da origem
de fornecimento das matérias primas, turmas de trabalho ...
Figura I-1: Diagrama de freqüências.
A representação das dispersões na determinação da resistência à compressão
simples do concreto é representada através de um diagrama de freqüências, ver Fig. I-1.
Para um grande número de ensaios, o diagrama de freqüências pode ser
representado por uma curva de distribuição normal ou curva de Gauss. Considerando
uma distribuição normal, pode-se determinar a média aritmética por
n
f
 f
n
1
ci
cj
∑
=
e o desvio padrão por
abcissa que mede
a resistência de maior
freqüência
Sn Sn
fcj
freqüência
fci (MPa)
curva de Gauss
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 4
 1n
)f(f
 S
n
2
cjci
n
1
−
−
=
∑
sendo n o número de corpos de prova.
Dado o diagrama de freqüências, surge um problema prático: determinar um valor
que seja representativo da resistência do concreto.
A média aritmética (fcj) apresenta o inconveniente de não representar a verdadeira
resistência do concreto na obra, por não levar em conta a dispersão da série de valores.
Analisando-se dois concretos de mesma resistência média e diferente dispersão,
concretos 1 e 2 da Fig.I-2, não há dúvida que o mais seguro é aquele de menor
dispersão, o concreto 1 (possui menos pontos com resistência menor que a média).
Figura I-2: Curvas de Gauss para diferentes concretos.
Em conseqüência, o coeficiente de segurança a adotar no cálculo deve ser maior
para o concreto 2 do que o utilizado para o concreto 1.
Adotando-se a resistência média, ter-se-á coeficientes de segurança variáveis
segundo a qualidade de execução do concreto.
Para a adoção de um coeficiente de segurança único faz-se necessário o emprego
da resistência característica.
2.1.2- Resistência característica - fck
Define-se como resistência característica do concreto aquele valor que apresenta
uma probabilidade de 95% de que se apresentem valores individuais de resistência de
fci
fcj1 = fcj2
freqüência
fck1fck2
fck3 fcj3
1
2
3
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 5
corpos de prova mais altos do que ele; ou seja, somente 5% de valores menores ou
iguais a ele.
A resistência característica é uma medida estatística que leva em consideração
não só o valor da média fcj como também o coeficientede variação δ.
Analisando-se dois concretos de mesmo fcj e dispersões diferentes, concretos 1 e
2 da Fig. I-2, o concreto mais seguro o de menor δ, concreto 1. Também, analisando-se
dois concretos de mesmo fck e coeficientes de variação distintos, concretos 2 e 3 da Fig.
I-2, o mais econômico (menor fcj) o de menor δ, o concreto 3.
Considerando-se uma distribuição normal, a resistência característica é dada por
ncjck S 1,65 - f f = ou ) 1,65 -1( f f cjck δ=
sendo δ = Sn/fcj
Os concretos podem ser classificados, segundo a NBR 8953, em classes de
resistências conforme o valor de seu fck. Por exemplo, um concreto C20 é um concreto
com fck = 20 MPa.
Segundo a NBR 6118, em estruturas de concreto armado podem ser utilizados os
concretos C15, C20, C25, C30, C35, C40, C45 e C50, sendo que a classe C15 pode ser
usada apenas em fundações, conforme NBR 6122, e em obras provisórias.
2.1.3- Carregamento de longa duração
A resistência do concreto à compressão é, para cargas de longa duração, inferior
àquela referente a carregamentos rápidos. Trabalhando-se com uma resistência do
concreto retirada de ensaios de curta duração, precisa-se afetar o valor assim obtido para
a resistência característica de um fator redutor. Segundo os ensaios de Rüsch, esta
redução deve ser de 15%.
2.1.4- Módulo de deformação longitudinal
O módulo de deformação pode ser definido como a derivada da curva tensão-
deformação no ponto em consideração.
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 6
Segundo a NBR 61118 item 8.2.8 “quando não forem feitos ensaios e não
existirem dados mais precisos sobre o concreto usado na idade de 28 d, pode-se estimar
o valor do módulo de deformação usando a expressão :
Eci = 5600 fck1/2 MPa
O módulo de deformação secante a ser utilizado nas análises elásticas de projeto,
especialmente para determinação de esforços solicitantes e verificação de estados limites
de serviço, deve ser calculado pela expressão :
Ecs = 0,85 Eci
Na avaliação do comportamento de um elemento estrutural ou seção transversal
pode ser adotado um módulo único, à tração e à compressão, igual ao módulo de
deformação secante (Ecs).
Na avaliação do comportamento global da estrutura e para o cálculo das perdas de
protensão, pode ser utilizado em projeto o módulo de defornação tangente inicial (Eci).”
2.1.5- Coeficiente de poisson (NBR 6118 tem 8.2.9)
Para tensões de compressão menores que 0,5fc e tensões de tração menores que
fct pode-se considerar ν = 0,2.
2.1.6- Diagrama tensão-deformação - Compressão (NBR 6118 item 8.2.10)
Visando estabelecer um critério comum ao dimensionamento, busca-se, para as
diferentes resistências à compressão com que se trabalha na prática, um diagrama ideal,
matematicamente definido. Para análises no estado limite último pode ser empregado o
diagrama parábola retângulo da Fig. I-3.
O trecho curvo fica definido por
 
0,002
-1 -1 f 0,85 
2
c
cd














=
ε
σ c
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 7
Figura I-3: Diagrama tensão – deformação.
2.1.7- Resistência à tração - fct (NBR 6118 item 8.2.5)
Na falta de ensaios, o valor de fct médio ou característico pode ser avaliado por
meio das equações seguintes:
fctm = 0,3 fck2/3
fctk,inf = 0,7 fctm MPa
fctk,sup = 1,3 fctm
2.1.8- Características Reológicas
REOLOGIA: é o ramo da mecânica que estuda a evolução de deformações de um
material, produzidas por causas tencionais ao longo do tempo.
a) RETRAÇÃO/EXPANSÃO
A retração é uma deformação independente do carregamento e devida à variação de
umidade do concreto, na tendência a permanecerem em equilíbrio a umidade do concreto
e a umidade do meio exterior. No processo da retração, a água é inicialmente expulsa
das fibras externas o que gera deformações diferenciais entre a periferia e o miolo,
gerando tensões internas capazes de provocar fissuração do concreto.
σc
0,85fcd
3,5‰2‰
εc
parábola 2o grau
3,5‰ → ruptura
2%0 → tensão máxima
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 8
b) FLUÊNCIA OU DEFORMAÇÃO LENTA (NBR 6118 item 8.2.11)
A fluência é uma deformação que depende do carregamento; é plástica, apenas uma
pequena parcela é recuperada. Constata-se, na prática, que a deformação de uma peça
de concreto armado é maior em um tempo t que àquela observada inicialmente,
mantendo-se o mesmo carregamento. Explicação: devido à deformação inicial, imediata,
ocorre uma redução de volume da peça, provocando deslocamento de água existente no
concreto para regiões onde sua evaporação já tenha ocorrido. Isto desencadeia um
processo, ao longo do tempo, análogo ao da retração, verificando-se o crescimento da
deformação inicial até um valor máximo no tempo infinito.
c) VARIAÇÃO DE TEMPERATURA (NBR 6118 item 8.2.3)
Supõe-se que as variações de temperatura sejam uniformes na estrutura, salvo quando a
desigualdade dessas variações, entre partes diferentes da estrutura, seja muito
acentuada. O coeficiente de dilatação térmica do concreto armado é considerado igual a
10-5/°C.
2.2- AÇO
2.2.1 Categorias
Segundo a NBR 6118 item 8.3 “nos projetos de estruturas de concreto armado
deve ser utilizado aço classificado pela NBR 7480 com o valor característico da
resistência de escoamento nas categorias CA-25, CA-50 e CA-60. Os diâmetros e seções
transversais nominais devem ser os estabelecidos na NBR 7480”.
A nomenclatura é função do valor característico da tensão de escoamento fyk. Por
exemplo, para o aço CA-50 a tensão de escoamento vale fyk = 50 kN/cm2 = 500 MPa.
Segundo a NBR 7480, os aços podem ser classificados como barras (CA-50 e
CA-25) e fios(CA-60).
As barras são obtidas por laminação a quente, sem necessidade de posterior
deformação a frio, com escoamento definido caracterizado por patamar no diagrama
tensão-deformação e alta ductilidade. Já os fios sofrem um processo de trefilação , sem
patamar no diagrama tensão-deformação e possuem ductilidade normal.
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 9
Os diâmetros e seções transversais estabelecidos pela NBR 7480 são dados na
Tabela I-1.
2.2.2- Tipo de superfície
Segundo o tipo de superfície, as barras da armadura podem ser classificadas em:
lisa (CA-25), dentada (CA-60) e de alta aderência ou nervuradas (CA-50). As nervuras
melhoraram as condições de aderência entre aço e concreto.
Na Tabela I-2, encontram-se os coeficientes de conformação superficial para cada
tipo de superfície.
Tabela I.2 – Coeficiente de conformação superficial - η1
Tipo de barra ηηηη1
Lisa 1,0
Dentada 1,4
 Alta aderência 2,25
2.2.3- Diagramas tensão – deformação (NBR 6118 item 8.3.6)
a) BARRAS (Antigos aços tipo A)
Para análises no estado limite último, permite-se a utilização do diagrama
simplificado da Fig. I-4, material elasto-plástico perfeito, tanto para as barras como para
os fios.
No diagrama dado pela Fig. I-4, existem dois trechos onde:
 
 ydf =sdσ %o10 sdε ydε
 
sdε csE =sdσ ydε sdε 0
→≤≤
→≤≤
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 10
Figura I-4: Diagrama tensão-deformação.
O módulo de elasticidade é dado por:
 
