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089400 - Se´ries e Equac¸o˜es Diferenciais - 2o./2013 Primeira lista de exerc´ıcios Profa. Vera Lu´cia Carbone 20 de agosto de 2013 1. Mostre que a) lim n→∞ r n = 0, se |r| < 1, b) lim n→∞ |r n| =∞, se |r| > 1. 2. Se k e´ um inteiro positivo, mostre que lim n→∞ 1 kn = 0. 3. Calcule caso exista, lim n→∞ an, sendo an igual a a) n3 + 3n+ 1 4n3 + 2 (Resp. 1/4) b) √ n+ 1−√n (Resp. 0) c) 6 ( −5 6 )n (Resp. 0) d) 2√ n2 + 9 (Resp. 0) e) 1 n sinn (Resp. 0) f) 8− (78)n (Resp. 8) g) cosn n (Resp. 0) h) ( cos2 n 3n ) (Resp. 0) 4. Calcule os seguintes limites: i) lim n→+∞ ln(n+ 1) ln(n) ii) lim n→+∞ 2n− 1 n . 5. Verifique se as sequeˆncias abaixo sa˜o convergentes ou na˜o. Caso convirjam determine seu limite. (a) { 1 + (−1)n(n+ 1) 2n } n∈N (b) { n n+ 1 } n∈N (c) { n+ d 1n } n∈N (d) { n sin( 1 n ) } n∈N (e) { cos(npi) } n∈N (f) { n2 n+ 1 } n∈N (g) { (n+ 1)2 254(n+ 1) } n∈N (h) { √ n | sin2(n)| } n∈N (i) { en n4 } n∈N (j) { 3 √ n } n∈N (k) {√ n+ 2 2 √ n } n∈N (l) { ln(n+ 1)− ln(n) } n∈N (m) { 1 n(1 + e−n2) } n∈N . 6. Mostre que a sequeˆncia {sin(npi2 ) + cos(npi)}n∈N e´ limitada, mas na˜o e´ convergente. 7. Analise quanto a` convergeˆncia as sequeˆncias {an}n>1, onde an sa˜o dadas por: i) n3 + 3n+ 1 4n3 + 2 ii) √ n+ 1−√n iii) ( 1 + 2 n )n iv) ∫ n 0 1 1 + x2 dx v) ∫ n 2 1 x2 − x dx 1 8. Calcule lim n→∞ an+1 an , onde a) an = n! nn b) an = n, Use o fato que lim n→∞ ( 1 + 1 n )n = e. 9. Considere a sequeˆncia a1 = √ 2, a2 = √ 2 √ 2, a3 = √ 2 √ 2 √ 2, · · · a) Verifique que a sequeˆncia e´ crescente e limitada superiormente por 2. b) Calcule lim n→∞ an. (Resp. 2) 10. Em cada um dos itens abaixo diga se a sequeˆncia (an), e´ mono´tona e se e´ limitada. a) an = 3 n b) an = (−1)n n c) an = n 2n d) an = n+ 1 n e) an = ln( n+ 1 n ). 11. Se {xn} for uma sequeˆncia convergente com lim n→∞xn = 0 e yn for uma sequeˆncia limitada, mostre que a sequeˆncia {xnyn} sera´ convergente com lim n→∞xnyn = 0. 12. Determine o limite da sequeˆncia ( 5n e2n ) . (Resp. 0) 13. Prove que a sequeˆncia de termo geral an = ∫ n 1 sin2 x x2 ds e´ convergente. 14. Seja an = n∑ k=0 [1 + (−1)k], n ≥ 0. Prove que lim n→∞ an =∞. 15. Mostre que: a) lim n→∞( 1 n + 2 n + · · ·+ n n ) =∞ b) lim n→∞( 1 n2 + 2 n2 + · · ·+ n n2 ) = 1 2 c) lim n→∞( 1 n3 + 2 n3 + · · ·+ n n3 ) = 0 d) lim n→∞( 1 n5 + 2 n5 + · · ·+ n n5 ) = 0 Sugesta˜o: Use o fato que 1 + . . .+ n = n(n+ 1) 2 . 2
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