Exercícios de Equações Diferenciais

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089400 - Se´ries e Equac¸o˜es Diferenciais - Turma A 1o./2013
Sexta lista de exerc´ıcios
Profa. Vera Lu´cia Carbone 26 de marc¸o de 2013
1. Coloca-se uma barra de metal, a` temperatura de 100o F em um quarto com temperatura constante
de 0oF. Se, apo´s 20 minutos a temperatura da barra e´ de 50oF, determine o tempo necessa´rio
para a barra chegar a` temperatura de 25oF e a temperatura da barra apo´s 10 minutos.
2. Um corpo a` temperatura inicial de 50oF e´ colocado ao ar livre, onde a temperatura ambiente e´
de 100oF . Se apo´s 5 minutos a temperatura do corpo e´ de 60oF , determine o tempo necessa´rio
para a temperatura do corpo atingir 75oF.
3. Coloca-se um corpo com temperatura desconhecida em um quarto mantido a` temperatura con-
stante de de 30oF . Se apo´s 10 minutos, a temperatura do corpo e´ 0oF e apo´s 20 minutos e´ de
15oF , determine a temperatura inicial desconhecida.
4. Sabe-se que a populac¸a˜o de determinado Estado cresce a uma taxa proporcional ao nu´mero de
habitantes existentes. Se apo´s dois anos a populac¸a˜o e´ o dobro da inicial, e apo´s treˆs anos e´ de
20.000 habitantes, determine a populac¸a˜o inicial.
5. Um tanque conte´m inicialmente 100 galo˜es de salmoura com 1lb de sal. No instante t = 0,
adicona-se outra soluc¸a˜o de salmoura com 1lb de sal por gala˜o, a´ raza˜o de 3gal/min, enquanto a
mistura restante se escoa do tanque a` mesma taxa. Determine a quantidade de sal presente no
tanque no instante t e o instante em que a mistura restante no tanque contera´ 2 lbs de sal.
6. Uma soluc¸a˜o de glicose e´ administrada por via intravenosa na corrente sangu´ınea a uma taxa con-
stante r. A` medida que a glicose e´ adicionada, ela e´ convertida em outras substaˆncias e removida
da corrente sangu´ınea a uma taxa que e´ proporcional a` concentrac¸a˜o naquele instante. Seja C(t)
a concentrac¸a˜o de glicose na corrente sangu´ınea no instante t. Sabendo que a concentrac¸a˜o no
tempo t = 0 e´ C0, determine a concentrac¸a˜o em um tempo qualquer t.
7. Um tanque conte´m 1000 L de a´gua salgada com 15 Kg de sal dissolvido. A a´gua pura entra no
tanque a uma taxa de 10 L/min. A soluc¸a˜o e´ mantida bem misturada e sai do tanque na mesma
taxa. Quanto sal permanece no tanque depois de t minutos? E depois de 20 minutos?
8. Um tanque conte´m 500 L de a´gua pura. A´gua salgada contendo 2 kg de sal e´ bombeada para
dentro do tanque a uma taxa de 5 L/min. A soluc¸a˜o e´ bem misturada e bombeada para fora do
tanque a` mesma taxa. Encontre a quantidade de sal no tanque no instante t? Qual a concentrac¸a˜o
de sal no tanque no instante t = 5 minutos?
9. O bismuto-210 tem uma meia-vida de 5 dias.
(a) Se uma amostra tem massa de 800 mg, encontre uma fo´rmula para a massa que restara´
depois de t dias.
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(b) Calcule a massa depois de 30 dias.
(c) Quando a massa sera´ reduzida a 1 mg?
10. Uma cultura de bacte´rias comec¸a com 500 bacte´rias e cresce a uma taxa proporcional a seu
tamanho. Depois de 3 horas existem 8000 bacte´rias.
(a) Encontre uma fo´rmula para o nu´mero de bacte´rias depois de t horas.
(b) Calcule o nu´mero de bacte´rias depois de 4 horas.
(c) Quando a populac¸a˜o alcanc¸ara´ 30000 bacte´rias?
Lei do Resfriamento de Newton: A Lei do Resfriamento de Newton estabelece que a taxa
de resfreiamento de um objeto e´ proporcional a` diferenc¸a de temperatura entre o objeto e sua
redondeza, dado que essa diferenc¸a na˜o seja muito grande (Essa lei tambe´m se aplica ao aqueci-
mento). Se denotarmos T (t) como a temperatura do objeto no tempo t e TS como a temperatura
em sua redondeza, enta˜o podemos formular a Lei de Newton para resfriamento como uma equac¸a˜o
diferencial
dT
dt
= k(T − TS)
onde k e´ uma constante. Nesse csao, e´ mais fa´cil fazer uma mudanc¸a de varia´vel y(t) = T (t)−TS .
Como TS e´ constante, segue que y
′(t) = T ′(t) e, assim, a equac¸a˜o torna-se
dy
dt
= ky
11. Uma garrafa de soda limonada em temperatura ambiente (72oF ) e´ colocada em um refrigerador
onde a temperatura e´ de 44oF . Depois de meia hora a soda esta´ resfriada a uma temperatura de
61oF .
(a) Qual a temperatura da soda depois de mais 30 minutos na geladeira?
(b) Quanto tempo demoraria para a soda atingir 50oF
12. Um termoˆmetro e´ levado de um coˆmodo no qual a temperatura e´ de 20oC para o lado de fora
onde a temperatura e´ de 5oC. Depois de 1 minuto a leitura do termoˆmetro e´ de 12oC.
(a) Qual sera´ a leitura do termoˆmetro depois de mais 1 minuto?
(b) Quando a leitura do termoˆmetro sera´ de 6oC?
Algumas Respostas
(6) C(t) = (C0 − r
k
)e−kt +
r
k
(7) Depois de t minutos, a quantidade de sal no tanque e´ de y(t) = 15e−t/100 e depois de 20
minutos a quantidade e´ de 12.3 kg aproximadamente.
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(8) Depois de t minutos, a quantidade de sal no tanque e´ de y(t) = 1000 − 1000e−t/100 e a
concentrac¸a˜o depois de 5 minutos e´ aproximadamente 0.0975 kg/L.
(9-a) y(t) = 800.2(−t/5) (9-b) 12.5 mg (9-c) aproximadamente 48 dias
(10-a) y(t) = 500.16(t/3) (10-b) 20.159 bacte´rias (10-c) aproximadamente 4.4 horas
(11-a) Depois de 60 minutos na geladeira, a temperatura da soda e´ de aproximadamente 54, 3oF .
(11-b) A soda se resfriara´ a 50oF depois de 1 hora e 33 minutos, aproximadamente.
(12-a) temperatura em um instante t e´ dada por T (t) = 5 + 15e(ln 7/15)t. A leitura sera´ de
aproximadamente 8.3oC
(12-b) Depois de 3.6 minutos aproximadamente.
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