f
=f MPa 102,1 =E 
f
 = E = tg 
s
yk
yd
5
cs
yd
yd
cs γ
→×→
ε
ϕ
A deformação limite dada no diagrama não corresponde à ruptura do aço. Na
tração (10‰) é uma limitação para evitar deformação excessiva. Na compressão (3,5‰)
é devida ao funcionamento conjunto com o concreto.
ϕ
fyd
σs
εyd 10‰
patamar
εsεyd
fyd
3,5‰
TABELA I-1 - ÁREA DA SEÇÃO DE ARMADURA AS (cm2)
BITOLAS PADRONIZADAS(NBR7480/96)
BITOLA φ(mm) Número de fios ou barras
FIOS BARRAS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2,4 0,05 0,09 0,14 0,18 0,23 0,27 0,32 0,36 0,41 0,45
3,4 0,09 0,18 0,27 0,36 0,45 0,54 0,64 0,73 0,82 0,91
3,8 0,11 0,23 0,34 0,45 0,57 0,68 0,79 0,91 1,02 1,13
4,2 0,14 0,28 0,42 0,55 0,69 0,83 0,97 1,11 1,25 1,39
4,6 0,17 0,33 0,50 0,66 0,83 1,00 1,16 1,33 1,50 1,66
5,0 5,0 0,20 0,39 0,59 0,79 0,98 1,18 1,37 1,57 1,77 1,96
5,5 0,24 0,48 0,71 0,95 1,19 1,43 1,66 1,90 2,14 2,38
6,0 0,28 0,57 0,85 1,13 1,41 1,70 1,98 2,26 2,54 2,83
6,3 0,31 0,62 0,94 1,25 1,56 1,87 2,18 2,49 2,81 3,12
6,4 0,32 0,64 0,97 1,29 1,61 1,93 2,25 2,57 2,90 3,22
7,0 0,38 0,77 1,15 1,54 1,92 2,31 2,69 3,08 3,46 3,85
8,0 8,0 0,50 1,01 1,51 2,01 2,51 3,02 3,52 4,02 4,52 5,03
9,5 0,71 1,42 2,13 2,84 3,54 4,25 4,96 5,67 6,38 7,09
10,0 10,0 0,79 1,57 2,36 3,14 3,93 4,71 5,50 6,28 7,07 7,85
12,5 1,23 2,45 3,68 4,91 6,14 7,36 8,59 9,82 11,04 12,27
16,0 2,01 4,02 6,03 8,04 10,05 12,06 14,07 16,08 18,10 20,11
20,0 3,14 6,28 9,42 12,57 15,71 18,85 21,99 25,13 28,27 31,42
22,0 3,80 7,60 11,40 15,21 19,01 22,81 26,61 30,41 34,21 38,01
25,0 4,91 9,82 14,73 19,63 24,54 29,45 34,36 39,27 44,18 49,09
32,0 8,04 16,08 24,13 32,17 40,21 48,25 56,30 64,34 72,38 80,42
40,0 12,57 25,13 37,70 50,27 62,83 75,40 87,96 100,53 113,10 125,66
II - BASES DO DIMENSIONAMENTO
1- AÇÕES
1.1- Ações a considerar
Embora exista uma norma brasileira de ações e segurança nas estruturas, NBR
8681, a NBR 6118 altera alguns itens desta norma. Portanto, o texto apresentado a
seguir foi retirado do capítulo 11 da NBR 6118.
“Na análise estrutural deve ser considerada a influência de todas as ações que
possam produzir efeitos significativos para a segurança da estrutura em exame, levando-
se em conta os possíveis estados limites últimos e os de serviço. As ações a considerar
classificam-se de acordo com a NBR 8681 em: permanentes, variáveis e excepcionais.
1.1.1 Ações permanentes
Ações permanentes são as que ocorrem com valores praticamente constantes
durante toda a vida da construção. Também são consideradas como permanentes as
ações que crescem no tempo tendendo a um valor limite constante. As ações
permanentes devem ser consideradas com seus valores representativos mais
desfavoráveis para a segurança.
Ações permanentes diretas: são constituídas pelo peso próprio da estrutura e pelos
pesos dos elementos construtivos fixos e das instalações permanentes. Consideram-se
como permanentes os empuxos de terra e outros materiais granulosos quando forem
admitidos não removíveis.
Ações permanentes indiretas: são constituídas pelas deformações impostas por:
retração e fluência do concreto, deslocamentos de apoio, imperfeições geométricas e
protensão.”
1.1.2 Ações variáveis
Ações variáveis diretas: são constituídas pelas cargas acidentais previstas para o uso
da construção, pela ação do vento e da chuva, devendo-se respeitar prescrições feitas
por normas brasileiras específicas.
As cargas acidentais devem ser dispostas nas posições mais desfavoráveis para o
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 14
elemento estudado, ressalvadas as simplificações permitidas por normas brasileiras
específicas e correspondem a:
- cargas verticais de uso da construção;
- cargas móveis, considerando o impacto vertical;
- impacto lateral;
- força longitudinal de frenação ou aceleração;
- força centrífuga.
Os esforços devidos à ação do vento devem ser considerados e determinados de
acordo com o prescrito pela NBR 6123 (Forças devidas ao vento em edificações -
Procedimento) permitindo-se o emprego de simplificações previstas em normas
brasileiras específicas.
Ações variáveis indiretas: são constituídas por variações uniformes e não uniformes de
temperatura e ações dinâmicas.
1.1.3 Ações excepcionais
No projeto de estruturas sujeitas a situações excepcionais de carregamento, cujos
efeitos não possam ser controlados por outros meios, devem ser consideradas ações
excepcionais com os valores definidos, em cada caso particular, por normas brasileiras
específicas.”
1.2 Valores das ações
1.2.1 Valores característicos
Os valores característicos Fk das ações são estabelecido em função da variabilidade de
suas intensidades.
1.2.2 Valores representativos
As ações são quantificadas por seus valores representativos, que podem ser:
a) os valores característicos
b) valores convencionais excepcionais, que são os valores arbitrados para as ações
excepcionais;
c) valores reduzidos, em função da combinação de ações.
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 15
2- ESTADOS LIMITES
Uma estrutura, ou parte dela, é considerada inadequada à sua finalidade quando
ela atinge um estado particular, dito estado limite, no qual ela não atende critérios
condicionantes ao seu comportamento ou ao seu uso. O objetivo do cálculo de uma
estrutura em concreto armado é o de garantir, a um só tempo, estabilidade, conforto e
durabilidade.
2.1- Estados Limites Últimos (ELU)
Segundo a NBR 6118 item 3.2.1 “ Estado limite relacionado ao colapso, ou a
qualquer outra forma de ruína estrutural, que determine a paralisação do uso da
estrutura.”
Corresponde ao máximo da capacidade portante, podendo originar-se de:
- perda de estabilidade (incapacidade de absorver reações de apoio ou forças de ligação
em vínculos internos)
- ruptura de seções críticas
- transformação da estrutura em mecanismos (ruptura após plastificação).
A capacidade portante da estrutura é obtida com as cargas majoradas e as
resistência dos materiais minoradas.
Considera-se que uma peça tenha atingido sua capacidade limite quando na fibra
mais comprimida de concreto o encurtamento é igual ao valor último convencional (εc =
3,5‰ ou 2‰) ou quando na armadura tracionada a barra de aço mais deformada tem o
alongamento igual ao valor último convencional (εs = 10‰).
2.2- Estados Limites de Serviço (ELS)
Impossibilidade de utilização da estrutura visto que a mesma não mais apresenta
condições necessárias de conforto e durabilidade. Origina-se de:
- deformações excessivas (ELS-DEF)
- fissuração excessiva (ELS-F) e (ELS-W)
- vibração (ELS-VE)
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 16
3- VALORES DE CÁLCULO
Existe a necessidade da utilização de coeficientes de segurança, ou coeficientes
de ponderação, pelo fato de, durante o projeto de uma estrutura, estarem envolvidos
fatores tais como: incerteza dos valores reais das resistências dos materiais; erros na
geometria da estrutura (desaprumo de pilares...); incerteza dos valores das cargas
consideradas; simplificação dos métodos de cálculo...
A NBR 6118 recomenda a utilização de coeficientes de ponderação parciais, que
permitem atribuir a cada grandeza que influencia o comportamento das estruturas um
coeficiente de majoração ou minoração separado.
3.1 Cargas (NBR 6118 item 11.7)
Para obter o valor de cálculo das ações, majora-se o valor representativo das
ações, obtendo-se a denominada ação de cálculo (O sub-índice d vem do inglês: design)
Fd = γf Fk → Fd = 1,4 Fk
3.2 Resistência dos materiais (NBR 6118 item 12.4)
Para obter a resistência de cálculo dos materiais, minora-se o valor característico
das resistências, conforme:
concreto : 
 
