Problemas 5

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Teoria da Probabilidade � Lista 5 � 2017
Problema 1. (Universalidade da Uniforme) Seja F uma função de distribuição acumulada (f.d.a.)
contínuma e estritamente crescente no suporte da distribuição (isto garante que a sua inversa F−1
existe). Prove os seguintes resultados:
1. Seja U ∼ Unif(0, 1) e X = F−1(U). Então X é uma variável aleatória (v.a.) com f.d.a. F .
2. Seja X uma v.a. com f.d.a. F . Então F (X) ∼ Unif(0, 1).
Problema 2. Seja X uma v.a. com distribuição Logística, isto é, X tem f.d.a.
F (x) =
ex
1 + ex
, x ∈ R.
1. Se U ∼ Unif(0, 1), encontre uma função f(U) cuja distribuição é Logística, usando a Universa-
lidade da Uniforme.
2. Confira o resultado acima, mostrando que P (f(U) ≤ x) = ex1+ex , onde f(·) é a função de U
encontrada no item anterior.
3. Para um conjunto qualquer de valores, o histograma é uma representação gráfica em colunas da
distribuição de frequência dos dados. A altura de cada retângulo (coluna) representa a quantidade
de vezes que um certo valor (ou classe de valores, como um intervalo) ocorre no conjunto de
dados. Quando o volume da dados tende a infinito e comprimento dos intervalos a zero, o
histograma torna-se uma densidade de probabilidade. Utilize o R para observar empiricamente a
Universalidade da Uniforme para a distribuição Logística:
(a) Simule 104 números aleatórios distribuidos segundo uma Unif(0, 1) (veja o help da função
runif).
(b) Verifique que o histograma destes valores aproxima a densidade de uma Unif(0, 1) (veja a
função hist).
(c) Utilize a transformação f(U) em cada um dos 104 valores simulados (lembre-se que funções
no R podem ser aplicadas à um vetor!) e plote seu histograma.
(d) Compare o histograma acima com a densidade de uma Logística (veja a função dlogis).
Como bônus, plote a densidade sobreposta ao histograma.
Problema 3. Seja X ∼ N(µ, σ2). Mostre que
1. F (x) = Φ
(x−µ
σ
)
;
2. f(x) = ϕ
(x−µ
σ
)
1
σ ,
onde F e f são, respectivamente, a f.d.a. e a densidade de X; e Φ e ϕ são a f.d.a. e a densidade de
Z ∼ N(0, 1).
Problema 4. Rodrigo tem um carro velho (estacionado há meses em frente da sua casa!) que
finalmente decidiu vender. Ele decide vender para a primeira pessoa que oferecer pelo menos R$15.000.
Assuma que as ofertas recebidas são independentes, e seus valores seguem uma distribuição exponencial
com média R$10.000.
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1. Encontre a esperança do número de ofertas recebidas.
2. Encontre a esperança do valor (em R$) que Rodrigo vai conseguir no carro.
Problema 5. Seja Z ∼ N(0, 1) e S um �sinal� independente de Z, isto é S = 1 com probabilidade
1/2 e S = −1 com probabilidade 1/2. Mostre que SZ ∼ N(0, 1).
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