4,1
f
 = f ckcd ; aço : 15,1
f
 = f ykyd
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 17
4- ESTÁDIOS DE FLEXÃO
Ensaiando-se uma peça de concreto armado à flexão, sob a ação de carga
gradativamente crescente, observa-se que as tensões passam por 3 fases distintas
durante o aumento da carga, os denominados ESTÁDIOS DE FLEXÃO.
A Figura II–1 representa o diagrama momento-curvatura ou tensão-deformação de
uma peça de concreto armado. Nela estão demarcados os possíveis estádios de flexão.
Figura II-1: Estádiosde flexão.
ESTÁDIO I
ESTÁDIO Ia : Corresponde ao início do ensaio, onde as solicitações são muito pequenas
e o concreto se mantém intacto na zona tracionada; ou seja, o concreto resiste à tração.
O diagrama é uma reta. A peça funciona no regime elástico, obedecendo a Lei de Hooke.
ESTÁDIO Ib: Aumentando a carga de ensaio, admite-se que antes de atingir o estádio II
as tensões passam por um estágio onde é ultrapassada a fase linear-elástica, sem
ruptura do concreto. Comportamento não-linearidade na zona tracionada com diagrama
curvo.
O projeto no estádio I não é econômico, pois para não ser ultrapassada a tensão
admissível do concreto à tração (que é muito pequena), deve-se ter dimensões muito
grandes para a seção transversal. O dimensionamento é feito empregando-se
ΙΙΙ
ΙΙ
Ιb
Ιa
0
σc
fck
ftk
εr ε
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 18
diretamente as expressões da Resistência dos Materiais aplicadas à seção
homogeneizada, sem desprezar a resistência do concreto à tração.
ESTÁDIO II
Corresponde à fase em que a resistência à tração do concreto foi ultrapassada,
mas estando o concreto ainda no regime elástico linear na zona comprimida. Com o
aumento da carga, o concreto fissurado na zona tracionada - σc > ftk. As fissuras são
pequenas (capilares) e o concreto não resiste mais à tração.
ESTÁDIO III
Corresponde a fase onde o concreto comprimido não obedece mais a Lei de
Hooke, apresentando comportamento plástico (não linearidade na zona comprimida).
Com o aumento da carga, chega-se a ruptura final da peça. As cargas são consideráveis,
as fissuras aumentam e a deformação da armadura cresce de forma não linear em
relação à solicitação devido ao escoamento.
ESTÁDIO III →→→→ ESTADO LIMITE ÚLTIMO →→→→ DIMENSIONAMENTO
5 - HIPÓTESES BÁSICAS DE CÁLCULO DE PEÇAS DE CONCRETO ARMADO
SUBMETIDAS A SOLICITAÇÔES NORMAIS NO ESTADO LIMITE ÚLTIMO
5.1- Hipóteses
Segundo a norma brasileira NBR 6118 item 17.2, uma seção de concreto armado,
submetida à solicitações normais, alcança o Estado Limite Último, Estádio III, por
esmagamento do concreto na zona comprimida ou por deformação plástica excessiva do
aço, limitada em εs = 10‰ no alongamento.
Solicitações normais são esforços solicitantes que originam tensões normais sobre
a seção transversal, ou seja, momento fletor e esforço normal.
O estudo de seções de concreto armado no Estado Limite Último de Resistência é
feito com base nas seguintes hipóteses:
- Manutenção da seção plana (hipótese de Bernoulli): as deformações normais
específicas são, em cada ponto da seção transversal, proporcionais à sua distância à
linha neutra.
- Solidariedade perfeita entre os materiais: a deformação da armadura é igual a do
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 19
concreto adjacente.
- A resistência do concreto à tração é desconsiderada.
5.2- Notação
Na Figura II-2 está representada a seção transversal retangular de uma viga de
concreto armado onde pode-se definir:
- b ou bw = largura da seção transversal
- h = altura da seção transversal
- As = área das barras da armadura longitudinal tracionada
- As’= área das barras da armadura longitudinal comprimida
- d = altura útil – distância entre o centro de gravidade da armadura tracionada (As) até a
fibra mais comprimida do concreto
- d’= distância entre o centro de gravidade da armadura comprimida (As’) até a fibra mais
comprimida do concreto
- x = distância da linha neutra até a fibra mais comprimida – profundidade da LN.
Figura II-2: Seção transversal.
5.3 - Relações Constitutivas
5.3.1 – Concreto
Na determinação da resultante dos esforços de compressão no concreto, de
acordo com a NBR 6118 item 17.2.2.e, pode-se fazer a substituição do diagrama tensão -
deformação do tipo parábola retângulo (Fig. II-3 (b)) por um diagrama retangular (Fig.II-
3(c)). Esta substituição pode ser feita de forma segura considerando que a altura da zona
comprimida vale y = 0,8x e que a tensão de compressão no concreto vale (ver Fig. II-
3(c)): fc = 0,85 fcd se “b” não diminui e fc = 0,80 fcd caso contrário (seções circulares,
triangulares, etc).
 b
h d
d’ As’
As
x
LINHA NEUTRA
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 20
 (a) (b) (c)
Figura II-3: Relação Constitutiva para o concreto: (a) Variação das deformações;
 (b) Diagrama retangular parábola Retângulo; (c) Diagrama retangular.
Na Fig. II-3 apresenta-se o diagrama das deformações (hipótese de Bernoulli) e os
diagramas parábola retângulo e retangular para o concreto comprimido. Cabe salientar
que a resistência do concreto aparece multiplicada por 0,85, mesmo no diagrama
parábola-retângulo, devido ao efeito Rush.
5.3.2 Aço
A NBR 6118/03 item 17.2.2.f permite que se utilize o diagrama simplificado da Fig.
II-4 tanto para as barras quanto para os fios.
Figura II-4: Diagrama tensão-deformação do aço.
O módulo de elasticidade é dado por Es = 210000MPa.
 y = 0,8
x
0,85fcd 0,85fcd / 0,8 fcd
x
d
ε1
εc
LN
As
fyd
σsd
εyd 10‰
εsd
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 21
5.4 - Domínios de deformação
A Figura II-5 mostra as possíveis configurações últimas do diagrama de
deformações específicas ao longo da seção transversal de uma peça de concreto armado
sujeita à Solicitações Normais.
Figura II-5: Domínios de deformação.
Define-se domínios de deformação conforme a natureza da ruptura da seção
(NBR 6118 item 17.2.2.g).
5.4.1- Ruptura por alongamento plástico excessivo da armadura de tração
- Reta a: Tração uniforme;
- Domínio 1: Tração não uniforme. O estado limite último é caracterizado pelo
escoamento do aço (εs = 10‰);
- Domínio 2: Flexão Simples ou Composta sem ruptura à compressão do concreto (εc ≤
3,5‰). O estado limite último é caracterizado pelo escoamento do aço (εs = 10‰). A
linha neutra corta a seção.
3,5‰0
h d
d’
10‰
x23
xlim
εyd
 3
 4
 2
As’
As
(encurtamento)
(alongamento)
LN
LN: linha neutra
0
a
a
B
1
5
εs
εc
2‰
b
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 22
5.4.2 - Ruptura do concreto comprimido (sem grandes deformações)
- Domínio 3: Flexão Simples ou Composta com ruptura à compressão do concreto (εc =
3,5‰) e com escoamento do aço (εs ≥ εyd ). A linha neutra corta a seção.
- Domínio 4: Flexão Simples ou Composta com ruptura à compressão do concreto (εc =
3,5‰) e sem escoamento do aço (εs < εyd ). A linha neutra corta a seção. A ruptura da
peça ocorre de forma frágil, sem aviso, pois o concreto rompe antes que a armadura
tracionada se deforme excessivamente.
- Domínio 4a: Flexão Composta com armaduras comprimidas e ruptura à compressão do
concreto (εc = 3,5‰). A linha neutra corta a seção na região de cobrimento da armadura
menos comprimida.
- Domínio 5: Compressão não uniforme, sem tração. A linha neutra não corta a seção.
Neste domínio, a deformação última do concreto é variável, sendo igual a εc = 2‰ na
compressão uniforme e εc = 3,5‰ na flexo-compressão (linha neutra tangente à seção).
- Reta b: Compressão uniforme
As peças projetadas no DOMÍNIO 3 são as que melhor aproveitam as resistências
dos materiais; portanto, são as mais econômicas.
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 23
III- FLEXÃO SIMPLES
1- EQUAÇÕES DE COMPATIBILIDADE DE DEFORMAÇÃO
As deformações na flexão simples correspondem aos domínios de deformação 2,
3 e 4 (ver Fig. II-5). Os valores de x que limitam estes domínios podem ser obtidos
facilmente das equações de compatibilidade de deformações, conforme a Fig. III-1.Figura III-1: Deformação na flexão.
A expressão que relaciona a deformação na fibra mais comprimida do concreto εc
com a deformação na armadura tracionada ε1 (ou no concreto no entorno desta
armadura), pode ser colocada como
 
 x- d
 =
x
c 1εε
sendo x a distância da linha neutra até a fibra mais comprimida do concreto e d a
distância entre o centro de gravidade da armadura tracionada (As) até a fibra mais
comprimida do concreto.
1.1- DOMÍNIO 2 (peças subarmadas)
Para o domínio 2, o estado limite último é atingido pela deformação plástica
excessiva do aço (ε1 = 10‰) sem ruptura do concreto (0 < εc < 3,5‰). Substituindo-se os
valores de ε1 e εc na equação anterior, determina-se o intervalo de valores possíveis de x,
conforme
0 < x < 0,259d
sendo x23 = 0,259d o limite entre os domínios 2 e 3.
εc
x
d Md
ε1
LN
d-x
As
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 24
1.2- DOMÍNIO 3
No domínio 3, a ruptura do concreto (εc = 3,5‰) ocorre simultaneamente com o
escoamento do aço (10‰ > ε1 > εyd), ver Fig. II-5. O intervalo de valores possíveis de x é
determinado substituindo-se os valores de ε1 e εc na expressão anterior, resultando
0,259d < x < xlim
O valor de xlim é dependente do valor de εyd (deformação do aço relativa ao início do
patamar de escoamento, Fig. II-4). Desta forma, para cada de tipo de aço ter-se-á um
valor de εyd diferente, conforme
BARRAS → 
f 101,36 +1
d
 = x 
E
f
 
yd
3-lim
s
yd
yd
×
→=ε
sendo xlim o limite entre os domínios 3 e 4.
Além do limite dado na espressão acima, no item14.6.4.3 da NBR6118-2003 existe
uma limitação da relação x/d para poder melhorar a ductilidade das estruturas nas
regiões de apoio das vigas ou de ligações com outros elementos estruturais. Esta
limitação é dada por:
- x/d ≤ 0,50 para concretos com fck ≤ 35 MPa
- x/d ≤ 0,40 para concretos com fck > 35 MPa
Esta é uma situação desejável, pois há o aproveitamento integral dos dois
materiais sem o risco de ruptura brusca da peça.
1.3- DOMÍNIO 4 (peças superarmadas)
No domínio 4 o concreto rompe (εc = 3,5‰) sem que o aço escoe (ε1 < εyd). O
intervalo de valores possíveis de x é determinado substituindo-se os valores de ε1 e εc na
expressão de compatibilidade de deformações, resultando
 xlim < x ≤ d
Esta situação deve ser evita, pois, além de não ser econômico (pouco
aproveitamento do aço), a peça rompe sem que ocorra grandes deformações.
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 25
2- ARMADURAS LONGITUDINAIS MÁXIMAS E MÍNIMAS
2.1- ARMADURA MÍNIMA
O valor da armadura mínima visa prevenir uma situação que pode ocorrer quando
as dimensões da seção transversal (seja por motivos construtivos ou arquitetônicos) é
muito maior àquela que seria necessária pelo dimensionamento devido à solicitação.
Estas peças, quando submetidas às cargas de serviço, funcionam no Estádio I; ou seja, a
tensão máxima na região tracionada não atinge o valor característico da resistência à
tração. Um excesso de carga pode fazê-las passar do Estádio I para o Estádio II. Para
evitar a possibilidade de uma ruptura brusca do bordo tracionado quando da passagem
do Estádio I para o II, deve-se colocar junto ao bordo tracionado uma armadura mínima
capaz de assegurar à peça uma resistência à flexão no Estádio II igual àquela que
possuia no Estádio I.
Tabela III-1 - Taxas mínimas de armadura de flexão para vigas
(tabela 17.3 da NBR6118)
Valores de ρρρρmin*=(As,min/Ac) %
Forma da seção fck
ωωωωmín
20 25 30 35 40 45 50
Retangular 0,035 0,150 0,150 0,173 0,201 0,230 0,259 0,288
T (mesa
comprimida)
0,024 0,150 0,150 0,150 0,150 0,158 0,177 0,197
T (mesa
tracionada)
0,031 0,150 0,150 0,153 0,178 0,204 0.229 0,255
Circular 0,070 0,230 0,288 0,345 0,403 0,460 0,518 0,575
* Os valores de ρmin estabelecidos nesta tabela pressupõem o uso de aço CA-50, γc = 1,4
e γs = 1,15. Caso esses fatores sejam diferentes, ρmin deve ser recalculado com base no
valor de ρmín dado.
Nas seções tipo T, a área da seção a ser considerada deve ser caracterizada pela alma
acrescida da mesa colaborante.
A armadura mínima de tração deve ser determinada, segundo a NBR6118 item
17.3.5.2.1, pelo dimensionamento da seção a um momento fletor mínimo dado pela
expressão a seguir, respeitada a taxa mínima absoluta 0,150 %:
Md,mín = 0,8W0 fctk,sup
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 26
onde W0 é o módulo de resistência da seção transversal bruta de concreto relativo à fibra
mais tracionada.
O dimensionamento para Md,mín deve ser considerado atendido se forem
respeitadas as taxas mínimas de armadura da tabela a seguir.
2.2- ARMADURA MÁXIMA
A adoção de uma armadura máxima de flexão decorre da necessidade de se
assegurar condições de dutilidade e de se respeitar o campo de validade dos ensaios que
deram origem às prescrições de funcionamento do conjunto aço-concreto.
Segundo a NBR6118 item 17.3.5.2.4 a armadura máxima deve ser dada por
As máx = As + As' = 4% bw h
sendo bw a largura e h a altura da viga.
3- DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO
No dimensionamento à flexão de uma viga de concreto armado, conhecidas as
dimensões da seção transversal e as resistências dos materiais (fck, fyk), o objetivo é
determinar a área das armaduras longitudinais que irão equilibrar, em conjunto com o
concreto, o momento fletor externo (Md).
Figura III-2: Dimensionamento à flexão.
O dimensionamento será feito no estado limite último, estádio 3, considerando que
o concreto não resiste mais à tração. Na Fig. III-2 encontra-se um esquema simplificado
b
h
As’
As
d
Md
Fcc = Acc 0,85fcd y = 0,8 x
Fst = As fyd
x
linha neutra
As
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 27
das solicitações envolvidas, onde Fcc é a resultante das forças de compressão e Fst é a
resultante das forças de tração.
Aplicando-se as equações de equilíbrio, chega-se a
 f A 0,85f A 0 F ydscdcc =→=∑
 y)0,5 - (d 0,85f A= M 0 M cdccdAs →=∑
onde Acc é a área de concreto da zona comprimida, ou seja Acc = b y.
Basicamente, as incógnitas do problema são: a área de aço tracionada (As) e a
dimensão y, a altura da zona comprimida.
O valor de y pode ser determinado pela equação de equilíbrio de momentos. Se o
valor de y < ylim indica que a seção está nos domiínios 2 ou 3 de deformação e,
substituindo-se este valor na equação de equilíbrio de forças, chega-se ao valor de As.
Caso o valor de y > ylim deve-se colocar uma armadura na zona comprimida As’
para ajudar o concreto a resistir aos esforços de compressão (ver item 3.1.2).
3.1 - SEÇÃO RETANGULAR
3.1.1- Armadura simples
Para o caso onde y ≤ ylim = 0,8 xlim, necessita-se determinar apenas a área de aço
da armadura tracionada. O esquema com as solicitações envolvidas encontra-se na Fig.
III-3.
Figura III-3: Dimensionamento da seção retangular – armadura simples.
d
Md
0,85 fcd
Fcc = 0,85 b y fcd y = 0,8 x
Fst = As fyd
x
linha neutra
As
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 28
A partir das equações de equilíbrio
 f A- f y b 0,85 = 0 0 F ydscd→=∑ 
 y)0,5 - (d f y b 0,85 = M 0 M cddAs →=∑
chega-se a
 
f b 0,425
Md-d y
cd
d2
−=
 e 
yd
cd
s f
byf85,0A =
3.1.2- Armadura dupla
No caso y > ylim, indicando que a seção situa-se no domínio 4, não convém o
dimensionamento com armadura simples, deve-se projetar armadura dupla. Para isso,
fixa-se a posição da linha neutra em xlim e se introduz uma armadura localizada na zona
comprimida, As’, o mais afastada possível da linha neutra. Esta armadura de compressão
e uma armadura adicional de tração ∆As constituem, quando suasáreas são
multiplicadas por suas resistências, as forças de compressão e tração que formam o
binário capaz de absorver a diferença de momentos ∆Md = Md - Mdlim.
Figura III-4: Dimensionamento da seção retangular – armadura dupla.
O momento Mdlim é definido como o momento que pode ser absorvido pela viga no
limite do domínio 3, ou seja, quando y = ylim = 0,8 xlim
) y0,5 - (d f yb 0,85 = M limcdlimdlim
d’
d Mdlim
0,85bylim fcd
As1 fyd
d - 0,5ylim
As’
d’
d ∆Md
As’σ2
∆As fyd
d - d’
As’
AsAs
+
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 29
A armadura tracionada, As, resulta: As= As1+ ∆As .
O esquema com as solicitações envolvidas encontra-se na Fig. III-4.
Assim, quando y > ylim ou Md > Mdlim as equações de equilíbrio resultam
 f A- ' A+ f yb 0,85 = 0 0 F yds2scdlim σ→=∑
 )d' - (d ' A+M = M 0 M 2sdlimdAs σ∑ →=
A tensão σ2 da armadura de compressão A’s deve ser determinada pelo diagrama
tensão-deformação do aço empregado, tendo-se calculado antes a deformação ε2 a partir
da equação de compatibilidade de deformações:
 
y
0,8d' - y
 0,0035 
lim
lim
2ε =
Substituindo-se o valor da tensão σ2 nas equações anteriores, chega-se a
)'dd(
MMA
2
limdd'
s
−
= σ
−
 f
'
s
Af yb 0,85
 = A
yd
2cdlim + 
s
σ
3.2- SEÇÃO T
O dimensionamento da seção T segue o mesmo procedimento adotado para a
seção retangular, adaptando-se apenas a forma da seção.
A notação empregada para a seção T, ver Fig. III-5, é a seguinte:
Figura III-5: Seção T – notação.
hhf
bw
bf
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 30
- bw: largura da alma
- bf: largura da mesa
- h: altura total
- hf: altura da mesa
No dimensionamento à flexão de vigas de seção T, existem três situações
possíveis, conforme a posição da linha neutra:
3.2.1- Zona comprimida está dentro da mesa →→→→ armadura simples
Para o caso onde y = 0,8x < hf a zona comprimida está dentro da mesa, ver Fig.
III-6. Normalmente nestas situações, y = 0,8x < hf < ylim, e necessita-se apenas de
armadura tracionada (armadura simples).
Figura III-6: Seção T – zona comprimida dentro da mesa.
O dimensionamento é feito como se tivesse uma viga de seção retangular de
largura bf e altura útil d, com as seguintes equações de equilíbrio:
 f A- f y b 0,85 = 0 ydscdf
( ) 0,5y - d f y b 0,85 = M cdfd
3.2.2- A altura da zona comprimida está entre hf e 0,8xlim →→→→ armadura simples
Para o caso onde hf < y = 0,8x ≤ ylim = 0,8xlim (ver Fig. III-7), apesar da linha neutra
estar fora da mesa, ainda necessita-se apenas de armadura tracionada (armadura
simples).
y
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 31
Figura III-7: Seção T – linha neutra fora da mesa.
O dimensionamento é feito adaptando-se as equações de equilíbrio para a seção
T, o que resulta:
( )
 f A- h b -b f 0,85 + f y b 0,85 = 0 ydsfwfcdcdw
( ) ( ) 0,5h - d h b -b f 0,85 + y)0,5 - (d f y b 0,85 = M ffwfcdcdwd
3.2.3- A altura da zona comprimida é maior que y = 0,8xlim →→→→ Armadura Dupla
Para o caso onde y = 0,8x > ylim = 0,8 xlim, o procedimento é análogo ao da seção
retangular com armadura dupla. Faz-se, então, o cálculo do momento correspondente a
seção T quando y = ylim , Mdmáx :
( ) ( ) 0,5h - d h b -b f 0,85 + ) y0,5 - (d f yb 0,85 = M ffwfcdlimcdlimwdmáx
A diferença de momentos ∆Md = Md - Mdmáx será absorvida por uma armadura de
compressão, A’s, e uma armadura tracionada ∆As. As equações de equilíbrio são, então,
dadas por:
[ ]
 f A- ' A+ yb h )b-(b f 0,85 = 0 0 F yds2slimwfwfcd σ∑ +→=
 )d' - (d As'+M = M 0 M 2dmaxdAs σ∑ →=
A tensão σ2 da armadura de compressão A’s deve ser determinada pelo diagrama
tensão-deformação do aço empregado, tendo-se calculado antes a deformação εs2 a
partir da equação de compatibilidade de deformações:
 
y
0,8d' - y
 0,0035 
lim
lim
2s =ε
y
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 32
4- VERIFICAÇÃO À FLEXÃO DE SEÇÃO RETANGULAR
Nos problemas de verificação à flexão de vigas de concreto armado, são
conhecidas as dimensões da seção transversal, as armaduras, as resistências dos
materiais e deve ser calculado o momento fletor último, Mu, que pode solicitar a viga.
A diferença do problema de verificação em comparação ao de dimensionamento
está no fato de não se saber se a armadura tracionada atingiu a tensão de cálculo fyd.
4.1- ARMADURA SIMPLES
As equações de equilíbrio são:
 1 A- f y b 0,85 = 0 0F scd σ∑ →= (1)
 y)0,5 - (d f y b 0,85 = M 0M cduAs →=∑ (2)
Este sistema não pode ser resolvido diretamente, pois existem duas equações e
três incógnitas:
- y: profundidade da zona comprimida
- σ1: tensão na armadura longitudinal tracionada
- Mu: momento fletor último
O procedimento utilizado para resolver o sistema é o seguinte:
1) arbitra-se, na Eq. (1), σ1= fyd e obtém-se o valor de y
2) se o valor encontrado para y for y ≤ ylim , σ1 realmente atingiu a tensão de cálculo fyd; o
valor de y calculado está correto e determina-se o valor de Mu substituindo-se y na
equação (2)
se o valor encontrado para y for y > ylim, o seu valor não está correto, pois para y >
ylim a tensão na armadura tracionada σ1< fyd - σ1 está na parte da reta de Hooke do
diagrama tensão-deformação; assim, a deformação na armadura tracionada é dada por:
sE
1
1
σ
=ε
sendo Es o módulo de deformação longitudinal do aço, Es = 210000 MPa.
A tensão σ1 é determinada substituindo-se o valor acima na equação de
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 33
compatibilidade das deformações:
y
 y)- (0,8dE 0,0035
1
s
=σ
Esta equação, junto com as de equilíbrio (1) e (2) torna o sistema determinado.
4.2- ARMADURA DUPLA - uma armadura tracionada e a outra comprimida
Para uma seção retangular com armadura dupla não se sabe se as duas
armaduras atingiram a tensão de cálculo fyd. As equações de equilíbrio, neste caso, são:
 A- ' A+ f y b 0,85 = 0 0F 1s2scd σσ∑ →= (1)
 )d' - (d ' A+0,5y) - (d f y b 0,85 = M 0M 2scduAs σ∑ →= (2)
Este sistema não pode ser resolvido, pois existem mais incógnitas do que
equações. As incógitas são:
- y: profundidade da zona comprimida
- σ1: tensão na armadura longitudinal tracionada
- σ2: tensão na armadura longitudinal comprimida
- Mu: momento fletor último
O problema deverá ser arbitrando-se, na equação (1), σ1= σ2= fyd para obter-se o
valor de y. Podem ocorrer três situações:
a.1) Se y ≤ 0,207d (domínio 2)
Neste caso a tensão σ1= fyd e a σ2 ≤ fyd. Para determinar o valor de σ2 deve-se,
inicialmente, obter a deformação da armadura comprimida através da equação de
compatibilidade de deformações para o domínio 2:
yd8,0
 )d0,8 -(y 0,01
2
−
′
=ε
Com o valor de ε2, determina-se o valor da tensão σ2 através do diagrama tensão-
deformação conforme:
- Se ε2 ≥ εyd a armadura comprimida atingiu a tensão de escoamento, σ2 = fyd, e da
equação de equilíbrio (2) pode-se calcular Mu.
-Se ε2 < εyd então a equação abaixo junto com as de equilíbrio (1) e (2) torna o sistema
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 34
determinado
yd8,0
 )d0,8 -(y E 0,01
2
s
−
′
=σ
a.2) 0,207d < y ≤ ylim (domínio 3)
Como no caso anterior, a tensão σ1= fyd e a σ2 ≤ fyd. Para determinar o valor de σ2
deve-se, inicialmente, obter a deformação da armadura comprimida através da equação
de compatibilidade de deformações para o domínio 3:
y
 )d0,8 -(y 0,0035
2
′
=ε
Com o valor de ε2, determina-seo valor da tensão σ2 através do diagrama tensão-
deformação conforme:
- Se ε2 ≥ εyd a armadura comprimida atingiu a tensão de escoamento, σ2 = fyd, e da
equação de equilíbrio (2) pode-se calcular Mu.
-Se ε2 < εyd então a equação abaixo junto com as de equilíbrio (1) e (2) torna o sistema
determinado
y
 )d0,8 -(y E 0,0035
2
s
′
=σ
a.3) Se y > ylim (domínio 4)
No domínio 4, σ1< fyd e, geralmente, σ2 = fyd . A equação abaixo junto com as de
equilíbrio (1) e (2) torna o sistema determinado.
y
 y)- (0,8d E 0,0035
1
s
=σ
Tomou-se σ2 = fyd porque, no domínio 4, somente excepcionalmente σ2 deixa de
atingir a tensão de cálculo fyd. Isto ocorre em peças armadas com aço de alta resistência,
de pequena altura útil e recobrimento da armadura de compressão grande. Nestes casos,
ε2 < εyd e atensão σ2 deve ser determinada por
y
 )d0,8 -(y E 0,0035
2
s
′
=σ
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 35
EXERCÍCIOS 1ª ÁREA
1) Determinar o mínimo valor de "bf" para que uma viga de seção transversal T não
necessite de armadura de compressão para resistir a um momento fletor de 300kNm. Os
materiais utilizados são concreto fck= 28MPa e aço CA-50. Dados geométricos da seção
transversal: h=50cm, bw=20cm, hf=8cm e d=46cm. bfmin = 46,13cm
2) Determinar o valor do momento fletor último de uma viga de concreto armado de seção
retangular, com dimensões b=12cm, h=50cm, d=46cm, d’=3cm, duplamente armada com
aço CA-25, sendo As=6,5cm2 e As’=4,0cm2. O concreto tem fck=16MPa. Mu = 60,9kNm
3) Determinar a armadura necessária para uma viga de seção retangular com dimensões
b=15cm, h=45cm, d=40cm e d'=4cm, resistir a um momento fletor de 100kNm. Os
materiais utilizados são concreto fck= 25MPa e aço CA-50. As= 10,72cm2 As’=
0,184cm2
4) A seção transversal da figura abaixo pertence a uma viga contínua de concreto armado
de um edifício residencial, devendo ser usada a seção T sempre que possível. Sabendo
que os materiais utilizados são concreto fck=25MPa e aço CA50 e d = 41 cm e d’= 3 cm:
a) dimensionar a armadura para resistir a um momento fletor positivo, no meio de um
vão, de valor 185kNm; As = 15,46cm2
b) dimensionar a armadura para resistir a um momento fletor negativo, sobre um apoio
intermediário, de valor 200kNm. As = 18,91cm2 As’ = 4,59cm2
 d = 41cm
 d’= 3cm
5) Determinar o momento fletor último de uma viga de concreto armado de seção
retangular, com dimensões b=15cm, d=51cm, armada com aço CA-50, sendo a área de
aço tracionada igual 7cm2. O concreto tem fck= 30MPa. Mu = 138,28kNm
bf=90cm
bw=25cm
h=45cm
hf=8cm
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 36
6) Determinar o momento fletor último de uma viga de concreto armado de seção
retangular, com dimensões b=21cm, d=42cm e d'=3cm, duplamente armada com aço CA-
50, sendo a área de aço tracionada igual a 15cm2 e a área de aço comprimida igual a
3cm2. O concreto tem fck=25MPa. Mu = 227,34kNm
7) A seção transversal da figura abaixo pertence a uma viga contínua de concreto armado
de um edifício residencial, devendo ser usada a seção T sempre que possível. Sabendo
que os materiais utilizados são concreto fck=25MPa e aço CA50:
a) dimensionar a armadura para resistir a um momento fletor positivo, em um vão, de
valor 290kNm As = 22,6cm2 As’ = 7,35cm2
b) dimensionar a armadura para resistir a um momento fletor negativo, sobre um apoio
intermediário, de valor 270kNm As = 18,43cm2
 d = 51cm
 d’= 3cm
8) Determinar o momento fletor último de uma viga de concreto armado de seção
retangular, com dimensões b=20cm, d=45cm e d'=5cm, duplamente armada com aço CA-
40, sendo a área de aço tracionada 10,0cm2 e a comprimida 7,0cm2. (fck=13,5Mpa)
Mu=140,45kNm
9) Determinar a armadura necessária para uma viga de seção retangular com dimensões
b=15cm, h=50cm, d=45cm e d'=5cm, resistir a um momento fletor de 230kNm. Os
materiais utilizados são concreto fck= 30MPa e aço CA-50. As= 20,75cm2 As’=6,54cm2
10) A seção transversal da figura abaixo pertence a uma viga contínua de concreto
armado de um edifício residencial, devendo ser usada a seção T sempre que possível.
Sabendo que os materiais utilizados são concreto fck= 25MPa e aço CA-:
a) dimensionar a armadura para resistir a um momento fletor positivo, no meio de um vão,
de valor 300kNm As = 23,42cm2
70cm
17cm
55cm
7cm
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 37
b) dimensionar a armadura para resistir a um momento fletor negativo, sobre um apoio
intermediário, de valor 280kNm As= 23,74cm2 As’=4,48cm2
 d = 46cm
 d’= 3cm
11) A seção transversal da figura abaixo pertence a uma viga contínua de concreto
armado de um edifício residencial, devendo ser usada a seção T sempre que possível.
Sabendo que os materiais utilizados são concreto fck= 25MPa e aço CA-50:
a) dimensionar a armadura para resistir a um momento fletor positivo, em um vão, de
valor 300kNm As= 30,55cm2
b) dimensionar a armadura para resistir a um momento fletor negativo, sobre um apoio
intermediário, de valor 320kNm As= 32,41cm2
 d = 36cm
 d’= 3cm
80cm
50cm
30cm
6cm
110cm
100cm
40cm
10cm
15cm
10cm
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 38
IV - CISALHAMENTO
1 - ESTADO DE TENSÃO
1.1 - GENERALIDADES
Nos capítulos anteriores, se analisou o comportamento de vigas de concreto
armado submetida a solicitações normais. As tensões internas provenientes da flexão
foram calculadas imaginando-se que o momento fletor agisse isoladamente na seção.
Isto pôde ser feito porque a existência de força cortante na seção não altera os valores,
nem a distribuição, das tensões normais. A metodologia empregada na análise resultava
bastante simples: aplicava-se as equações de equilíbrio (isoladamente ou em conjunto
com as equações de compatibilidade de deformações) sobre as solicitações, internas e
externas, atuantes em uma determinada seção (normalmente a seção mais solicitada).
Já o comportamento de peças de concreto armado quando atuam esforços
transversais (esforço cortante e momento torçor) é bastante complexo e não pode ser
analisado isoladamente.
No cisalhamento, quando o esforço cortante atua isoladamente na seção, as
tensões de cisalhamento que aparecem para equilibrar a solicitação externa têm
distribuição uniforme. Atuando também a solicitação momento fletor na seção, as tensões
de cisalhamento distribuir-se-ão de forma totalmente diferente, apesar de sua resultante
continuar sendo a mesma. Por este motivo, para o estudo do cisalhamento, não se pode
considerar o esforço cortante agindo isoladamente, mas sim simultaneamente com o
momento fletor. Além disto, existem outros fatores que influem sobre a capacidade
resistente à força cortante de uma viga: forma da seção transversal; variação da seção
transversal ao longo da peça; esbeltez; disposição das armaduras; aderência
aço/concreto; tipo de cargas e apoios ...
Portanto, na análise de vigas de concreto armado submetidas a esforços cortantes,
se faz necessário tratar a peça como um todo, já que os mecanismos resistentes que se
formam são geralmente tridimensionais. Formular uma teoria simples e prática, que leve
em consideração todos estes fatores, e que dê resultados exatos é uma tarefa bastante
difícil.
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 39
1.2 - ESTÁDIO I
No estádio Ia (concreto intacto, sem fissuras), o comportamento das peças de
concreto armado é elástico linear (obedece a Lei de Hooke) e as tensões tangenciais
podem ser calculadas através das equações da resistência dos materiais.
Se está agindo somente o esforço cortante, a distribuiçãodas tensões internas é
uniforme, e pode ser determinada pela expressão:
 
A
V
 =τ
sendo τ a tensão tangencial, V o esforço cortante na seção e A a área da seção
transversal.
Se, na mesma seção, estão agindo o esforço cortante e o momento fletor
simultaneamente, a distribuição de tensões internas não é mais uniforme, mas varia de
forma parabólica com a distância à linha neutra, e pode ser determinada pela expressão:
 
I b
SV 
 =τ
onde I é o momento de inércia da seção transversal em relação à linha neutra (constante
para a seção) e S é o momento estático em relação à linha neutra (variável com a
distância à LN). Desta forma, o valor máximo da tensão tangencial de cisalhamento é
obtido no ponto onde o momento estático é máximo, isto é, na linha neutra
 
 
z b
V
o
 =τ
sendo z a distância entre os centros de gravidade das zonas comprimida e tracionada,
dada por: z = I/S.
1.3 - ESTÁDIOS II E III
Nos estádios II e III, o concreto está fissurado na zona tracionada, mas na zona
comprimida ainda está intacto. Assim, na zona comprimida, intacta, a distribuição de
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 40
tensões continua igual ao estádio I. Já na zona tracionada, fissurada, o concreto não
resiste mais e as tensões tangenciais são provenientes da força transmitida pela
armadura ao concreto por aderência, na zona entre fissuras. Desta forma, a tensão se
mantém constante (o momento estático não varia pois não se considera a resistência do
concreto) até encontrar a armadura, quando cai bruscamente à zero.
Figura IV-1: Distribuição das tensões tangenciais
A distribuição de tensões tangenciais ao longo da altura da viga no estádio II e III é
dada pela figura acima, sendo seu valor máximo igual ao valor da tensão na linha neutra
no estádio I.
1.4 - TENSÕES PRINCIPAIS
O princípio básico de funcionamento do material concreto armado é o de
posicionar a armadura de tal forma que ela seja capaz de absorver integralmente os
esforços de tração que aparecem na estrutura.
Em uma viga, quando solicitada por esforço cortante, surgem tensões internas de
cisalhamento (tensões tangenciais) para equilibrar a carga externa. A pergunta que se faz
neste instante é: onde se deve colocar as armaduras? Para responder esta pergunta,
deve-se determinar a direção dos esforços de tração e compressão correspondentes à
tensão de cisalhamento.
Figura IV-2: Estado plano de tensões
P
σ
σ
τ
τ
 
z b
V
 =0τ
LN
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 41
Com este intuito, calcula-se as tensões e as direções principais, que, para o estado
plano de tensões (ver Fig.IV-2), são obtidas pelas expressões:
 
2
4
2
22,1
τ+
σ±σ=σ
Particularmente, duas situações distintas devem ser analisadas:
a) Na linha neutra, a tensão normal é nula (σ = 0) e a tensão tangencial têm seu valor
máximo (τ = τ0). Substituindo-se estes valores na equação anterior resulta para as
tensões principais σ1 = -σ2 = τ0. Os planos onde estão agindo estas tensões principais
formam um ângulo de 450 com o eixo longitudinal da viga (as direções principais),
conforme mostrado na Fig. IV-3.
Figura IV-3: Tensões principais na linha neutra
b) Nas bordas superior e inferior da viga, a tensão tangencial é nula (τ = 0) e a tensão
normal tem valores extremos: máxima compressão no bordo comprimido (σ = σCmax) e
máxima tração no bordo tracionado(σ = σTmax). Resulta para as tensões principais: σ1 = 0
e σ2 = σCmax para o bordo comprimido; e, σ1 = σTmax e σ2 = 0 para o bordo tracionado.
 (a) (b)
 Figura IV-4: Tensões principais
(a) borda comprimida (b) borda tracionada
As direções principais coincidem com o eixo longitudinal da viga, conforme
mostrado na Fig. IV-4.
LNα = 45
0
σ1σ2
eixo longitudinal
da viga
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 42
2 - ANALOGIA DA TRELIÇA
RITTER (1899) e MÖRSCH (1903) idealizaram, como aspecto estrutural de uma
viga de concreto armado, uma treliça fictícia capaz de resistir simultaneamente aos
esforços de flexão e de cisalhamento no estádio ΙΙΙ, ver Fig.IV-5.
Figura IV-5: Analogia da treliça
2.1 Treliça clássica
Mörsch admitiu, após a fissuração, o funcionamento da viga segundo uma treliça
constituída por:
- banzo superior comprimido: concreto ou concreto + armadura comprimida
- banzo tracionado: armadura longitudinal tracionada
- montantes: armaduras (estribos) colocadas com inclinação α, que pode variar entre
450 a 900
- diagonais comprimidas à 450: concreto (tendo sido adotada como inclinação àquela da
trajetótia das tensões principais, ao nível da linha neutra).
Figura IV-6: Treliça clássica de Mörsch
a = z
z
y: zona
comprimida
h d
45o
banzo tracionado
As montantes : diagonais tracionadas - estribos
bielas: diagonais comprimidas -concreto
banzo comprimido - concreto
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 43
Quando os montantes forem constituídos por estribos verticais (utilizado na
prática), a geometria da treliça pode ser vista na Fig.IV-6.
Os esforços que surgem nos banzos tracionado e comprimido na treliça são
equivalentes aos esforços obtidos quando da aplicação das equações de equilíbrio no
dimensionamento à flexão pura. Ou seja, o fato de existir o esforço cortante não altera o
dimensionamento da flexão. Assim, o dimensionamento dos banzos comprimido e
tracionado não precisa ser refeito.
Resta analisar os esforços que surgem nas bielas (diagonais comprimidas) e nos
montantes (diagonais tracionadas), ou seja, os esforços oriundos do cisalhamento e que
agem na alma da viga.
Figura IV-7: Esforços devidos ao cisalhamento.
Os valores dos esforços normais que surgem nas bielas (compressão - Ncc) e nos
montantes (tração - Nst) são obtidos pela resolução da treliça, ver Fig.IV-7, chegando-se
aos seguintes valores:
- força de compressão na biela de concreto → Ncc = V (21/2)
- força de tração no montante (estribo) → Nst = V
Até agora, imaginou-se a viga formada apenas por uma treliça, cujas barras resistiriam
às forças mencionadas. Na realidade, tem-se na alma da viga um conjunto de treliças
separadas por uma distância "s", que é o espaçamento entre as armaduras transversais
(estribos). Assim, a resultante das forças no trecho “s”, entre duas treliças consecutivas, é
dada por:
- bielas comprimidas � Fc = Ncc s/a
- estribos � Ft = Nst s/a
As forças na alma da viga produzem tensão de compressão na biela de concreto
σcc = Fc/Acw = 2 τo
e tensão de tração na armadura transversal (estribos)
 z
V
a = z
45o
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 44
w
o
sw
t
st =A
F
 = 
ρ
τσ
onde:
Acw = b s sen45 → área do segmento plano compreendido entre duas bielas
consecutivas e perpendicular a elas
Asw → soma das áreas das barras de uma armadura transversal que
cortam o plano neutro – TABELA IV-1
Atw = b s → área do segmento do plano compreendido entre dois estribos
consecutivos e perpendicular a elas
 A
A
 
tw
sw
w =ρ → taxa de armadura transversal
Após uma longa série de ensaios experimentais verificou-se que, nas vigas
armadas seguindo rigorosamente a teoria da treliça de Mörsch, as tensões nos estribos
são inferiores e nas bielas superiores àquelas calculadas pela treliça fictícia. A explicação
para tal constatação é dada pela possibilidade das diagonais comprimidas funcionarem
com inclinações menores que 450 com o eixo horizontal.
2.2 Treliça generalizada
A conciliação dos resultados experimentais com as hipóteses básicas de Mörsch e
com os aspectos práticos conduziu ao modelo da "Treliça generalizadade Mörsch".
Figura IV-8: Treliça generalizada de Mörsch
A treliça generalizada difere do modelo clássico apenas no ângulo de inclinação
das bielas comprimidas, θ, não mais definido como 45º, conforme a Fig. IV-8.
Analogamente à treliça classica, chega-se aos seguintes valores para os esforços
 z
V a = z ctgθ
θθθθ
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 45
normais que surgem nas bielas (compressão - Ncc) e nos montantes (tração - Nst):
- força de compressão na biela de concreto → Ncc = V / sen θ
- força de tração no montante (estribo) → Nst = V
Estas forças produzem tensão de compressão na biela de concreto
σcc = Ncc/Acw
e tensão de tração na armadura transversal (estribos)
θρ
τσ
ctg 
=
A
N
 =
w
o
sw
st
st 
sendo que a área do segmento plano compreendido entre duas bielas consecutivas e
perpendicular a elas agora é dada por
Acw = b s sen θ
3 - NBR 6118:2003
A norma brasileira NBR 6118 no item 17.4 admite dois modelos de cáculo que
pressupõem a analogia com modelo de treliça associado a mecanismos resistentes
complementares desenvolvidos no interior do elemento estrutural e traduzido por uma
componente adicional Vc.
O modelo I admite diagonais de compressão inclinadas de θ = 45º em relação ao
eixo longitudinal (treliça clássica) e que a parcela complementar Vc tenha valor constante.
O modelo II admite diagonais de compressão inclinadas de 30º ≤ θ ≤ 45º em
relação ao eixo longitudinal (treliça generalizada) e que a parcela complementar Vc tenha
valor variável.
Como já foi salientado anteriormente, os esforços que surgem nos banzos
tracionado e comprimido na treliça são equivalentes aos esforços obtidos quando da
aplicação das equações de equilíbrio no dimensionamento à flexão pura. Assim, o
dimensionamento dos banzos comprimido e tracionado não precisa ser refeito.
A seguir, encontram-se as prescrições da NBR 6118 para o dimensionamento de
elementos lineares sujeitos à força cortante no estado limite último.
O dimensionamento ao esforço cortante envolverá duas etapas:
a) verificação do não esmagamento do concreto, para as diagonais comprimidas da
treliça que se forma em seu interior;
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 46
b) determinação das áreas de aço (estribos) necessárias para absorver as trações que
surgem na referida treliça, oriundas do esforço cortante.
3.1 CÁLCULO DA RESISTÊNCIA
Segundo a NBR 6118 Item 17.4.2.1, a resistência da peça, em uma determinada
seção transversal, é satisfatória quando verificadas, simultaneamente, as seguintes
condições:
2RdSd VV <
swc3RdSd VVVV +=<
onde:
- SdV é a força cortante solicitante de cálculo, na seção;
- 2RdV é a força resistente de cálculo, relativa à ruína das diagonais comprimidas de
concreto;
- 3RdV = Vc + Vsw é a força resistente de cálculo, relativa à ruína por tração diagonal;
- Vc é a parcela de força cortante absorvida por mecanismos complementares ao da
treliça;
- Vsw é a parcela de força cortante resistida pela armadura transversal (estribos).
Na região dos apoios, os cálculos devem considerar as forças cortantes agentes nas
respectivas faces, levando em conta as reduções possíveis.
3.2 CARGAS PRÓXIMAS AOS APOIOS
Para o cálculo da armadura transversal (ver NBR 6118 item 17.4.1.2.1), no caso de
apoio direto (se a carga e a reação de apoio forem aplicadas em faces opostas do
elemento estrutural, comprimindo-a), valem as seguintes prescrições:
- a força cortante oriunda de carga distribuída pode ser considerada, no trecho entre o
apoio e a seção situada à distância d/2 da face de apoio, constante e igual à desta
seção;
- a força cortante devida a uma carga concentrada aplicada a uma distância a ≤ 2d do
eixo teórico do apoio pode, nesse trecho de comprimento a, ser reduzida
multiplicando-a por a/(2d). Todavia, esta redução não se aplica às forças cortantes
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 47
provenientes dos cabos inclinados de protensão.
As reduções indicadas acima não se aplicam à verificação da resistência à
compressão diagonal do concreto. No caso de apoios indiretos, essas reduções também
não são permitidas.
3.3 MODELOS DE CÁLCULO
3.3.1- Modelo de cálculo I (NBR 6118 item 17.4.2.2)
O modelo I admite diagonais de compressão inclinadas de θ=45° em relação ao
eixo longitudinal do elemento estrutural e admite ainda que a parcela complementar Vc
tenha valor constante, independente de VSd.
A verificação da compressão diagonal do concreto é feita conforme
Vsd < VRd2 = 0,27 αv2 fcd bw d
sendo
αv2 = (1 - fck / 250) MPa
Já área de aço da armadura transversal, Asw/s, é determinada através de
3RdV = Vc + Vsw
onde
Vsw = (Asw / s)0,9 d fywd (sen α + cos α)
Vc = Vc0 = 0,6 fctd bw d
fctd = fctk,inf/γc
sendo:
- s: espaçamento entre elementos da armadura transversal Asw, medido segundo o eixo
longitudinal da peça;
- fywd: tensão na armadura transversal passiva, limitada ao valor fyd no caso de estribos
e a 70% desse valor no caso de barras dobradas, não se tomando, para ambos os
casos, valores superiores a 435 MPa;
- α: ângulo de inclinação da armadura transversal em relação ao eixo longitudinal da
peça (45° ≤ α ≤ 90°).
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 48
3.3.2- Modelo de cálculo II (NBR 6118 item 17.4.2.3)
O modelo II admite diagonais de compressão inclinadas de θ em relação ao eixo
longitudinal do elemento estrutural, com θ variável livremente entre 30° e 45°. Admite
ainda que a parcela complementar Vc sofra redução com o aumento de VSd.
A verificação da compressão diagonal do concreto é feita conforme
Vsd < VRd2 = 0,54 αv2 fcd bw d sen2 θ (cotg α + cotg θ)
onde
 αv2 = (1- fck/250) e fck em megapascal.
Já área de aço da armadura transversal, Asw/s, é determinada através de
3RdV = Vc + Vsw
sendo
Vsw = (Asw / s)0,9 d fywd (cotg α + cotg θ) sen α
e
Vc = Vc1 = Vc0 quando VSd ≤ Vc0
Vc = Vc1 = 0 quando VSd = VRd2
interpolando-se linearmente para valores intermediários.
3.4- VALORES MÁXIMOS/MÍNIMOS
Segundo a NBR 6118, existem valores máximos e mínimos que devem ser
respeitados para que o funcionamento da peça de concreto armado seja de acordo com
os modelos propostos. A seguir, apresenta-se os valores máximos/mínimos que estão
relacionados com o determinação da armadura transversal.
a) Armadura transversal mínima , estribos verticais (NBR6118 Item 17.4.1.1.1)
 100 x b
f
f
 0,06 100 x b
f
f
 0,2 
s
A
w
ywk
2/3
ck
w
ywk
ctmmin sw
==
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 49
b) Diâmetros mínimo/máximo (NBR6118 Item 18.3.3.2)
 
b 101 
 5mm 
 
w


≤
≥φ
c) Espaçamento máximo entre estribos (NBR6118 Item 18.3.3.2)
 Vd ≤ 0,67 VRd2 � smax = 0,6 d ou 30 cm
 Vd > 0,67 VRd2 � smax = 0,3 d ou 20 cm
3.5- REDUÇÃO DO ESFORÇO CORTANTE NOS APOIOS
A NBR6118 permite fazer a redução do esforço cortante junto aos apoios quando a
carga e a reação de apoio forem aplicadas em faces opostas da peça. Assim, o esforço
cortante reduzido é determinado conforme
V' = V – (redução da carga distribuída) – (redução da carga concentrada)
3.5.1- Carga distribuída
A parcela de redução devida à carga distribuída é:
 p 
2
h+c
 redução 





=
sendo:
- c: largura do apoio
- h: altura da viga
- p: carga distribuída da viga junto ao apoio
3.5.2- Carga concentrada
Se uma carga concentrada estiver situada a uma distância a ≤ 2h do apoio, ela
poderá ser reduzida conforme
 P redução




=
 
2h
a
 - 1 










sendo
- P: carga concentrada
- a: distância da carga ao centro do apoio
ENG01111-Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 50
- h: altura da viga
3.6- ROTEIRO DE CÁLCULO PARA ESTRIBOS VERTICAIS – MODELO I
a) Verificação das diagonais comprimidas
αv2 = (1- fck/250) � MPa
Vsd < VRd2 = 0,27 αv2 fcd bw d
b) Redução do esforço cortante
V' = V - redução da carga distribuída - redução da carga concentrada
- carga distribuída� p 
2
h+c
 redução 





=
- carga concentrada (a ≤ 2h) � P redução




=
 
2h
a
 - 1 










c) Estribo mínimo 
 100 b 
 f 
f0,06=
s
A
ywk
 
2/3
ck
minsw � Mpa
espaçamento máximo
d) Esforço cortante mínimo
cotgθ f d 0,9 
100
s
A
V ywd
min
sw
sw
min
= � fywd ≤ 43,5 kN/cm2
 Vsd min = Vsw min + Vc0 
Vs min = Vsd min / 1,4
e) Armadura transversal - estribos
 100 )cotg( f d 0,9
VV
=
s
A
ywd
 csdsw
θ
−
� fywd ≤ 43,5 kN/cm2
 Vc = Vc0 = 0,009 (fck)2/3 bw d � MPa
Vd ≤ 0,67 VRd2 � smax = 0,6 d ou 30 cm
Vd > 0,67 VRd2 � smax = 0,3 d ou 20 cm
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 51
f) Escalonamento dos estribos
Nas vigas de concreto armado, é usual fazer-se a distribuição dos estribos ao
longo da viga da seguinte forma, ver Fig.IV-9: junto ao apoio A coloca-se o estribo relativo
ao esforço cortante VA, AswA; junto ao apoio B coloca-se o estribo relativo ao esforço
cortante VB, AswB; na parte central da viga, onde o esforço cortante é menor que o esforço
cortante mínimo, coloca-se o estribo mínimo, Asw min.
Figura IV-9: Escalonamento dos estribos.
A determinação do comprimento onde se deve colocar estribos diferentes do estribo
mínimo é feita conforme
p
 V- V
x minapoio=
 P
Asw min Asw A Asw B
x
VA VB
VminVA
VB
Vmin
p
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 52
TABELA IV-1 - ÁREA DA SEÇÃO DE ESTRIBO POR METRO ASW /s (cm2/m)
Estribos de dois tramos
BITOLAS PADRONIZADAS (NBR7480/96)
BITOLA φ(mm)ESPAÇAMENTO
(cm) 5 6.3 8 10 12.5
7 5.61 8.91 14.36 22.43 35.06
8 4.91 7.79 12.57 19.63 30.68
9 4.36 6.93 11.17 17.45 27.27
10 3.93 6.23 10.05 15.71 24.54
11 3.57 5.67 9.14 14.28 22.31
12 3.27 5.20 8.38 13.09 20.45
13 3.02 4.80 7.73 12.08 18.88
14 2.80 4.45 7.18 11.22 17.53
15 2.62 4.16 6.70 10.47 16.36
16 2.45 3.90 6.28 9.82 15.34
17 2.31 3.67 5.91 9.24 14.44
18 2.18 3.46 5.59 8.73 13.64
19 2.07 3.28 5.29 8.27 12.92
20 1.96 3.12 5.03 7.85 12.27
21 1.87 2.97 4.79 7.48 11.69
22 1.78 2.83 4.57 7.14 11.16
23 1.71 2.71 4.37 6.83 10.67
24 1.64 2.60 4.19 6.54 10.23
25 1.57 2.49 4.02 6.28 9.82
26 1.51 2.40 3.87 6.04 9.44
27 1.45 2.31 3.72 5.82 9.09
28 1.40 2.23 3.59 5.61 8.77
29 1.35 2.15 3.47 5.42 8.46
30 1.31 2.08 3.35 5.24 8.18
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 53
V - TORÇÃO
1- INTRODUÇÃO
O estudo de peças de concreto armado solicitadas por momento torçor é bastante
complicado. Isto acontece porque, normalmente, a torção vem acompanhada de flexão,
esforço cortante e de um esforço normal (proveniente do impedimento ao empenamento).
Infelizmente, não existe um método de cálculo confiável e simples para ser aplicado na
prática que considere todos estas solicitações agindo em conjunto. A metodologia
empregada é a de calcular as solicitações por separado e, após, somar os resultados.
Além disto, a rigidez à torção de vigas de concreto armado após a fissuração
diminui drasticamente. Para que uma viga fissurada tenha rigidez suficiente para resistir a
um momento torçor ela deverá ter uma rigidez muito grande antes de fissurar, ou seja,
deverá ter dimensões bem maiores do que àquelas necessárias para resistir à flexão e ao
cisalhamento.
Felizmente, a verificação da resistência à torção não é indispensável em todos os
casos que acontecem na prática. A norma brasileira (NBR6118) permite que se verifique
à torção somente as peças nas quais o momento torçor é realmente necessário ao
equilíbrio da mesma. Nas situações em que se pode conseguir uma configuração de
equilíbrio sem a consideração da torção, pode-se dispensar seu cálculo. Este é o caso de
momentos torçores resultantes de esforços hiperestáticos provenientes de rotações
impedidas, como no caso de torção em vigas devido ao engastamento parcial das lajes, a
denominada torção de compatibilidade.
2- TENSÕES TANGENCIAIS DEVIDAS À TORÇÃO
2.1- CONCRETO NÃO FISSURADO
Mesmo para o caso onde o concreto não está fissurado (Estádio I), o estudo da
torção é complicado. Quando uma peça prismática é solicitada à torção pura (Torção de
Saint-Venant) aparecem somente tensões tangenciais. Isto acontece em barras cujas
seções extremas podem empenar livremente na direção do eixo longitudinal e cujo
ângulo relativo de torção é constante ao longo da barra. A solução exata do problema só
pode ser dada em alguns casos simples (seção transversal circular ou tubular). A
analogia da membrana permite resolver o problema de forma aproximada para a seção
retangular.
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 54
As vigas de concreto armado, muitas vezes, são vigas contínuas, onde há o
impedimento ao empenamento das seções extremas, o que ocasiona o aparecimento de
tensões normais de empenamento. Estas tensões de empenamento podem ser
desprezadas em seções transversais cheias ou vazadas, mas são importante em seções
abertas.
2.2- CONCRETO FISSURADO
Segundo a norma brasileira NBR6118, a torção deve ser considerada na ruptura,
quando os elementos já estão fissurados(ELU). Na ausência de uma teoria consistente e
suficientemente respaldada por ensaios para o tratamento conjunto da torção,
cisalhamento e flexão, os métodos existentes estudam os efeitos destas solicitações por
separado e depois somam os valores obtidos.
A analogia da treliça desenvolvida para o estudo das tensões tangenciais devidas
à força cortante também será empregada no dimensionamento da armadura de torção.
Salienta-se que esta analogia é uma solução aproximada, que satisfaz bem as condições
de equilíbrio mas moderadamente às condições de compatibilidade. Assim, de forma
semelhante ao que já foi feito para o cisalhamento, os esforços determinados à partir da
analogia da treliça são limitados por valores prescritos na NBR6118.
Ensaios realizados em peças de concreto armado de seção retangular cheia
constatam que, após a fissuração do concreto devido à torção, a colaboração do concreto
do núcleo central é muito reduzida. Assim, no dimensionamento de uma seção retangular
à torção, nem toda a seção transversal, mas só uma faixa à partir da borda externa,
colabora na resistência à torção, ver Fig.V-1. Partindo deste raciocínio, permite-se
transformar a seção cheia real numa seção vazada hipotética.
Figura V-1: Modelo da treliça espacial
Fv
Fh
Fv
Fh
hs
bs
ENG01111- Estruturas de Concreto Armado I – DECIV – UFRGS 55
Para o cálculo, se utiliza um modelo de treliça espacial, composta de quatro
treliças planas sobre as faces da seção vazada da viga, conforme indicado na Fig.V-1.
Nas paredes da seção vazada se cria um fluxo constante de tensões tangenciais
igual a τ t, sendo τ a tensão tangencial oriunda da torção e t a espessura da parede.
Multiplicando-se o fluxo de tensões tangenciais pelo comprimento da parede, determina-
se as forças que agem nas paredes horizontais (Fh= τ t bs) e verticais (Fv= τ t hs). Estas
forças devem ser absorvida pelas treliças planas de cada parede.
Na resolução da treliça, as arestas comuns às treliças planas resultam submetidas
à tração, o que leva a necessidade de se dispor não só armaduras transversais (estribos),
mas também armaduras longitudinais de tração. Estas armaduras de torção longitudinais
devem ser concentradas